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含参不等式的解法举例


学案
一,

含参不等式的解法举例

含参数的一元二次不等式的解法:

【例 1】解关于的 x 不等式 (m ? 1) x 2 ? 4 x ? 1 ? 0( m ? R)

变式 1 :解关于 x 的不等式 ax2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0, (a ? 0)

思路点拨:先将左边分解因式,找出两根,然后就两根的大小关系写出解集。 二,含参数的分式不等式的解法:

【例 2】解关于 x 的不等式

ax ? 1 ?0 x ?x?2
2

变式 2 :解关于 x 的不等式

a( x ? 1) ? 1, (a ? 1) x?2

1

三,含参数的绝对值不等式的解法:

【例 3】解关于 x 的不等式 | ax ? 2 |? bx, (a ? 0, b ? 0)

变式 3 : (2004 年辽宁省高考题)解关于 x 的不等式 | x ? 1 | ?a ? 1 ? 0, (a ? R)

四 含参数的无理不等式的解法 【例 4】如果不等式 x ? a ≥ x ( a ? 0 )的解集为 [m, n] ,且 n ? m ? 2a ,求 a 的值. ? x≥0 ? x?0 ? 解法一:不等式 x ? a ≥ x ? ? 或? x ? a≥0 ?x ? a ≥ 0 ? x ? a ≥ x2 ? 解法二: 2 设 x ? a ? t ,则 x ? t ? a 且 t ≥ 0 解法三:
分别作出 y1 ? x ? a ( y ≥ 0 )与 y2 ? x 的图象如下
2

变式 3 :解不等式: a(a ? x) ? a ? 2 x ( a ? 0 ) ,答案: {x | x ?

3 a} 4

1 变式 4 :.解不等式 log a ( x ? ) ? 1 x

变式 5 :.解关于 x 的不等式 log 2 ( x ? 1) ? log 4 [a( x ? 2) ? 1] ( a ? 1 ).

2

【例 1】 分析: 当 m+1=0 时,它是一个关于 x 的一元一次不等式; 当 m+1 ? 1 时, 还需对 m+1>0
及 m+1<0 来分类讨论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论:⑴当 m<-1 时,⊿=4 (3-m)>0,图象开口向下,与 x 轴有两个不同交点,不等式的解集取两边。⑵当-1<m<3 时, ⊿=4(3-m)>0, 图象开口向上,与 x 轴有两个不同交点,不等式的解集取中间。⑶当 m=3 时, ⊿=4 (3-m) =0, 图象开口向上, 与 x 轴只有一个公共点, 不等式的解为方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

的根。⑷当 m>3 时,⊿=4(3-m)<0,图象开口向上全部在 x 轴的上方,不等式的解集为 ? 。 解: 当m ? ?1时, 原不等式的解集为 ? x | x ? ? ;

? ?

1? 4?

当m ? ?1时, (m ? 1) x 2 ? 4 x ? 1 ? 0的判别式?=( 4 3-m); ? 2? 3?m 2? 3? m? 则当m ? ?1时,原不等式的解集为? x | x ? 或x ? ? m ?1 m ?1 ? ? ? 2? 3?m 2? 3?m? 当 ? 1 ? m ? 3时, 原不等式的解集为? x | ?x? ? m ?1 m ?1 ? ?
当 m=3 时,原不等式的解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? ;当 m>3 时, 原不等式的解集为 ? 。 2?

小结:⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解,也可对判 别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确:①图象开口方向,②判别式确定解的存在范 围,③两根大小。⑶二次项的取值(如取 0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。 分析:解此分式不等式先要等价转化为整式不等式,再对 ax-1 中的 a 进行分类讨论求解, 还需用到序轴标根法。

【例 2】解:原不等式等价于 (ax ? 1)( x ? 2)( x ? 1) ? 0
当 a =0 时,原不等式等价于 ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 解得 ? 1 ? x ? 2 ,此时原不等式得解集为{x| ? 1 ? x ? 2 }; 当 a >0 时, 原不等式等价于 ( x ?

