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陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题


长安一中 2017~2018 学年度第一学期期末考试

高一数学试题
时间:100 分钟 总分:150 分 命题人:李林刚 审题人:任晓龙 一、选择题(本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.设函数 y ? A. ? 0,1?

x 的定义域 A ,函数 y ? ln(1 ? x ) 的定义域为 B ,则 A ? B =(
B. ?0,1? C. ? 0,1? ) D. ?3 , 9 ? D.



?0,1?

2.已知向量 a ? ?2 , 4? , b ? ?? 1 , 1? ,则 2a ? b ? ( A. ?5 , 7 ? B. ?5 , 9 ? ) C. ?3 , 7 ?

3.下列函数为奇函数的是( A. y ? x

B. y ? | sin x |

C. y ? cos x

D. y ? e x ? e ? x )

4.函数 f ? x ? ? sin ? x ? A. x ?

? ?

??

? 的图象的一条对称轴是( 4?

?
4

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

D. x ? ?

?
2


5.若函数 f ?x? ? x 2 ? ax ? 3 在区间 ( ?? , 4] 上单调递减,则实数 a 满足的条件是( A. [8 , ? ?)
1

B. ( ?? , 8]

C. [4 , ? ?)

D. [ ?4 , ? ?)

(0,1) 6.给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ? 1), ③ y ? x ? 1 , ④ y ? 2 x ?1, 其中在区间 上单
2

调递减的函数序号是( A.①②

) B. ②③

C. ③④ )

D. ①④

7. 函 数 f ?x ? ? l o g 2 x? x?4的零点所在的区间是(

?1 ? A. ? , 1? ?2 ?

B. ?1 , 2?

C. ?2 , 3?

D. ?3 , 4 ?

8. 设 a ? log3 6, b ? log5 10, c ? log7 14, 则( A. a ? b ? c B. b ? c ? a

) C. a ? c ? b D. c ? b ? a

9.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的一部分图像如图所示,则( )

? ) ?1 6 ? C. f ( x) ? 2sin(3x ? ) ? 2 6
A. f ( x) ? 3sin(2 x ?

? )? 2 3 ? D. f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 2 6
B. f ( x) ? 2sin(3x ?

10.已知 ?ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D, E 分别是边

AB, BC 的中点,连接 DE 并延 长到点 F ,使得 DE ? 2 EF ,则 AF ? BC 的值为( )
A. ?

[来源:Zxxk.Com]

5 8

B.

1 8

C.

1 4


D.

11 8

11.函数 y ? ? sin 2 x ? 3cos x ? 3 的最小值是( A. -

[来源:Z§ xx§ k.Com]

1 4

B.0

C.2

D.6

12. 已知函数 f ( x ) ? ?

?(1 ? 2a ) x ? 3a, x ? 1 的值域为 R , 那么实数 a 的取值范围是 ( ln x , x ? 1 ?
B. ( ?1, )



A.(-?, ?1?

1 2

C. ? -1,

? ?

1? ? 2?


D. ? 0, ?

? ?

1? 2?

13.设 ? ? (0,

?

? 1+ sin ? ), ? ? (0, ) ,且 tan ? ? , 则( 2 2 cos ?
?
2
B.3? +? ?

A.3? ? ? ?

? 2

C. 2? ? ? ?

?
2

D. 2? +? ?

?
2

14.已知函数

, 把函数 f ? x ? 的图象向右平移

个单位 ,得到函数 g ? x ? 的图象,若 x1 , x2 是 g ? x ? ? m ? 0 在

内的两根,则

sin( x1 ? x2 ) 的值为(
A. B.



C.

D.

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.把答案填写在答题卡相应的位置.) 15.已知向量 a ? (?2,3), b ? (3, m) ,且 a ? b ,则 m= .

16.已知向量 a , b 满足 | a |= 1,| b |= 2, a , b 的夹角为 60 0 ,则 | a - b | =________. 17.已知角 ? 的终边经过点 P(4, ?3) ,则 2 sin ? ? cos ? = .

