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数学必修一至四知识点复习


高一数学必修1知识点
? ?子集:若x ? A ? x ? B,则A ? B,即A是B的子集。 ? ? ?1、若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n 个,真子集有(2n -1)个。 ? ? ? ? ? ?2、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ? ? 注 ? ? ?关系 ? ?3、对于集合A, B, C , 如果A ? B,且B ? C , 那么A ? C. ? ? ?4、空集是任何集合的(真)子集。 ? ? ? ? ?真子集:若A ? B且A ? B (即至少存在x0 ? B但x0 ? A),则A是B的真子集。 ? ? ? ? ?集合相等:A ? B且A ? B ? A ? B ? ? ? ? 集合与集合 ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A且x ? B? ?交集 ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? ?,A ? B ? B ? A,A ? B ? A, A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A或x ? B? ?并集 ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? A,A ? B ? B ? A,A ? B ? A,A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? B ? ? ?运算 ? ? Card ( A ? B) ? Card ( A) ? Card ( B) - Card ( A ? B) ? ? ? ?定义:CU A ? ? x / x ? U 且x ? A? ? A ? ? ? ?补集 ?性质: ? (CU A) ? A ? ?, (CU A) ? A ? U,CU (CU A) ? A,CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B), ? ? ? CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ? ? ? ? ?

函数
1.(1)函数定义:
设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数y与之对应,那么就称对应f :A ? B为从集合A到集合B的一个函数

(2)映射定义:

? 2.函数的三要素 ?值域 ?对应法则
定义域

?解析法 3.函数的表示方法 ?列表法 ?图象法

? ?单调性 ?最值 最大值 4.函数的基本性质 ? 最小值 ?奇偶性 ? ?周期性

?

一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零; 3、对数的真数大于零; 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1. ? 5、三角函数正切函数 y ? tan x 中 x ? k? ? (k ? Z ) 2 6、如果函数是由实际意义确定的解析式, 应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法; 5、参数法;6、配方法

三、函数的值域的常用求法:
1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法; 5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法; 4、几何法;5、单调性法

五、函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,
则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上也为增(减)函数

2、若 f ( x) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数

3、若 f ( x) 与 g ( x)的单调性相同,则 y ? f [ g ( x)] 是增函数;若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性不同,则 y ? f [ g ( x)] 是减函数。

口诀:同增异减
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、 解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0

如果一个函数 y ? f ( x)既是奇函数又是偶函数,则 f ( x) ? 0 (反之不成立)

2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x)

复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数, 那么该复合函数就是偶函数;
当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。

n a , n为根指数,a为被开方数 ? ? ?根式: ? ? ? ? m m ? ? 1 ? ? n am ? a n ; a n ? 分数指数幂 : ? m? ? ? ? an ? ? 指数的运算 ? ? ?a m a n ? a m?n (a ? 0, m, n ? R ) ? ? 指数函数 ? ? m n ? mn ( a ? 0, m, n ? R ) 性质 ( a ) ? a ? ? ? ? ?(ab) m ? a mb n (a ? 0, b ? 0, m, n ? R ) ? ? ? ? ? x (a ? 0且a ? 1)叫做指数函数。 ? 定义:一般地把函数 y ? a ?指数函数 ? ? ?性质:见表1 ?

x 2.指数函数:y ? a (a ? 0且a ? 1)的图像及性质 (表1)

函数 图像

y ? a x (0 ? a ? 1)

y ? a x (a ? 1)

定义域
值域 单调性 过定点 取值范围 x>0 y x<0 y 减函数

R

? 0, ???
增函数

(0,1)
x>0 y x<0 y

二、1.对数的性质: ① 真数 N>0 (负数和零无对数);

; ④ 对数恒等式: a log a N

log a 1 ? 0 0

log a a ? 1 1 x ?N loga a ? x N



2. 运算性质: ① loga (M ? N ) ? loga M ? loga N; M ? log a M ? log a N ; ② log a N
③ loga

(1) (2) (3)

n log a m b ? log a b m
n

log c b ④ 换底公式: log a b ? (a, c ? 0且a, c ? 1, b ? 0) log c a

n M ? n loga M ;(a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0)

1 loga c ? logc a ? 1 ? loga c ? logc a

loga b ? logb c ? loga c

3.对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的图像及性质 函数 图像

y ? loga x(0 ? a ? 1)

y ? loga x(a ? 1)

