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河北省沧州市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


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河北省沧州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)总体容量为 102,现用系统抽样法抽样,若剔除了 2 个个体,则抽样间隔可以是 () A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

2. (5 分)已知双曲线 x ﹣ A. 2 B. 3

2

=1(b>0)的离心率 C. 4

,则 b 等于() D. 5

3. (5 分)已知向量 =(﹣a,2,1)与 =(1,2a,﹣3)垂直,则 a 等于() A. 2 B. ﹣2
2

C. 1
x

D. ﹣1

4. (5 分)已知 f′(x)是函数 f(x)=(x ﹣3)e 的导函数,在区间[﹣2,3]任取一个数 x,则 f′(x)>0 的概率是() A. B. C. D.

5. (5 分)下列各组中给出简单命题 p 和 q, 构造出复合命题“p∨q”、“p∧q”、“¬p”, 其中使得“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,“¬p”为真命题的一组是() A. p:sin >0,q:log63+log62=1 >0

B. p:log43?log48= ,q:tan

C. p:a∈{a,b},q:{a}? {a,b} D. p:Q? R,q:N={正整数} 6. (5 分)某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名 女生,随机询问了该班五名男生 和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为 88,93,93,88,93,下列说法正确的是() A. 这种抽样方法是一种分层抽样 B. 这种抽样方法是一种系统抽样 C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D. 该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 7. (5 分)某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内应填()

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A. k>4?

B. k>5?

C. k>6?

D. k>7?

8. (5 分)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)过点 P(3,1) ,其左、右焦点分别为 F1、F2,

且 A.

?

=﹣6,则椭圆 E 的离心率是() B. C. D.

9. (5 分)给出下列说法: ①命题“若 x=kπ (k∈Z) ,则 sin2x=0”的否命题是真命题; ②命题“? x∈R,2 < ”是假命题且其否定为“? x∈R,2
a b



”;

③已知 a,b∈R,则“a>b”是“2 >2 +1“的必要不充分条件. 其中说法正确的是() A. 0 B. 1 C. 2

D. 3

10. (5 分)已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) , 下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

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11. (5 分)在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D,E,F 分别是棱 AB,BC, CP 的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为() A. B. C. D.

12. (5 分)已知函数 f(x)=lnx+ x ﹣2x+2 在[e ,+∞) (t∈Z)上有零点,则 t 的最大值 为() A. 0

2

t

B. ﹣1

C. ﹣2

D. 2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)口袋内有 100 个大小相同的红球、白球和黑球,其中有 45 个红球,从中摸出 1 个球,摸出白球的概率为 0.23,则摸出黑球的概率为.
2 2

14. (5 分)已知函数 f(x)= ﹣2(a +1)x (x<0,a∈R) ,则

f′(﹣1)da=.

15. (5 分)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点, 那么直线 AM 和 CN 所成角的余弦值为.

16. (5 分)如图,直线 y=m 与抛物线 y =4x 交于点 A,与圆(x﹣1) +y =4 的实线部分交于 点 B,F 为抛物线的焦点,则三角形 ABF 的周长的取值范围是.

2

2

2

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 2 17. (10 分)设条件 p:x ﹣6x+8≤0,条件 q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)≤0,若 p 是 q 的必要不 充分条件,求实数 a 的取值范围.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. (12 分)有甲、乙两个学习小组,每个小组各有四名学生,在一次数学考试中,成绩情 况如下表: 甲组 学生 一 二 三 四 成绩 78 92 98 88 乙组 学生 一 二 三 四 成绩 86 95 82 96 (Ⅰ)用茎叶图表示两组的成绩情况; (Ⅱ)分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩,求选取的这两名学生中,至少有一名 学生的成绩在 90 以上的概率. 19. (12 分)某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据: 产量 x 千件 2 3 5 6 成本 y 万元 7 8 9 12 (1)求成本 y 与产量 x 之间的线性回归方程(结果保留两位小数) ; (2)试估计产品产量达到一万件时所花费的成本费用.

