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北京市丰台区2014年高三一模理科数学试题及答案


丰台区高三一模 第一部分 (选择题 2014.3 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的 4 个选项中,选 出符合题目要求的一项。 (1)设集合 A ? {x ? R | ?1 ? x ? 1} , B ? {x ? R | x( x ? 3) ? 0} ,则 A ? B 等于 (A) {x ? R | ?1 ? x ? 3} (C) {x ? R | ?1 ? x ? 0} (B) {x ? R | 0 ? x ? 3} (D) {x ? R | 0 ? x ? 1}

(2)在极坐标系中,点 A( 1,? )到直线 ? cos ? ? 2 的距离是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(3)执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为 (A)

8 5 5 3

(B)

29 12 13 8

开始 i =0,x =1

(C)

(D)

i = i+1

x ? 1?
i=0,x=1 i ≥4 是 输出 x

1 x


结束

(4)已知函数 f ( x ) 是定义在 [?6,6] 上的偶函数,且 f (3) ? f (1) ,则下列各式中

一定成立的是 (A) f (0) ? f (6) (C) f (?1) ? f (3) (B) f (-3) ? f (-2) (D) f (-2) ? f (1)

(5) “ m ? n ? 1 ”是 “ log m 2 ? log n 2 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(6)某企业开展职工技能比赛,并从参赛职工中选 1 人参加该行业全国技能大 赛.经过 6 轮选拔,甲、乙两人成绩突出,得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是 x甲 , x乙 ,则下列说法正确的是 (A) x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 (B) x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 (C) x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 (D) x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 (7)棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是
14 3 10 (C) 3

(A)

(B)4 (D)3
1

2 1 1 主视图 侧视图

1

2

俯视图

(8)如果某年年份的各位数字之和为 7,我们称该年为“七巧年”.例如,今年 年份 2014 的各位数字之和为 7,所以今年恰为“七巧年”.那么从 2000 年 到 2999 年中“七巧年”共有 (A)24 个 (B)21 个 第二部分 (C)19 个 共 110 分) (D)18 个

(非选择题

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

(9) 已知 tan ? ? 2 ,则

sin ? ? cos ? 的值为_______________. sin ? ? cos ?

(10)已知等比数列 {an } 中, a3 ? a5 ? 8 , a1a5 ? 4 ,则

a13 = a9

.

(11) 如图,已知圆的两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上一点, 且 DF=CF= 2 ,AF:FB:BE=4:2:1.若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长 为 .
D A B F C E

(12) 已知点 F,B 分别为双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点和虚轴端点,若 a 2 b2

线段 FB 的中点在双曲线 C 上,则双曲线 C 的离心率是___________. uuur uu u r (13)已知平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 的中点, AM ? m AB ,
uu u r uuu r uuu r uuur n AN ? n AD ( m ? n ? 0 ),若 MN ∥ BE ,则 =______________. m

? ? x 2 ? y 2 ? 1 ? 0, ? ?t ? x ? t, (14)设不等式组 ? 表示的平面区域为 M,不等式组 ? 2 ? ?y ? 0 ?0 ? y ? 1 ? t

表示的平面区域为 N.在 M 内随机取一个点,这个点在 N 内的概率的最大值 是_________. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题共 13 分)

? 已知函数 f ( x ) ? cos(2 x ? ) ? 2sin 2 x ? 1 . 3
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值. 2
(16) (本小题共 13 分) 年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某地区老龄人共有 35 万,

随机调查了该地区 700 名老龄人的健康状况,结果如下表: 健康指数 60 岁至 79 岁的人数 80 岁及以上的人数 2 250 20 1 260 45 0 65 20 -1 25 15

其中健康指数的含义是:2 表示“健康” ,1 表示“基本健康” ,0 表示“不健康, 但生活能够自理” ,-1 表示“生活不能自理” 。 (Ⅰ)估计该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的概率。 (Ⅱ)若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于 1.2,则该地区可被评为“老 龄健康地区”.请写出该地区老龄人健康指数 X 分布列,并判断该地区能 否被评为“老龄健康地区”. (17) (本小题共 14 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是棱 AB 上的动点. (Ⅰ)求证:DA1⊥ED1 ; (Ⅱ)若直线 DA1 与平面 CED1 成角为 45o,求
AE 的值; AB