定义域

? 0, ???
R
减函数 (1,0) 增函数

值域
单调性 过定点

取值范围

0<x<1 y>0 x>1 y <0

0<x<1 y<0 x>1 y >0

口诀:同正异负

? ?零点:对于函数y ? f(x), 我们把使f ( x ) ? 0的实数x叫做函数y ? f ( x )的零点。 ? ?定理:如果函数y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f ( a ) ? f ( b ) ? 0, ?零点与根的关系 ? 那么,函数y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]内有零点。即存在c ? ( a , b ), 使得f ( c ) ? 0, 这个c也是方 ? ? 程f ( x ) ? 0的根。(反之不成立) ? ?关系:方程f ( x ) ? 0 有实数根 ? 函数y ? f ( x ) 有零点 ? 函数y ? f ( x )的图象与x轴有交点 ? ?(1) 确定区间[ a , b ], 验证f ( a ) ? f ( b ) ? 0, 给定精确度?; ? ?( 2) 求区间( a , b )的中点c ; ? ? (3) 计算f ( c ); ? ?二分法求方程的近似解 ①若f ( c ) ? 0, 则c就是函数的零点; ? ? ②若f ( a ) ? f ( c ) ? 0, 则令b ? (此时零点 c x ? ( a , b )); 0 ? ? ③若f ( c ) ? f ( b ) ? 0, 则令a ? (此时零点 c x ? ( c , b )); ? 0 ? ? ?( 4) 判断是否达到精确度?:即若 a - b ? ? , 则得到零点的近似值a (或b ); 否则重复 2 ? 4。 ?

三、幂函数 :一般地,函数y ? x?叫做幂函数,x是自变量,?是常数

高一数学必修4知识点

第一章知识体系
周期现象
任意角 弧度

三角函数

三角函数线

同角三角函数关系

诱导公式 综合应用

三角函数图象和性质

正角:射线按逆时针方向旋转形成的角 1.任意角的概念 负角:射线按顺时针方向旋转形成的角 零角:射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的正半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
? ? ? ? k ? 360 ??, k ? ? 3 . 终边与 角a相同的角

?

?

1.1.2弧度制
? n 乘以 ( 2)“角化弧”时,将 180 180 将 ? 乘以 ; ?
(3)弧长公式:l (1) 180 ? ? 弧度;
?

;“弧化角”时,

? a?r

1 1 2 扇形面积公式: S ? lr ? r ?(其中 l为圆心角? 所 2 2
对的弧长,? 为圆心角的弧度数, r 为圆半径.)

写出一些特殊角的弧度数
角 度
弧 度

0

?

30? 45? 60? 90? 120? 135? 150?180? 270? 360?

0

? 6

? 4

? ? 3 2

2 ? 3? 5 ? 3 4 6

?

3? 2 ? 2

1、任意角三角函数的定义 设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么: 1) y叫做?的正弦,记作sinα y P(x,y) 2) x叫做?的余弦,记作cosα

3) y 叫做?的正切,记作tanα x 即sinα=y,cosα=x, tanα=
可以看出,当 ? ?

?

o

1

x

?
2

y (x≠0). x

? k? (k ? Z ) 时,?的终边在y轴上,

y 无意义。 此时点P的横坐标x等于0,所以tanα = x

已知角?终边上任一点P (x, y),

r ? x2 ? y 2

y P(x,y)

y sin ? ? r x cos ? ?

r

? o

y tan ? ? x

r

x

(+ ) ( )

(+ ) ( )

( )

-

(+ )

( )

-

(+ )

-

-

( )

-

(+ )

(+ )

( )

-

y ?  sin a ? r

x    cos a ? r

y    tan a ? x

口诀:一全二正弦,三切四余弦

小结
1.已知sinα(或cosα)求其它 sin2 ? ? 1 ? cos2 ?
sin2 ? ? cos2 ? ? 1

cos2 ? ? 1 ? sin2 ?

sin? ? ? 1 ? cos2 ? cos? ? ? 1 ? sin2 ?

sin ? tan ? ? cos ?

2.已知tanα,求sinα,cosα
y tan ? ? x

3.注意分象限讨论

公式一:

sin( ? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan( ? ? 2k? ) ? tan ?

公式五:

sin(

?
2

- ? ) ? cos? - ? ) ? sin ?

公式二:

sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?

cos(

?
2

公式三:

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

公式六:

sin(

?
2

?? ) ? cos? ? ? ) ? -sin ?

cos(

?
2

公式四: sin( ? ? ? ) ? sin ?

cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

一~四函数名不变,五六函数名改变,符号看象限.

三角函数图像和性质 一.图象
1.正弦曲线 y
1
-4? -3? -2?

-?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

2.余弦曲线

y
1

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

3.正切曲线
y

y ? tan x

?

??
2

??

?? 2

o

?
2

?

??
2

x

性质

y=sinx

y=cosx

y=tanx
{x | x ?