1 )( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , a

1 则:当 a ? 时, 原不等式的解集为 ?x | x ? ?1且x ? 2?; 2 1 1 ? 当 0< a ? 时, 原不等式的解集为 ? ? x | x ? 或 ? 1 ? x ? 2? ; 2 a ? ?

1 1 ? ? 当 a ? 时, 原不等式的解集为 ? x | ?1 ? x ? 或x ? 2? ; a 2 ? ?
当 a <0 时, 原不等式等价于 ( x ?

1 )( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , a

则当 a ? ?1 时, 原不等式的解集为 ?x | x ? 2且x ? ?1? ;
1 ? 当 ? 1 ? a ? 0 时, 原不等式的解集为 ? ? x | x ? 或 ? 1 ? x ? 2? ; a ? ?

3

1 ? 当 a ? ?1 时, 原不等式的解集为 ? ? x | x ? ?1或 ? x ? 2? ; a ? ?

小结:⑴本题在分类讨论中容易忽略 a =0 的情况以及对

1 ,-1 和 2 的大小进行比较再结合 a

系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时,一要考虑参数总的取值范围,二 要用同一标准对参数进行划分, 做到不重不漏, 三要使划分后的不等式的解集的表达式是确 定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段,把不等号一边化为 0,再转 化为乘积不等式来解决。 思路点拨:将此不等式转化为整式不等式后需对参数 a 分两级讨论:先按 a >1 和 a <1 分为 两类, 再在 a <1 的情况下, 又要按两根

a?2 与 2 的大小关系分为 a ? 0, a ? 0和0 ? a ? 1 三 a ?1

种情况。有很多同学找不到分类的依据,缺乏分类讨论的意识,通过练习可能会有所启示。

【例 3】分析:解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号,本题要用到同解变形
| f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ,首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式,
然后就 a 、 b 两个参数间的大小关系分类讨论求解。 解: | ax ? 2 |? bx ? ax ? 2 ? ?bx或ax ? 2 ? bx ? (a ? b) x ? 2或(a ? b) x ? 2 当 a ? b ? 0 时, (a ? b) x ? 2或(a ? b) x ? 2 ? x ?
2 2 ?; 此时原不等式的解集为 ? 或x ? ?x | x ? ? a?b a ? b? ?

2 2 或x ? a?b a ?b

当 a ? b ? 0 时,由 (a ? b) x ? 2得x ?

2 , 而(a ? b) x ? 2无解 , a?b

2 ?; 此时原不等式的解集为 ? ?x | x ? ? a ? b? ?

当 0 ? a ? b 时, (a ? b) x ? 2或(a ? b) x ? 2 ? x ?
2 ?; 此时此时原不等式的解集为 ? ?x | x ? ? a ? b? ?

2 2 2 或x ? ?x? a?b a ?b a?b

2 2 ? ;当 b ? a ? 0 时, 综上所述,当 a ? b ? 0 时,原不等式的解集为 ? 或x ? ?x | x ? ? a?b a ? b? ? 2 ?。 原不等式的解集为 ? ?x | x ? ? a ? b? ?

小结:去掉绝对值符号的方法有①定义法: | a |? {?a ( a?0 ) ②平方法: | f ( x) |?| g ( x) |?

a ( a ?0 )

f 2 ( x) ? g 2 ( x) ③利用同解变形: | x |? a ? ?a ? x ? a, (a ? 0); | x |? a ? x ? ?a或x ? a, (a ? 0);
| f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x); | f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ;

【例 4】解得: ?a ≤ x ? 0 或 0 ≤ x ≤

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ,即 ?a ≤ x ≤ 2 2

4

m ? ?a ? ? 即有 ? 1 ? 1 ? 4a ?n ? ? 2 ?1 ? 1 ? 4 a ? a ? 2a ? ∵ n ? m ? 2a ,∴ ? ,解得 a ? 2 2 ? a?0 ? 2 2 原不等式化为 t ≥ t ? a ? t ? t ? a ≤ 0 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ∴0≤t ≤ ,∴ x ? a ≤ 2 2