(Ⅲ) 写出点 E 到直线 D1C 距离的最大值及此时点 E 的位置 (结论不要求证明) .
D1 A1 B1 C1

D

(18) (本小题共 13 分) 已知曲线 f ( x ) ? ax ? e (a ? 0) .
x

C E B

A

(Ⅰ)求曲线在点( 0, f (0) )处的切线方程; (Ⅱ)若存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

(19) (本小题共 14 分)

x2 y2 3 如 图 , 已 知 椭 圆 E: 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的 离 心 率 为 ,过左焦点 2 a b

F ( ? 3 , 0 且斜率为 ) k 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,直线 l :

x ? 4ky ? 0 交椭圆 E 于 C,D 两点.
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求证:点 M 在直线 l 上; (Ⅲ)是否存在实数 k,使得三角形 BDM 的面积是三角形 ACM 的 3 倍?若存在, 求出 k 的值;若不存在,说明理由.

(20) (本小题共 13 分) 从数列 {an } 中抽出一些项,依原来的顺序组成的新数列叫数列 {an } 的一个 子列. (Ⅰ)写出数列 {3n ? 1} 的一个是等比数列的子列; (Ⅱ)若 {an } 是无穷等比数列,首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 0 且 q ? 1 ,则数列 {an } 是否 存在一个子列为无穷等差数列?若存在,写出该子列的通项公式;若不存 在,证明你的结论.

丰台区 2014 年高三年级第二学期统一考试(一)

数学(理科)答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 9.
1 3

2014.3

1 D

2 C

3 A

4 C

5 A

6 D

7 B

8 B

10.

9

11.

7 2

12.

5

13. 2

14.

2

?

三、解答题 15.解: (Ⅰ) f ( x) ? cos 2 x cos
?

?
3

? sin 2 x sin

?
3

? cos 2 x

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 3 3 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

?

1 3 ? 3( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? 3(sin 2 x cos

?

? 3 sin(2 x ? ) --------------------------------------------------------------5 分 3

?

? cos 2 x sin ) 3 3

?

所以 f ( x ) 的最小正周期为 π.----------------------------------------------7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ) 3 π ? π π 4π π π 因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ?[ , ] ,当 2 x ? ? ,即 x ? 时,函数 f ( x ) 取 12 2 3 3 3 3 2 π 3 π 4π 最大值 3 ,当 2 x ? ? ,即 x ? 时,函数 f ( x ) 取最小值 ? . 2 2 3 3 3 ? 所以,函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 ,最小值为 ? .--------------13 分 2 2

?

16.解:

(Ⅰ)该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的频率为

250 ? 260 ? 65 23 , ? 250 ? 260 ? 65 ? 25 24 23 所以该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的概率约为 .--------------5 分 24

(Ⅱ)该地区老龄人健康指数 X 的可能取值为 2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计 概率): X p 2 1 0 -1
40 700

305 85 270 700 700 700 270 305 85 40 EX= 2 ? =1.15 ? 1? ? 0? ? (?1) ? 700 700 700 700

因为 EX<1.2,所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.------------------13 分 17. 解:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则 D(0,0,0),A(1,0,0) , B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1),设 E(1,m,0) (0≤m≤1)
???? ? ???? ? (Ⅰ)证明: DA1 ? (1, 0,1) , ED1 ? (?1, ? m,1) ???? ???? ? DA1 ? ED1 ? 1 ? ( ?1) ? 0 ? ( ?m) ? 1 ? 1 ? 0
A1 z D1 B1 C1

D A x E B

C

y

所以 DA1⊥ED1.

-------------------------------------------------------------4 分 ? (Ⅱ)设平面 CED1 的一个法向量为 v ? ( x, y, z ) ,则 ? ???? ? ???? ? ??? ? ? v ? C D ? 1 ?0 ,而 CD1 ? (0, ?1,1) , CE ? (1, m ? 1, 0) ? ? ? ??? ?0 ? ?v ? C E
?? y ? z ? 0, 所以 ? 取 z=1,得 y=1,x=1-m, ? x ? (m ? 1) y ? 0,
? 得 v ? (1 ? m,1,1) .