18.奇函数 f ?x ? 的定义域为 [?2 , 2] ,若 f ?x ? 在 [0 , 2] 上单调递减,且 f ?1 ? m? ? f ?m? ? 0 , 则实数 m 的取值范围是________________ . 19. 由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献,人们将函数

? 0, x是无理数, 命名为狄利克雷函数, 已知函数 f ( x) ? x ? D( x) , 下列说法中: D( x ) ? ? ?1,x是有理数
①函数 f ( x ) 的定义域和值域都是 R; ③函数 f ( x ) 是周期函数; 正确结论是 20.已知函数 f ( x) ? ? . ②函数 f ( x ) 是奇函数; ④函数 f ( x ) 在区间 ? 2,3? 上是单调函数.

?| log 2 x |, x ? 0
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0

,关于 x 的方程 f ( x) ? m ( m ? R )有四个不同的

实数解 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 x2 x3 x4 的取值范围为



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 4 小题,共 50 分) 21.(本小题满分 12 分) 计算下列各式的值:
1 ? 3 ?2 ?1 0 3 (1) ( ?3 ) ? (0.002) 2 ? 10( 5 ? 2) ? ( 2 ? 3) 8

[来源:学§ 科§ 网]

(2) lg 25 ?

2 lg8 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 2) 2 3

3? ) 2 (3) cos(?? ? ? )sin(?? ? ? )cos(3? ? ? ) sin(? ? 3? )cos(2? ? ? )sin( ?? ?
22. (本小题满分 12 分) 如 图 所 示 , A, B 分 别 是 单 位 圆 与

x 轴、 y 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上,

?AOP ? ? (0 ? ? ? ? ) , C 点坐标为 ( ?2,0) ,平行四边形 OAQP 的面积为 S .
(1)求 OAg OQ +S 的最大值; (2)若 CB / /OP ,求 的值.

uur uuu r

23. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? m,cos2 x ? , b ? ?sin2 x,1? ,函数 f ? x ? ? a ? b ,且 y ? f ? x ? 的图象过 点?

? π ? , 3? . 12 ? ?

[来源:Zxxk.Com]

(1)求 m 的值; (2)将 y ? f ? x ? 的图像向左平移 ? ? 0 ? ? ? π ? 个单位后得到函数 y ? g ? x ? 的图像,若

y ? g ? x ? 图 像上各最高点到点 ? 0,3? 的距离的最小值为1 ,求 y ? g ? x ? 的单调递增区间.

24.(本小题满分 14 分) 设 f ( x) ? log 1 ?

? 1 ? ax ? ? 为奇函数, a 为常数. 2 ? x ?1 ?

(1)求 a 的值; (2)证明: f ( x ) 在区间 (1, ??) 内单调递增;

?1? (3)若对于区间 ?3, 4? 上的每一个 x 值,不等式 f ( x) ? ? ? ? m 恒成立,求实数 m 的取 ?2?
值范围.

x

长安一中 2017~2018 学年度第一学期期末考试

高一数学参考答案
一、选择 题: 1-5.BADCA 二、填空题:15. 2 三、解答题: 21.(12 分) 解:(1)原式= ? ?1?
? 2 3

6-10.BCADB

11-14. BCCA 18. ? ?

16.

3

17. ?

2 5

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

19.①

20. ? 0,1?

? 3? ?3 ? ? 8?

?

2 3

? 1 ? ?? ? ? 500 ?

?

1 2

10 ? 27 ? ? ?1 ? ? ? 5?2 ? 8 ?

?