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ∴ ?a ≤ x ≤ ? ? a ? ? ? ? 2 2 ? ?
以下同解法一

2

y

y2 ? x

y2 ? x ? a

?a


O

x0

x

1 ? 1 ? 4a (负值舍去) 2 1 ? 1 ? 4a 易知欲使 y1 ≥ y2 ,只须: ? a ≤ x ≤ x0 ? ,以下同解法一 2
x ? a ? x ,得 x0 ?
(注:①无理不等式常见的类型有

? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) ? 0 ? 1° g ( x) ≥ f ( x) ? ? 或 ? g ( x) ≥ 0 ; ? g ( x) ≥ 0 ? g ( x ) ≥ f 2 ( x ) ? ? f ( x) ≥ 0 ? 2° g ( x ) ≤ f ( x ) ? ? g ( x ) ≥ 0 ; ? g ( x) ≤ f 2 ( x) ?
②对根式进行换元转化成有理不等式是处理根式的常见方法; ③数形结合解不等式简洁明了.)

变式 3 思路点拨:⑴将原不等式化为 | x ? 1 |? 1 ? a 然后对 a 进行分类讨论求解。⑵要注意
a ? 0时, | x |? a的解集为 空 集 ; a ? 0时, | x |? a的解x ? 0; a ? 0时, | x |? a的解集为R;
⑶抓住绝对值的意义, 在解题过程中谨防发生非等价变形造成的错误。 具体解答请同学们自 己完成。

1 1 变式 4 解:当 a ? 1 时, log a ( x ? ) ? 1 ? x ? ? a x x

5

?

x 2 ? ax ? 1 ?0? x

(x ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 )( x ? ) 2 2 ?0 x

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ? x ? 0 x ? 解得 或 2 2 1 1 当 0 ? a ? 1时, log a ( x ? ) ? 1 ? 0 ? x ? ? a x x ( x ? 1)( x ? 1) ? ?0 ? ?1 ? x ? 0或x ? 1 ? x ? ? ?? ?? a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 x ? 或 0 ? x ? ( x ? )( x ? ) ? ? ? 2 2 2 2 ? ?0 x ?
易证得当 a ? (0,1) ,有 ?1 ? ∴ ?1 ? x ?

a ? a2 ? 4 2

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 或1 ? x ? 2 2 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ? x ? 0或 x ? }; 2 2 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 } 或1 ? x ? 2 2

综上所述,当 a ? 1 时,不等式的解集为 {x |

当 0 ? a ? 1时,不等式的解集为 {x | ?1 ? x ?

(注:有理不等式通常使用“标根法” (或称穿线法) ,原则是“奇穿偶切” )

变式 5 解:原不等式可化为 2 log 2 ( x ? 1) ? log 2 [a( x ? 2) ? 1] x ?1 ? 0 ? 1 ? x ? 2? ? ? 故原不等式 ? ? a ( x ? 2) ? 1 ? 0 由 a ? 1 可化为 ? a ?( x ? 1) 2 ? a ( x ? 2) ? 1 ? ?( x ? a )( x ? 2) ? 0 ?
?(a ? 1) 2 1 ? 0 ,∴ 2 ? ? a a a 1 1 1°若 a ? 2 ,则 2 ? ? 2 ? a ,∴不等式组的解为 2 ? ? x ? 2或x ? a a a 3 2°若 a ? 2 ,则不等式组解为 x ? ( , 2) ? (2, ??) 2 1 1 3°若 1 ? a ? 2 ,则 2 ? ? a ? 2 ,∴不等式组解为 2 ? ? x ? a或x ? 2 a a 1 综上所述,当 1 ? a ? 2 时,原不等式的解为 x ? (2 ? , a) ? (2, ??) ; a 1 当 a ≥ 2 时,原不等式的解为 x ? (2 ? , 2) ? ( a, ??) . a
易知 (2 ? ) ? a ?

1 a

(注:解不等式要注意等价性,对数不等式特别注意真数大于零,本题充分体现了分类讨论 思想.)

6


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