附: =

, = ﹣



20. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB=BC=CA=AA1,D 为 AB 的中点. (1)求证:BC1∥平面 DCA1; (2)求二面角 D﹣CA1﹣C1 的平面角的余弦值.

21. (12 分)在直角坐标平面内,已知点 A(2,0) ,B(﹣2,0) ,P 是平面内一动点,直线 PA、PB 斜率之积为﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点( ,0)作直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 M,求直线 MA 的 斜率 k 的取值范围.
2 2

22. (12 分)已知函数 f(x)=(ax ﹣x)lnx﹣ ax +bx(a∈R) . (1)当 a=0 时,曲线 y=f(x)在(e,f(e) )处的切线斜率为﹣1(e=2.718?) ,求函数 f (x)的极值; (2)当 b=1 时,求函数 f(x)的单调区间.

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河北省沧州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)总体容量为 102,现用系统抽样法抽样,若剔除了 2 个个体,则抽样间隔可以是 () A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义进行判断即可. 解答: 解:剔除了 2 个个体之后,样本为 100, ∵100 能被 10 整除, ∴样本间隔可以是 10, 故选:D 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,比较基础.

2. (5 分)已知双曲线 x ﹣ A. 2 B. 3

2

=1(b>0)的离心率 C. 4

,则 b 等于() D. 5

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由双曲线 x ﹣ b 的值. 解答: 解:∵双曲线 x ﹣ ∴a=1,c= ∴b= , =3,
2 2

=1(b>0)的离心率

,可得 a=1,c=

,求出 b,即可求出

=1(b>0)的离心率为



故选:B. 点评: 本题主要考查双曲线的简单性质的应用,属于基础题.

3. (5 分)已知向量 =(﹣a,2,1)与 =(1,2a,﹣3)垂直,则 a 等于() A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1

考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直;空间向量的数量积运算.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 空间向量及应用. 分析: 由 解答: 解:∵ ∴ ,可得 , =0,解出即可.

=﹣a+4a﹣3=0,

解得 a=1. 故选:C. 点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系,属于基础题. 4. (5 分)已知 f′(x)是函数 f(x)=(x ﹣3)e 的导函数,在区间[﹣2,3]任取一个 数 x,则 f′(x)>0 的概率是() A. B. C. D.
2 x

考点: 专题: 分析: 解答:

几何概型;导数的运算. 概率与统计. 由题意,首先求出使 f′(x)>0 的 x 的范围,然后由几何概型的公式求之. x 2 解:由已知 f′(x)=e (x +2x﹣3)>0,解得 x<﹣3 或者 x>1, ;

由几何概型的公式可得 f′(x)>0 的概率是

故选:A. 点评: 本题考查了函数求导以及几何概型的运用; 正确求出函数的导数, 正确解不等式是 关键;属于基础题. 5. (5 分)下列各组中给出简单命题 p 和 q, 构造出复合命题“p∨q”、“p∧q”、“¬p”, 其中使得“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,“¬p”为真命题的一组是() A. p:sin >0,q:log63+log62=1 >0

B. p:log43?log48= ,q:tan

C. p:a∈{a,b},q:{a}? {a,b} D. p:Q? R,q:N={正整数} 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 若满足使得“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,“¬p”为真命题,可得:p 为假命题,q 为真命题. 解答: 解:若满足使得“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,“¬p”为真命题, 则 p 为假命题,q 为真命题. A.∵ 不满足条件; = = 0,∴p 为真命题;∵log63+log62=log66=1,∴q 为真命题,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com B.∵log43?log48= = ≠ ,∴p 为假命题;q:tan = = >

0,为真命题. C.p:a∈{a,b},为真命题;q:{a}? {a,b},为真命题. D.p:Q? R,为真命题;q:N={正整数},为真命题. 故选:B. 点评: 本题考查了简易逻辑的判定、函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题. 6. (5 分)某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男生 和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为 88,93,93,88,93,下列说法正确的是() A. 这种抽样方法是一种分层抽样 B. 这种抽样方法是一种系统抽样 C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D. 该 班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 根据抽样方法可知,这种抽样方法是一种简单随机抽样.根据平均数的定义:平均 数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数; 方差公式: s= [ (x1﹣ ) + (x2﹣ )
2 2 2

