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13.裂项相消法


积极思考

冷静分析

? ? 1 例 1: 求数列? ?的前n项和。 ? n ? (n ? 1) ?

裂项相消法
裂项相消法的基本思想是设法把数 列中的每一项“一拆为二”,即每一项 拆成两项之差,使它们在相加时能消去 一些项,最终达到求和的目的。

? 1 ? 练习:求数列 ? ? 的前n项和 ? n ? (n ? 2) ?

裂项相消法
1.把数列中的每一项“一拆为二”,即 每一项拆成两项之差,使它们在相加时 能消去一些项,最终达到求和的目的。 2.消项的规律:前面保留第几项, 后面则保留倒数第几项,符号相反。

把下列数列的通项拆成两项之差

1 = (2n ? 1) ? (2n ? 1)

————————————

1 1 1 ( ? ) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 ( ? ) = 4 4n ? 1 4n ? 3 ———————————— (4n ? 1) ? (4n ? 3) 1 1 1 1 ( ? ) 6 6n ? 5 6n ? 1 (6n ? 5) ? (6n ? 1) = ————————————

1 ? ? 例2:求数列? ?的前n项和。 ? n ? n ?1?

求数列的 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1? 3 2? 4 3? 5 n ? n?2
前n项和

注:裂项相消法常用于

三、裂项相消法

常见的拆项公式:

1 1 5. ? ( n ? k ? n) n?k ? n k

1 1 1 求和:sn ? ? ? ??? ? 1? 3 3? 5 2n ? 1 ? 2n ? 1

晚修练习: 1、练习册P23 第6题 P33 第6题 2、试卷分两个晚上完成,周三交


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