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专题03 三角函数与解三角形(理)(教学案)-2014年高考数学二轮复习精品资料(解析版)


【高效整合篇】

一.考场传真
1. 【 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 四 川 卷 ) 理 科 】 函 数

f ( x )? 2 s? i xn?(? ? ? ) ? (
( )

?
2

?? 0? ,

?
2

) 象 如 图 所 示 , 则 ?, ? 的 值 分 别 是 的部分图

A. 2, ?

?
3

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

? 3

2.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科】在锐角中 ?ABC ,角 A, B 所对 的边长分别为 a , b .若 2a sin B ? 3b ,则角 A 等于( A. ) D.

? 12
[

B.

? 6

C.

? 4

? 3

3.【2012 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科】若 ? ? ? , ? , sin 2? = , 8 ?4 2? 则 sin ? =( ) A.

?? ? ?

3 7

3 5

B.

4 5

C.

7 4

D.

3 4

4. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科】 将函数 y ? 3cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 ( A. )

π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

B. 5. 【 2012 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 上 海 卷 ) 理 科 】 在 ?ABC 中 , 若

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是(
A.锐角三角形 B.直角三角形

) D.不能确定

C.钝角三角形

6. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I)理科】 设当x=θ时, 函数f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则cosθ=______.

7.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科】函数 y ? sin 2x ? 2 3sin 2 x 的 最小正周期 T 为_______.

?? 4 ? 8. 【2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)理科】 设 ? 为锐角, 若 cos ? ? ? ? ? , 6? 5 ?
则 sin( 2? ?

?
12

) 的值为



9.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I 卷)理科】如图,在△ABC 中,∠ABC =90° ,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° . 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150° ,求 tan ?PBA .

二.高考研究

一.基础知识整合
1.巧记六组诱导公式 kπ 对于“ ± α,k∈Z 的三角函数值”与“α 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇 2 变偶不变,符号看象限. 2.辨明常用三种函数的易误性质 函数 图像 π 在? ?-2+2kπ, π +2kπ?(k∈Z)上单 2 ? 单调性 调递增;在 在[-π+2kπ, 2kπ](k ∈Z)上单调递增;在 [2kπ, π+2kπ](k∈Z) 上单调递减 π 在? ?-2+kπ, π +kπ?(k∈Z)上单 2 ? 调递增 y=sin x y=cos x y=tan x

?π+2kπ,3π+ 2kπ(k 2 ?2
∈Z)上单调递减 函数 y=sin x 对称中心:(kπ,0)(k 对称性 π ∈Z); 对称轴: x= + 2 kπ(k∈Z)

y=cos x 对称中心:

y=tan x

kπ ? ,0 对称中心:? 2 ? ? ?π+kπ,0?(k∈Z); 对 ?2 ? 称轴:x=kπ(k∈Z) (k∈Z)

3.识破三角函数的两种常见变换
ω (1)y=sin x― ― ― ― ― ― ― ― →y=sin(x+φ) ― ― ― ― ― ― ― ― → y=sin(ωx+φ) 平移|φ|个单位 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 向左?φ>0?或向右?φ<0? 横坐标变为原来的 1 倍

― ― ― ― ― ― ― → y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). 横坐标不变
横坐标变为原来的 1 倍 向左?φ>0?或向右?φ<0? ω

ω y=sin ωx― φ (2)y=sin x ― ― ― ― ― ― ― → ― ― ― ― ― ― ― →y=sin(ωx+φ) 平移| |个单位 纵坐标不变

― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). 横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍

5. “熟记”两个定理 (1)正弦定理 a b c = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sin A sin B sin C 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2R 2R 2R a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (2)余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= ,cos B= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= . 2ab 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B, a2+b2-c2=2abcos C.

二.高频考点突破 考点 1 三角变换与求值
【例 1】 【 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 浙 江 卷 ) 理 科 】 已 知

? ? R, sin ? ? 2 cos? ?
A.