2 3

? ? 500 ? 2 -10( 5+2)+1

1

4 167 = +10 5- 10 5-20+1=- . 9 9 (2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3. (3)原式= 22. (1 2 分) 解: (1)由已知得 A , P 的坐标 分别为 (1, 0) , (cos ? ,sin ? ) ,因为四边形 OAQP 是平 行四边形,所以 OQ ? OA ? OP ? (1,0) ? (cos? ,sin ? ) ? (1 ? cos ? ,sin ? ) , 所以 OAg OQ=1+cos? ,又因为平行四边形 OAQP 的面积为 S ? 1gsin ? ? sin ? ,

( ? sin ?) cos ? ( ? cos ? ) =1 ( ? cos ?) sin ? ( ? cos ?)

uuu r

uur

uur

uur uuu r
uur uuu r

OQ +S ? 1 ? cos ? ? sin ? ? 所以 OAg

2 sin(? ? ) ? 1 . 4

?

又因为 0 ? ? ? ? ,所以当

时, OAg OQ+S 的最大值为 2 ? 1 .

uur uuu r

[来源:Zxxk.Com]

(2)由题意知, CB ? (2,1), OP ? (cos? ,sin ? ) ,

uur

uur

因为 CB / /OP ,所以

,因为 0 ? ? ? ? ,所以



2 2 由 cos ? ? 2sin ? , cos ? ? sin ? ? 1 ,得





所以





所以
23.(12 分)



解:(1)已知 f ( x) ? a ? b ? m sin2x ? cos2 x ,

r r

Q f ( x) 过点 (

?
12

, 3), ? f (

?
12

) ? m sin

?
6

? cos

?
6

? 3

解得: m ? 3

(2) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6
)

)

f ( x) 左移 ? 后得到 g ( x) ? 2 sin( 2 x ? 2? ?

?
6

2 ? 1 解得 x0 ? 0 设 g ( x) 的图象上符合题意的最高点为 ( x0 ,2) , Q d ? 1 ? x0

? g (0) ? 2 ,解得 ? ?

? ? ? ? ? g ( x) ? 2 sin( 2 x ? ? ) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 cos 2 x 6 3 6 2
?

? ?? ? 2k? ? 2 x ? 2k? , k ? z

?
2

? k? ? x ? k? , k ? z

? f ( x) 的单调增区间为 [?
24.(13 分)

?
2

? k? , k? ], k ? z

解 : ( 1 ) f ( x ) 为 奇 函 数 , 所 以 f ( x) ? f ( ? x) ? 0 恒 成 立 , 所 以

1 ? ax 1 ? ax 1? a2 x2 log 1 ( ) ? log 1 ( ) ? log 1 ( ) ? 0 恒成立, 2 x ? 1 ? x ? 1 1 ? x 2 2 2

1? a2 x2 ? 1, 所以 a 2 ? 1 , 即 a ? ?1 , 经检验 a ? 1 不合题意, 所以 a ? ?1 。 2 1? x

(2)由(1)知, f ( x ) ? log 1 (
2

1? x ) ,设任意的 x1 , x2 ,1 ? x1 ? x2 , x ?1

1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(x2 ? 1) 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log 1 ( , ) ? log 1 ( ) ? log1 x ? 1 x ? 1 ( x ? 1 )( 1 ? x ) 1 2 1 2 2 2 2
因为

(1 ? x1 )(x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)(1 ? x2 ) ? x2 ? x1 x2 ? 1 ? x1 ? x1 ? x1 x2 ? 1 ? x2 ? 2( x2 ? x1 ) ? 0
且 (1 ? x1 )(x2 ? 1) ? 0, ( x1 ? 1)(1 ? x2 ) ? 0 ,所以
(1 ? x1 )(x2 ? 1) ?1, ( x1 ? 1)(1 ? x2 )

故 log 1
2

(1 ? x1 )(x2 ? 1) ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以 f ( x) ( x1 ? 1)(1 ? x2 )

在 (1,??) 上是增函数。

1 (3)由(2)知函数 h( x ) ? f ( x ) ? ( ) x 在[3,4]上单调递增,所以 h( x) 的最 2
1 1 9 小值为 h(3) ? f (3) ? ( ) 3 ? ? ,所以使 f ( x) ? ( ) x ? m 恒成立的 2 2 8

9 m 的取值范围是 ( ?? ,? ) . 8



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