+?+(xn﹣ ) ]求解即可. 解答: 解:根据抽样方法可知,这种抽样方法是一种简单随机抽样. 五名男生这组数据的平均数=(86+94+88+92+90)÷5=90, 方差= ×[(86﹣90) +(94﹣90) +(88﹣90) +(92﹣90) +(90﹣90) ]=8. 五名女生这组数据的平均数=(88+93+93+88+93)÷5=91, 方差= ×[(88﹣91) +(93﹣91) +(93﹣91) +(88﹣91) +(93﹣91) ]=6. 故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差. 故选:C. 点评: 本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法,要想求方差,必须先求出这组数据 的平均数,然后再根据方差公式求解. 7. (5 分)某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内应填()
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

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A. k>4?

B. k>5?

C. k>6?

D. k>7?

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 k,S 的值,当 k=5 时,根据题意此时满 足条件,退出循环,输出 S 的值为 57,从而即可判断. 解答: 解:执行程序框图,可得 k=2,S=4; k=3,S=11; k=4,S=26; k=5,S=57; 根据题意此时,满足条件,退出循环,输出 S 的值为 57. 故判断框内应填 k>4. 故选:A. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,正确得到退出循环时 k,S 的值是解题的关键, 属于基础题.

8. (5 分)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)过点 P(3,1) ,其左、右焦点分别为 F1、F2,

且 A.

?

=﹣6,则椭圆 E 的离心率是() B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 设 F1(c,0) ,F2(﹣c,0) ,则 =(3﹣c,1) , =(3+c,1) ,利用 ? =

﹣6, 求出 c, 根据椭圆 E:
2

+

=1 (a>b>0) 过点 P (3, 1) , 可得

, 求出 a =18,

2

b =2,即可求出椭圆 E 的离心率. 解答: 解:设 F1(c,0) ,F2(﹣c,0) ,则 ∴ ? =9﹣c +1=﹣6,
2

=(3﹣c,1) ,

=(3+c,1) ,

∴c=4, 2 2 ∴a ﹣b =16, ∵椭圆 E: ∴
2 2

+ ,

=1(a>b>0)过点 P(3,1) ,

∴a =18,b =2, ∴e= = = ,

故选:D. 点评: 本题考查了椭圆的方程与性质,考查学生分析问题的能力,求出 a,b,即可求出 椭圆 E 的离心率. 9. (5 分)给出下列说法: ①命题“若 x=kπ (k∈Z) ,则 sin2x=0”的否命题是真命题; ②命题“? x∈R,2 < ”是假命题且其否定为“? x∈R,2
a b



”;

③已知 a,b∈R,则“a>b”是“2 >2 +1“的必要不充分条件. 其中说法正确的是() A. 0 B. 1 C. 2 考点: 命题的 真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 求出使 sin2x=0 的 x 值判断①; 由基本不等式得到 2 否定判断②;举例说明③正确. 解答: 解:若 sin2x=0,则 2x=kπ ,即 2 = ≥

D. 3



并写出原命题的

,故①错误;