???? ? ? 因为直线 DA1 与平面 CED1 成角为 45o,所以 sin 45? ?| cos ? DA1 , v ?|

???? ? | DA1 ? v | 2 |2?m| 2 1 ? 所以 ???? ? ? ,所以 ,解得 m= .-----11 分 2 2 2 2 | DA1 | ? | v | 2 m ? 2m ? 3

(Ⅲ)点 E 到直线 D1C 距离的最大值为

6 ,此时点 E 在 A 点处.------14 分 2

18.解: (Ⅰ)因为 f (0) ? ?1 ,所以切点为(0,-1). f ?( x) ? a ? e x , f ?(0) ? a ? 1 , 所以曲线在点( 0, f (0) )处的切线方程为:y=(a-1)x-1.-------------------4 分 (Ⅱ) (1)当 a>0 时,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ln a . 因为 f ?( x) ? a ? e x 在 ( ??, ??) 上为减函数, 所以在 (??,ln a) 内 f ?( x) ? 0 ,在 (ln a, ??) 内 f ?( x) ? 0 , 所以在 (??,ln a) 内 f ( x ) 是增函数,在 (ln a, ??) 内 f ( x ) 是减函数, 所以 f ( x) 的最大值为 f (ln a) ? a ln a ? a 因为存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,所以 a ln a ? a ? 0 ,所以 a ? e . (2)当 a ? 0 时, f ?( x) ? a ? e x <0 恒成立,函数 f ( x) 在 R 上单调递减,
1 1 而 f ( ) ? 1 ? e a ? 0 ,即存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,所以 a ? 0 . a

综上所述, a 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13 分 19. 解: (Ⅰ)由题意可知 e ?
c 3 , c ? 3 ,于是 a ? 2, b ? 1 . ? a 2

所以,椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 程.---------------------------------3 分 4

(Ⅱ)设 A( x1 , y 1 ) , B( x2 , y 2 ) , M ( x0 , y 0 ) ,
? y ? k( x ? 3) ? 2 即 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 . ? x 2 ? y ?1 ? ? 4

所以, x1 ? x2 ? 于是? M (

?8 3k 2 3k x1 ? x2 ?4 3k 2 x ? ? , 0 , y0 ? k ( x0 ? 3) ? 2 2 2 4k ? 1 4k ? 1 , 2 4k ? 1

?4 3k 2 3k , 2 ). 2 4k ? 1 4k ? 1

?4 3k 2 3k ? 4k ? 2 ? 0 ,所以 M 在直线 l 上. --------------------------8 分 因为 2 4k ? 1 4k ? 1
(Ⅲ)由(Ⅱ)知点 A 到直线 CD 的距离与点 B 到直线 CD 的距离相等,

若?BDM 的面积是?ACM 面积的 3 倍, 则|DM|=3|CM|,因为|OD|=|OC|,于是 M 为 OC 中点, ;

? x ? ?4ky 1 y3 ? 设点 C 的坐标为 ( x3 , y3 ) , 则 y0 ? .因为 ? x 2 , 解得 y3 ? ? . 2 2 ? y ?1 4k 2 ? 1 ? ?4
于是

1 2 4k ? 1
2

?

3 |k | 2 1 ,解得 k 2 ? ,所以 k ? ? .----------------14 分 2 4k ? 1 4 8

20. 解: (Ⅰ) an ? 22 n ?1 (若只写出 2,8,32 三项也给满分).----------------------4 分 (Ⅱ)证明:假设能抽出一个子列为无穷等差数列,设为 ?bn ? ,通项公式为
bn ? b1 ? (n ? 1)d .因为 a1 ? 1 ,所以 an ? q n ?1 .

(1)当 0 ? q ? 1时, an ? q n ?1 ∈(0,1],且数列 {an } 是递减数列, 所以 ?bn ? 也为递减数列且 bn ∈(0,1], d ? 0 , 令 b1 ? (n ? 1)d ? 0 ,得 n ? 1 ?
b1 ? 1, d

即存在 n ? N * (n ? 1) 使得 bn ? 0 ,这与 bn ∈(0,1]矛盾. (2)当 q ? 1 时, an ? q n ?1 ≥1,数列 {an } 是递增数数列, 所以 ?bn ? 也为递增数列且 bn ≥1, d ? 0 . 因为 d 为正的常数,且 q ? 1 , 所以存在正整数 m 使得 am?1 ? am ? q m?1 (q ? 1) ? d . 令 bk ? a p ( p ? m) ,则 bk ?1 ? a p ?1 , 因为 a p ?1 ? a p ? q p ?1 ( q ? 1) ? q m?1 ( q ? 1) ? d = bk ?1 ? bk , 所以 a p ?1 ? a p ? bk ?1 ? bk ,即 a p ?1 ? bk ?1 ,但这与 bk ?1 ? a p ?1 矛盾,说明假设不成 立. 综上,所以数列 {an } 不存在是无穷等差数列的子列.------------------------13 分



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