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2013年重庆一中高2014级高三上期第四次月考理科数学


秘密★启用前

2013 年重庆一中高 2014 级高三上期第四次月考考试











2013.12

数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一.选择题.(每小题 5 分,共 50 分) 1、 i 是虚数单位,复数 A. i B.1

z?

3 ? 4i ?4 ? 3i 的虚部是
C. ?1

( D. ?i



2、 已知条件 p: k= 3 , 条件 q: 直线 y=kx+2 与圆 x2+y2=1 相切, 则p是q的 A.充分不必要条件 分也不必要条件
2





B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充

3、 (原创)抛物线 x ? 4 y 在点(2,1)处的切线的纵截距为





A.
t

B. 1

C.
2

D. )

4、已知

(2 x ? 1)dx ? t ,若 ?
1

,则



A.

B.2

C.4

D.3

x2 y 2 ? 2 ?1 F 、F2 ,过 5、 (原创)椭圆 9 m , (0 ? m ? 3) 的左右焦点分别为 1
交于 A、B 两点,点 B 关于 y 轴的对称点为点 C,则四边形 A. 2m B. 4m

F2 的直线与椭圆


AF1CF2 的周长为(
2

C. 4 9 ? m

D. 12 )

6、若 A, B 是锐角三角形的两内角,则 tan A tan B 与 1 的大小关系是( A.大于 B.等于 C.小于 或等于 D.不确定

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 2 7、 双曲线 a 的一个焦点为 (2, 0) ,则其渐近线方程为





A. y ? ? 3 x

y??
B.

3 x 3

C. y ? ?2 x

1 y?? x 2 D.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 2 b 8、已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 恰好是椭圆 a 的右焦点,且两条曲线交
点的连线过点 F ,则该椭圆的离心率为 ( )

A.1

B. 2 ? 1

C. 3 ? 1
n ?1

2 D. 2

9、 (原创)由代数式化简知识可得: (a ? b)(a y 满足 x ? y ? 1, x ? y ? 2 ,则 x ? y ? (
2 2 5 5

? b n ?1 ) ? ab(a n ? b n ) ? a n ? 2 ? b n ? 2 。若 x,



21 A. 4

B. 5

19 C. 4

9 D. 2

10、 (原创) 已知 D 是面积为 1 的 ?ABC 的边 AB 上任一点, E 是边 AC 上任一点, 连结 DE, F 是 线 段 DE 上 一 点 , 连 结 BF , G 是 BF 上 一 点 , 设

2 AD ? ?1 AB, AE ? ?2 AC , DF ? ?3 DE , BG ? ?4 BF ,且 ?1 ? ?4 ? ?2 ? ?3 ? 3 ,记 ?GDF
的面积为

S ? f (?1 , ?2 , ?3 , ?4 ) ,则 S 的最大值是(
1 B. 64



16 A. 81

8 C. 81

1 D. 81

二.填空题.(每小题 5 分,共 25 分) 11 、 (原创)各项为正的等比数列 为 .

{an } 中 , a3 a7 a5 ? 64 , a2 a6 ? 4 , 则 该 数 列 的 公 比

?sin ? x(0 ? x ? 1) f ( x) ? ? ?log 2014 x(1 ? x) , 若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) , 则 12 、已知函数

a ? b ? c 的取值范围是________________.

1 x、y ? [ , ??) 2 13、 (原创)已知 ,且 2 x ? 3 y ? 4 xy ? 1 ,则 2x+y 的最小值为
14、若直线 kx ? y ? 2 ? 0 与曲线 范围是 .

.

1 ? ( y ? 1) 2 ?| x | ?1 有两个不同的交点,则实数 k 的取值

15、 (原创)已知 A(-2,2) 、B(2,1) 、C(-2,-2) ,点 P(x,y)在 ?ABC 内部及其边 界,若目标函数 Z=mx+ny 的最大值不大于 6,则 mn 的取值范围是 。

三.解答题.(共 75 分) 16、已知等差数列 (1)求数列

{an } 是递增数列,且满足 a4 ? a7 ? 15, a3 ? a8 ? 8

{an } 的通项公式;
1 9an ?1an (n ? 2), b1 ? 1 3 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n

bn ?
(2)令

17、 (原创)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 (1)若 (2)若 c ? , ,求边 c;

C?

?
3.

3 , sin C ? sin( B ? A) ? sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

18、如图, ?ABC 中,

?B ?