,命题“? x∈R,2 ”,故②正确;
a b



”是假命题,其否

定为“? x∈R,2

当 a=0,b=﹣1 时,由 a>b 不能得到 2 >2 +1,反之成立.故③正确. ∴正确的命题是②③.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:C. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用, 考查了充分条件和必要条件的判定方法, 考查 了命题的否定,是基础题. 10. (5 分)已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) , 下面四个图象中,y=f(x)的 图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 导数的综合应用. 分析: 通过观察函数 y=xf′(x)的图象即可判断 f′(x)的符号以及对应的 x 的所在区 间,从而判断出函数 f(x)的单调性及单调区间,所以观察选项中的图象,找出符合条件 的即可. 解答: 解:由图象看出,﹣1<x<0,和 x>1 时 xf′(x)>0;x≤﹣1,和 0≤x≤1 时 xf′(x)≤0; ∴﹣1<x≤1 时,f′(x)≤0;x>1,或 x≤﹣1 时,f′(x)≥0; ∴f(x)在(﹣1,1]上单调递减,在(﹣∞,﹣1], (1,+∞)上单调递增; ∴f(x)的大致图象应是 B. 故选 B. 点评: 考查观察图象的能力,对于积的不等式 xf′(x)≥0, (或 xf′(x)≤0)的求解, 函数导数符号和函数单调性的关系. 11. (5 分)在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D,E,F 分别是棱 AB,BC, CP 的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为() A. B. C. D.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 以 A 为坐标原点,以 AB 为 x 轴,以 AC 为 y 轴,以 AP 为 z 轴,建立空间直角坐标 系,由已知条件分别求出向量 和平面 DEF 的一个法向量,利用向量法能求出直线 PA 与平

面 DEF 所成角的正弦值. 解答: 解:以 A 为坐标原点,以 AB 为 x 轴,以 AC 为 y 轴,以 AP 为 z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, ∵PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D,E,F 分别是棱 AB,BC,CP 的中点, AB=AC=1,PA=2,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,P(0,0,2) , D( ,0,0) ,E( ∴ 设 =(0,0,2) , ) ,F(0, ,1) , =(0, ,0) , ,

是平面 DEF 的一个法向量,



,即



取 x=1,则



设 PA 与平面 DEF 所成的角为 θ , 则 sinθ =|cos< >|=| |= .

故选:C.

点评: 本题是立体几何典型题,是 2015 届高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、 角、距离的计算.在计算问题中,有“几何法”和“向量法”.利用几何法, 要遵循“一作、 二证、三计算”的步骤,利用向量则简化了证明过程.
2 t

12. (5 分)已知函数 f(x)=lnx+ x ﹣2x+2 在[e ,+∞) (t∈Z)上有零点,则 t 的最大值 为() A. 0

B. ﹣1

C. ﹣2

D. 2

考点: 利用导数研究函数的极值;函数零点的判定定理. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 求导 f′(x)= (e )=
﹣1

(x>0) ;从而判断函数的单调性,再由 f
﹣2

+1﹣ >0,f(e )=



﹣2)<0 再求得 t 的最大值为﹣2. (x>0) ;

解答: 解:f′(x)=

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 令 f′(x)>0 解得 0<x< 或 x>2; 令 f′(x)<0 解得 <x<2; ∴f(2)是极小值, ∴f(2)= >0,

∴f(x)在[ ,+∞)上无零点, ∴e < 且 f(e )<0; ∵f(e )= f(e )=
﹣2 ﹣1 t t

+1﹣ >0, ( ﹣2)<0;

∴当 t≤﹣2 时,满足题意; 即 t 的最大 值为﹣2; 故选 C. 点评: 本题考查了导数的综合应用及函数零点的判定定理的应用,属于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)口袋内有 100 个大小相同的红球、白球和黑球,其 中有 45 个红球,从中摸出 1 个球,摸出白球的概率为 0.23,则摸出黑球的概率为 0.32. 考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: 因为口袋内有 100 个大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1 个球,摸出白球的 概率为 0.23,所以可求出口袋内白球数.再根据其中有 45 个红球,可求出黑球数,最后, 利用等可能性事件的概率求法,就可求出从中摸出 1 个球,摸出黑球的概率. 解答: 解:∵口袋内有 100 个大小相同的红球、白球和黑球从中摸出 1 个球,摸出白球的 概率为 0.23, ∴口袋内白球数为 32 个,又∵有 45 个红球,∴为 32 个. 从中摸出 1 个球,摸出黑球的概率为 =0.32

