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高二理科数学第一学期期末教学质量检测


清远市 2011-2012 学年度第一学期期末教学质量检测

高二数学试卷(理科)参考答案评分标准
一、选择题答案:本大题共 8 小题,满分 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 A 6 D 7 C 8 A

二、填空题:本大题共 6 小题,满分 30 分.

9. y 2 ? 4 x 10. z max ? 1 . 11. 4015

? 【解析】根据表格数据,可以简略画 12. 答: (?1,1) ;或 ?x | ?1 ? x ? 1 。
出二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象(图象为抛物线) ,不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的 解集是 (?1,1) ;另解:可以求得 y ? ax2 ? bx ? c ? x 2 ? 1 ,不等式 x 2 ? 1 ? 0 的解集 是 (?1,1) . 13. 3 ? 2 2 14.③
三、填空题:本大题共 6 小题,满分 80 分.

15. 【解析】假设 f (1) , f (2) 都小于 1

……2 分 ……4 分

? f (1) ? 1 ∵? ? f (2) ? 1

?( a ? 3) 2 ? 1 ?a 2 ? 6 a ? 8 ? 0 ? ? ∴? ,即 ? 2 2 ?( 2a ? 3) ? 1 ?a ? 3a ? 2 ? 0 ? ?

?? 4 ? a ? ?2 ∴? ,a 无解 ?? 2 ? a ? ?1 ? f (1) ? 1 ∴不存在实数 a,使 ? 成立,即假设不成立 ? f (2) ? 1
∴ f (1) , f (2) 至少有一个大于或等于 1.
高二数学试卷(理科)参考答案第 1 页共 4 页

……6 分

……8 分 ……10 分

16.【解析】 (1)在 ?ABC 中由 cos B ? ? 由 cos C ?
4 3 ,得 sin C ? . 5 5

5 12 ,得 sin B ? , 13 13

……2 分 ……4 分

所以 cos A ? cos(? ? B ? C ) ? ? cos(B ? C )
? ? cos B cos C ? sin B sin C ? 56 65

……7 分 ……9 分

(2)∵ sin A ? 1 ? cos 2 A ?

33 65 | BC | | AB | ? sin A sin C

∴在 △ ABC 中,根据正弦定理
| AB |?

| BC | ? sin C 26 ? sin A 11 1 24 △ 所以, ABC 的面积为 | AB | ? | BC | ? sin B ? 2 11

……12 分 ………14 分 ………3 分

?? x 2 ? 80x ? 100 ? 600 ? 17. 【解析】 (1)由 ? , ? x ? 40, x ? N * ? ? x 2 ? 80x ? 700 ? 0 ? 得? ? x ? 40, x ? N * ?

∴ 10 ? x ? 40 ,且 x ? N * ∴至少销售 10 台手机, 才能使销售总利润不低于 600 元 (2)销售手机 x (台)与平均利润 z (元)之间的关系是
z? y ? x 2 ? 80x ? 100 100 ? ? ?( x ? ) ? 80( x ? 40, x ? N * ) x x x
100 10 100 ,即 x ? 10 时,等号成立) ? 2 x? ? 20 (当且仅当 x ? x x x

………6 分 ………7 分

………10 分

∵x?

∴ z ? ?20 ? 80 ? 60 ∴该商店销售手机的最大平均利润是 60 元 18. 【解析】 (1)∵ S n ?
1 2 1 n ? n 2 2

………13 分 ………14 分

高二数学试卷(理科)参考答案第 2 页共 4 页

∴当 n ? 2 时, S n ?1 ?

1 1 1 1 (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? n 2 ? n 2 2 2 2

∴当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? n ∵ a1 ? S1 ? 1符合上式 ∴ an ? n(n ? N * )

………4 分 ………6 分

(2)设 Tn ? 2a1 ? 4a2 ? 8a3 ? ? ? 2n an ∵ Tn ? 21 ?1 ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? ? ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2 n ? n

2Tn ? 22 ?1 ? 23 ? 2 ? 24 ? 3 ? ? ? 2n ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n
∴两式相减得: ? Tn ? 21 ? 2 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n ? 2n?1 ? n ∴ Tn ? ?
2(1 ? 2 n ) ? 2 n?1 ? n ? (n ? 1)2 n ?1 ? 2 1? 2

………8 分 ………10 分 ……13 分 ……14 分

∴ 2a1 ? 4a2 ? 8a3 ? ? ? 2n an ? (n ? 1)2 n?1 ? 2

19. 【解析】 (1)∵折起前 AD ? BC , ∴当 Δ ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又由于 BD ? DC ,所以,可以以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图所 示) 。 ∵在折起前 ?ABC 中, AD ? 3 ∴ BD ?
AD AD ? 1 , DC ? ?3 tan ?ABC sin ?ACB

∴D(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,3,0) ,A(0,0, 3 ) ,
1 3 ∵E 是 BC 上的中点,故点 E 的坐标是 ( , ,0) 2 2 1 3 ∴ AE ? ( , ,? 3 ) ,故 cos ? AE, DB ?? 2 2

1 22 2 ? 22 22 ?1 2
………………………………6 分

∴AE 与 DB 所成角的余弦值是

22 ; 22

高二数学试卷(理科)参考答案第 3 页共 4 页

(其他解法参照评分) (2)假设在线段 AB 上是存在一点 F,使 DF ? AE ,设 ? ? ∵ DF ? DB ? BF ? DB ? ? BA ? (1 ? ?,0, 3?) , DF ? AE
1 1 ∴ DF ? AE ? 0 , (1 ? ? ) ? 0 ? 3? ? 0 ,即 ? ? ? [0,1] 2 7 BF 1 ? 时, DF ? AE 。……………14 分 ∴在线段 AB 上存在一点 F,当 BA 7 BF 。 BA

20. 【解析】 (1)∵抛物线 y 2 ? 4 2x 的焦点坐标是 ( 2 ,0) ,即点 F 的坐标是 …………………2 分

( 2 ,0)
?c ? 2 ?a 2 ? b 2 ? 2 ? ? ∴? ,即 ? ? 2b ? 2 ?S ?ABF ? 2 ? ?
?a ? 3 x2 ∴? ,故椭圆 C 的方程为 ? y2 ? 1; b ?1 3 ?

…………………4 分

…………………6 分

x2 (2) ∵椭圆 C 的方程为 ? y2 ? 1 3

∴点 A 的坐标是 (0,1)

显然, 直线 AP 存在斜率, 设斜率为 k (k ? 0) ,则直线 AP 的方程是 y ? kx ? 1 ∵ AP ? AQ ∴直线 AQ 的斜率为 ?
1 1 ,其方程是 y ? ? x ? 1 k k

……8 分

? y ? kx ? 1 ? 6k ? 由 ? x2 ,得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kx ? 0 ,即 x ? 0, 或x ? 2 1 ? 3k 2 ? ? y ?1 ?3
? 6k ? 3k 2 ? 1 ∴点 P 的坐标是 ( , ) 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

……10 分

同理,点 Q 的坐标是 (

6k k 2 ? 3 , ) k2 ?3 k2 ?3
1 4k 2 ? 1 1 x ? ,故直线 l 过定点 (0,? ) 2 4k 2

……12 分

∴直线 l 的方程是 y ?

……14 分

高二数学试卷(理科)参考答案第 4 页共 4 页


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