?

2 , A(?2, 0) 、 B(0, ?2 2) ,顶点 C 在 x

轴上,设圆 M 是△ ABC 的外接圆: (1)求圆 M 的标准方程; (2) 若点 O 为坐标原点,DE 是圆 M 的任意一条直径,试问 OD ? OE 是 否为定值?若是,求出定值并证明你的结论;若不是,说明理由。

f ( x) ?
19、已知函数

1? x ? ln x ax

(1)若函数 f ( x) 在 [1, ??) 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 有两个零点,求实数 a 的取值范围。

20、 设抛物线 C 的方程为: y ? 2 px( p ? 0) ,焦点为 F , 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A、B
2

两点,且 AF ? 2 FB

x ? ay ?
(1)若设直线 AB 的方程为

p 2 的形式,求 a 2 的值;

9 (2)若线段 AB 的中点到抛物线的准线的距离为 4 ,求 C 的方程;
(3)设

P( x0 , y0 )( x0 ? 2) 是(2)中所求抛物线 C 上的动点,定点 Q(2, 0) ,线段 PQ 的垂直平分

线与 x 轴交于点 M (m, 0) ,求实数 m 的最小值。 21、 (原创)在数列 (1)若 a=6,b=5,求

{an } 中, a1 ? a, a2 ? b(a、b、n ? N ?下同) , an ?| an ?1 ? an ? 2 | , n ? 3 a5、a7 的值;
?

(2)是否存在正整数 m,使得 ?a、b ? N ,都有 值,并证明你的结论,若不存在,说明理由; (3)证明

an ? an ? m 成立?若存在,给出一个 m 的

{an } 中有无穷多个为零的项。

2013 年重庆一中高 2014 级高三上期第四次月考 数 学 答 案(理科) 2013.12 一.选择题.(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 D 6 A 7 B 8 B 9 C 10 D

二.填空题.(每题 5 分,共 25 分)

11.



12. (2,2015) ;

13. 3;

14.



15.

; 三.解答题.(共 75 分)

16.(1)

(2) 当

n

时 ,

, 又

17.(1)由余弦定理得: (2)

因为 A 、 B 为三角形内角,所以



,又因为







18. (1) (2)设过 M 的直线为:

∴C(4,0)半径为 3 , 与圆

∴圆 M: 的两个交点为 D( ), E( )

∴ 则 =

得:



,当过 M 的直线垂直于 y 轴时,经检验满足。 (2)另解: =

19. ( 1 ) 在 上恒成立 ,



上为增函数,



时,





时,

综上所述:

(2)

,定义域为

,



时,

,

,



上为增函数,不可

能有两个零点。



时,令



上为减函数,在

上为





















上为增函数,



上为减函数,又

综上所述:

19 题第二问 另解:

,定义域为

,



时,

,

,



上为增函数,不可

能有两个零点。



时,令



上为减函数,在

上为

增函数,

1当

时,

,只有一个零点,舍

2

















(













)



,



,可知

有两个零点。

3当

时,



(由解法一可知),

,当 x 趋于 综上所述:

时,

,可知

有两个零点。

20.(1)焦点 F

,设 A

、 B

联立直线



得:

可得:

代入



(2) 准 线 方 程 为

, 设

AB

的 中 点 为

D

, 则 有

,由(1)知:

,代入得

,又线



的中点到抛物线的准线的距离为

,

, 所以抛物线的方程为

(3)

,

则 PQ 的中点为

,PQ 的斜率为

,所以 PQ 的中垂线

的方程为: 在 抛 物 线 上

, 令 y=0 , 可 得 , 则 , 代 入

,又点 得

,

, 等,所以 m 的最小值为 。

,当且仅当

时取

21.(1)解: (2)存在,如 m=3 时,可证 ,证明如下: 又

所以 当 时 , 又 ,





(3)证明如下:根据定义,数列 没有 0, 由于 0,所以对于任意的 n,都有 中 的 最 大 者 ,

必在有限项后出现零项.用反证法证明,假设



), ,从而 为 , 定义符号 两 个 数 中 为

,又

中没有 三个数 较 大 者



1, , 又 , , 2 由 12 知 于 ,这与 矛盾. 从而 项,记 ,令 则

是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 必有零项. ,则自第 项开始,每三个相邻的项周

记第一次出现的零项为第

期地取值 0,

,

, 即

所以数列

中有无穷多个为


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