故答案为 0.32 点评: 本题考查了等可能性事件的概率求法,属于基础题,必须掌握.
2 2

14. (5 分)已知函数 f(x)= ﹣2(a +1)x (x<0,a∈R) ,则

f′(﹣1)da=



考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出函数 f(x)的导函数,得到 f′(﹣1) ,再求出关于 a 的函数的原函数,然后 分别代入积分上限和下限后 作差得答案.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:∵f(x)= ﹣2(a +1)x , ∴ ∴f′(﹣1)=4a ﹣a+4. 则 f′(﹣1)da= . (4a ﹣a+4)da=
2 2 2 2



=

故答案为:

点评: 本题考查了定积分,考查了基本初等函数的导数公式,是基础的计算题. 15. (5 分)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点, 那么直线 AM 和 CN 所成角的余弦值为 .

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 B1, 得到的锐角或直角就是异面直线 所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可. 解答: 解:如图,将 AM 平移到 B1E,NC 平移到 B1F,则∠EB1F 为直线 AM 与 CN 所成角 设边长为 1,则 B1E=B1F= ∴cos∠EB1F= , 故答案为 ,EF=

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本小题主要考查异面直线所成的角, 考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力, 属于基础题. 16. (5 分)如图,直线 y=m 与抛物线 y =4x 交于点 A,与圆( x﹣1) +y =4 的实线部分交于 点 B,F 为抛物线的焦点,则三角形 ABF 的周长的取值范围是(4,6) .
2 2 2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: 圆 (x﹣1) +y =4 的圆心为 (1, 0) , 与抛物线的焦点重合, 可得|FB|=2, |AF|=xA+1, |AB|=xB﹣xA,即可得出三角形 ABF 的周长=2+xA+1+xB﹣xA=xB+3,利用 1<xB<3,即可得出. 2 2 解答: 解:圆(x﹣1) +y =4 的圆心为(1,0) ,与抛物线的焦点重合, ∴|FB|=2,|AF|=xA+1,|AB|=xB﹣xA, ∴三角形 ABF 的周长=2+xA+1+xB﹣xA=xB+3, ∵1<xB<3, ∴三角形 ABF 的周长的取值范围是(4,6) . 故答案为: (4,6) . 点评: 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、 三角形的周长, 考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 2 17. (10 分)设条件 p:x ﹣6x+8≤0,条件 q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)≤0,若 p 是 q 的必要不 充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 分别求出关于 p,q 的 x 的范围,根据 p 是 q 的必要不充分条件,得到不等式,解 出即可. 2 解答: 解:设集合 A={x|x ﹣6x+8≤0},B={x|(x﹣a) (x﹣a﹣1)≤0}, 则 A={x|2≤x≤4},B={x|a≤x≤a+1}, ∵p 是 q 的必要不充分条件,∴B?A, ∴ ,解得:2<a<3,

又当 a=2 或 a=3 时,B?A, ∴a∈[2,3]. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了集合之间的关系,是一道基础题.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. (12 分)有甲、乙两个学习小组,每个小组各有四名学生,在一次数学考试中,成绩情 况如下表: 甲组 学生 一 二 三 四 成绩 78 92 98 88 乙组 学生 一 二 三 四 成绩 86 95 82 96 (Ⅰ)用茎叶图表示两组的成绩情况; (Ⅱ)分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩,求选取的这两名学生中,至少有一名 学生的成绩在 90 以上的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;茎叶图. 专题: 计算题. 分析: (I)把两组数据的十位做茎,个位做叶,得到作出茎叶图. (II)先列举出分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩,所有可能的结果的个数,然 后求出选取的这两名学生中,至少有一名学生的成绩在 90 以上的基本事件的个数,由等可 能事件的概率的求解公式即可 解答: 解: (Ⅰ)茎叶图:?(5 分)