10 ,则 tan 2? ? ( 2
C. ?

) D. ?

4 3

B.

3 4

3 4

4 3

【规律方法】 此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用, 考查二倍角正切公式 的应用,考查学生的运算求解能力. 【举一反三】 【 2012 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 辽 宁 卷 ) 理 科 】 已 知

sin ? ? c o? s?
A. ? 1

2 ? ?(0,π),则 tan ? = ,
B. ?

(

)

2 2

C.

2 2

D. 1

考点 2 三角函数的图像与性质
【例 2】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科】 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2
3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

【规律方法】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式,三角函数 的最小正周期、单调性等基础知识,考查基本运算能力.解决三角函数性质有关的问题时, 一是要熟记相关的结论和公式,二是要注意数形结合. 【举一反三】 【广东省佛山市南海区 2014 届普通高中高三 8 月质量检测理】已知函数

f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) .
(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f ( x) 的最大值.

考点 3 三角形中边角关系
【例 3】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科】设 ?ABC 的内角 A, B, C

所对的边分别为 a , b, c ,且 a ? c ? 6, b ? 2 , cos B ? (Ⅰ)求 a, c 的值; (Ⅱ)求 sin ? A ? B ? 的值.

7 . 9

【 规律方法 】 本题考查了正弦定理和余弦定理的应用,考查了方程思想和运算能力 . 由

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 7 ? 求 a ? c ? 3 的过程中体现了整体代换的运算技巧,而求 2ac 9

sin ? A ? B ? 的过程则体现了“通性通法”的常规考查.
【举一反三】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理科】△ABC 在内角

A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .
(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ABC 面积的最大值.

考点 4 解三角形在实际生活中应用
【例 4】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)理科】如图,旅客从某旅游区的 景点 A 处下山至

C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C , 另一种从 A 沿索道乘缆车到 B , 然后从 B 沿
直线步行到 C . 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min,在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆 车到 B , 在 B 处停留 1 min 后, 再从 B 匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长 1260 m ,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? . 13 5

(1)求索道 AB 的长;

(2)问乙出发后多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围 内?

【规律方法】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关 系、两角和的正弦等基础知识,考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力. 【举一反三】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)理科】如图,在等腰直角

?OPQ 中, ?POQ ? 90? , OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上.
(Ⅰ) 若 OM ? 5 ,求 PM 的长; (Ⅱ)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30 ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面
0

积最小?并求出面积的最小值.

三.错混辨析
1.忽视函数的定义域出错 【例 1】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科】

?? ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ?
(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期;
? ?? (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

2.忽视边长的固有范围 【例 2】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科】在△ ABC 中,角 A, B, C 所 对的边分别为 a , b, c ,已知 cos C ? (cos A ? 3sin A)cos B ? 0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围.

1.已知函数 f ( x) ? cos x sin 2 x ,下列结论中错误的是( A.y ? f ( x) 的图像关于点 (? , 0) 中心对称 称 C. f ( x) 的最大值为



B.y ? f ( x) 的图像关于直线 x ?

?
2



3 2

D. f ( x) 既是奇函数,又是周期函数

【题后反思】本题三角函数与导数的结合很巧妙,用导数分析函数的最值,体现在知识的交 汇处命题的原则.

?? ? 2.已知函数 f ( x) ? sin( wx ? ? )( w ? 0,0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? ,图象的一个对称中心为 ? ,0 ? , ?4 ?
将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将得到的图象向右 平移个

?
2

单位长度后得到函数 g ( x) 的图象.

(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式

?? ? ? (2)是否存在 x0 ? ? , ? ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存 ?6 4?
在,请确定 x0 的个数,若不存在,说明理由; (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 ?0, n? ? 内恰有 2013 个零点

【题后反思】本题考查了三角函数的性质、恒等变换、图像以及函数的零点.将函数的所有 性质依托于三角函数展示,并且对多方面能力的综合考查.属于难题,但第一问是送给学生 的.


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