(Ⅱ)分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩,所有可能的结果有 16 种, 它们是: (78,86) , (78,95) , (78,82) , (78,96) , (92,86) , (92,95) , (92,82) , (92, 96) (98,86) , (98,95) , (98,82) , (98,96) , (88,86) , (88,95) , (88,82) , (88,96) 设“选取的这两名学生中,至少有一名学生的成绩在 90 以上”为事件 A,则 A 中包含的基 本事件有 12 个, 它们是: (78,95) , (78,96) , (92,86) , (92,95) , (92,82) , (92,96) (98,86) , (98, 95) , (98,82) , (98,96) , (88,95) , (88,96) 所以所求概率为 P(A)= ?(13 分)

点评: 本题主要考查了由统计图表绘制茎叶图,及等可能事件的概率求解公式的应用. 19. (12 分)某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据: 产量 x 千件 2 3 5 6 成本 y 万元 7 8 9 12 (1)求成本 y 与产量 x 之间的线性回归方程(结果保留两位小数) ; (2)试估计产品产量达到一万件时所花费的成本费用.

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附: =

, = ﹣



考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)求线性回归直线方程要先求出均值,再由公式求出 a,b 的值,写出回归直线 方程; (2)令 x=10,求出 y 即可. 解答: 解: (1) =4, =9,b= =1.10

a=9﹣1.10×4=4.60 ∴回归方程为:y=1.10x+4.60; (2)x=10 时,y=1.10×10+4.60=15.60. 点评: 本题考查线性回归方程,解题的关键是理解并掌握求回归直线方程中参数 a,b 的 值的方法,及求解的步骤. 20. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB=BC=CA=AA1,D 为 AB 的中点. (1)求证:BC1∥平面 DCA1; (2)求二面角 D﹣CA1﹣C1 的平面角的余弦值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题. 分析: 方法一(1)先做出辅助线,连接 AC1 与 A1C 交于点 K,连接 DK,根据要证明线与面 平行,需要在面上找一条和已知直线平行的直线,找到的直线是 DK. (2)根据二面角 D﹣CA1﹣C1 与二面角 D﹣CA1﹣A 互补,做出辅助线,边做边证作 GH⊥CA1, 垂足为 H,连接 DH,则 DH⊥CA1,得到∠DHG 为二面角 D﹣CA1﹣A 的平面角,解出结果. 方法二(1)以 BC 的中点 O 为原点建系,根据要用的点的坐标,写出对应的向量的坐标,设 出一个平面的法向量,求出法向量.根据法向量与已知直线的方向向量的数量积等于 0,得 到结论. (2)以 BC 的中点 O 为原点建系,根据要用的点的坐标,写出对应的向量的坐标,设出一个 平面的法向量,根据法向量与平面上的两个向量垂直且数量积等于 0,得到一个法向量,另 一个平面的法向量可以直接写出, 根据两个平面的法向量所成的角的余弦值求出二面角的余 弦值. 解答: (方法一) (1)证明:如图一,连接 AC1 与 A1C 交于点 K,连接 DK. 在△ABC1 中,D、K 为中点,∴DK∥BC1. 又 DK? 平面 DCA1,BC1?平面 DCA1, ∴BC1∥平面 DCA1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)解:二面角 D﹣CA1 ﹣C1 与二面角 D﹣CA1﹣A 互补. 如图二,作 DG⊥AC,垂足为 G, 又平面 ABC⊥平面 ACC1A1,∴DG⊥平面 ACC1A1. 作 GH⊥CA1,垂足为 H,连接 DH,则 DH⊥CA1, ∴∠DHG 为二面角 D﹣CA1﹣A 的平面角 设 AB=BC=CA=AA1=2, 在等边△ABC 中,D 为中点,∴ ∴ , ,∴ ,在正方形 ACC1A1 中, . ,





∴所求二面角的余弦值为



图一图二图 三 (方法二) (1)证明:如图三以 BC 的中点 O 为原点建系,设 AB=BC=CA=AA1=2. 设 是平面 DCA1 的一个法向量,



.又







.令

,∴



,∴



又 BC1?平面 DCA1,∴BC1∥平面 DCA1. (2)解:设 是平面 CA1C1 的一个法向量,



.又







.令

,∴



文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴ ∴所求二面角的余弦值为 . .

点评: 本小题主要考查立体几何的相关知识, 具体涉及到线面的平行关系、 二面角的求法 及空间向量在立体几何中的应用,本题可以利用空间向量来解题从而降低了题目的难度. 21. (12 分)在直角坐标平面内,已知点 A(2,0) ,B(﹣2,0) ,P 是平面内一动点,直线 PA、PB 斜率之积为﹣ . (Ⅰ)求 动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点( ,0)作直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 M,求直线 MA 的 斜率 k 的取值范围. 考点: 轨迹方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)设 P 点的坐标为(x,y) ,依题意,有 可知动点 P 的轨迹 C 的方程. .由此

(Ⅱ) 依题意, 可设直线 l 的方程为

, 由方程组

消去 x, 并整理得 ( 4 3m +4)

2

y +12my﹣45=0,由此入手可推导出直线 MA 的斜率 k 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)设 P 点的坐标为(x,y) , 依题意,有 . (3 分)

2

化简并整理,得



∴动点 P 的轨迹 C 的方程是 (Ⅱ)依题意,直线 l 过点 , (5 分)

. (4 分) 且斜率不为零,故可设其方程为

由方程组

消去 x,并整理得

4(3m +4)y +12my﹣45=0(6 分)

2

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,M(x0,y0) ,则 ∴ , (7 分)

∴ ∴ ,



, (9 分)

①当 m=0 时,k=0; (10 分) ②当 m≠0 时,



,∴0





.∴

且 k≠0. (11 分) . (12 分)

综合①②可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是:﹣

点评: 本题考查轨迹方程的求法和直线方程的知识, 解题时要认真审题, 注意公式的灵活 运用.
2 2

22. (12 分)已知函数 f(x)=(ax ﹣x)lnx﹣ ax +bx(a∈R) . (1)当 a=0 时,曲线 y=f(x)在(e,f(e) )处的切线斜率为﹣1(e=2.718?) ,求函数 f (x)的极值; (2)当 b=1 时,求函数 f(x)的单调区间. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)当 a=0 时,求函数的导数,根据曲线 y=f(x)在(e,f(e) )处的切线斜率 为﹣1,求出 b 的值,即可求函数 f(x)的极值; (2)当 b=1 时,求函数的导数,根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论. 解答: 解: ( 1)当 a=0 时,f(x)=bx﹣xlnx,f′(x)=b﹣1﹣lnx, ∵f′(e)=﹣1,∴f′(e)=b﹣1﹣lne=b﹣2=﹣1, 解得 b=1, ∴f(x)=x﹣xlnx,f′(x)=﹣lnx, 由 f′(x)>0 得,0<x<1,此时函数递增, 由 f′(x)<0,得 x>1,此时函数递减, 即当 x=1 时,函数 f(x)取得极大值,此时极大值为 f(1)=1.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ( 2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞)f′(x)=(ax ﹣x) +(2ax﹣1)lnx﹣ax+1=(2ax ﹣1)lnx, ①当 a≤0 时,2ax﹣1<0,在(0,1)上 f′(x)>0,在(1,+∞)上 f′(x)<0 ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上递减; ②当 0<a< 时,在(0,1)和( ∴f(x)在(0,1)和( ,+∞)上 f′(x)>0,在(1, )上递减; )上 f′(x)<0
2

,+∞)上单调递增,在(1,

③当 a= 时,在(0,+∞)上 f′(x)≥0 且仅有 f′(1)=0, ∴(x)在(0,+∞)上单调递增; ④当 a> 时,在(0, ∴f(x)在(0, )和(1,+∞)上 f′(x)>0,在( ,1)上 f′(x)<0

)和(1,+∞)上单调递增,在(

,1)上递减.

点评: 本题主要考查函数导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关 系. 当导函数大于 0 时原函数单调递增, 当导函数小于 0 时原函数单调递减, 考查运算能力, 属中档题.


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