定义域
值域 奇偶性

R
[-1,1]

R
[-1,1]

?
2

? k? , k ? Z }

R 奇函数
增区间:

奇函数
增区间:
? ? ? ? ? +2 k ? , ? 2 k ? ? 2 ? (k ? Z ) 2 ? ?

偶函数
增区间:

单调性

? ? ? ?? ? ? 2k? , 2k? ?(k ? Z )? ? + k ? , ? k ? ? ? (k ? z )
减区间:

减区间:
3? ?? ? ? 2 k ? , ? 2 k ? ?2 ? (k ? Z ) 2 ? ?

? 2

2

?

? ? 2 k? , ? ? 2 k? ? ( k ? Z )

周期性

T ? 2?

T ? 2?
2 ? k? , 0)( k ? Z )

T ??
对称中心:

对称性

? 对称中心: ( (k? ,0)(k ? Z ) 对称中心:

? 对称轴: x ? ? k? ( k ? Z ) 对称轴: x ? k? (k ? Z ) 2

(

k? , 0)( k ? Z ) 2

? f ( x) ? A sin( ?x ? ? )( A ? 0,? ? 0, ? ? ) 2 A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称 为“振幅”
T:
T? 2? ?

往复振动一次所需的时间,称为“周期”

f:f

?

1 ? 单位时间内往返振动的次数,称为“频率 ? T 2?

?x ? ?:称为相位

? :x = 0时的相位,称为“初相”

例1 如图某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y ? A sin(? x ? ? ) ? b 似满足函数 写出这段曲线的函数解析式. 30
解: 从图中可以看出,从6~14时的图象是函数 的半个周期的图象,
1 所以,A ? ? 30 ? 10 ? ? 10, 2
20 10 0 6 10 14 x

1 b ? 2 ? 30 ? 10 ? ? 20

? 3? 1 2? ? ? 14 ? 6 ? ? ? . 将x ? 6, y ? 10代入上式,解得?= . 8 4 2 ?

小结:

3? 综上,所求解析式为y ? 10sin( x ? ) ? 20, x ? ? 6,14? 8 4

?

1 利用T b? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? ? ? 2

1 A? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? ? ? 2

?

2?

利用最低点或最高点在图象上,该点的坐标满足函数解析式可求得?

?

,求得?

1长度为0的向量叫做零向量,记作0。

长度等于1个单位的向量,叫做单位向量。

长度为0, 方向任意

平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 平行向量又叫做共线向量

规定:0与任一向量平行。
相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接,首尾连 C ? ? ? a?b b
A

2.向量加法平行四边形法则:
B

? a
? ? ?a ?b b

C 特点:共起点

? b

? a

B

O

? a

A

? a

3.向量减法三角形法则:

? b

B

? A b 特点:共起点,连终点,方向指向被减向量

O

? a

??? ? ? ? BA ? a ? b

? ? ? ? ? ? ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b

? ? ? ? ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a
②结合律:

?

? ? ? ? ? ? a ?b ?c ? a ? b ?c

?

?

?

设 ? , ? 为实数,那么

? ? (1)? ( ? a) ? (?? )a; ? ? ? (2)(? ? ? )a ? ? a ? ? a; ? ? ? ? (3)? (a ? b) ? ? a ? ? b.

⑶向量共线定理
? ? ? ? ? ? 如果a(a ? 0)与b共线,那么有且只有一个实数?,使b ? ? a.

? ? ? ? 当 ? ? 0 时, b 与 a 同向, 且 | b |是| a | 的 ? 倍; ? ? ? ? 当 ? ? 0 时, b 与 a 反向, 且 | b |是| a | 的| ? | 倍; ? ? ? 当 ? ? 0 时, b ? 0 ,且 | b |? 0 。

平面向量基本定理:
?? ?? ? 如果e1、是同一平面内的两个 e2 不共线的向量, ? 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对 实数?1、?2,可使 ? ?? ?? ? a ? ?1 e1 +?2 e2

? ? ?? ? 这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2 所有向量的一组基底.

特别地,若 a ? 0, 则有且只有:

?1 ? ?2 ? 0, 使得0 ? ?1 e1 ? ?2 e2
若 ?1 与 ?2 中只 有一个为零,情 况会是怎样?

特别地,若 a与e1 (e2 )共线,则有 ?2 ? ( 0 ?1 ? 0)

使得a ? ?1 e1 ? ?2 e2

平面向量的坐标表示
?? 如图,i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 ?? 的单位向量,若以 i, j 为基底,则 ? 对于该平面内的任一向量 a ,

y
C
A

a

D

有且只有一对实数x、y,可使 ? ? ? a ? xi +y j

j o i

x
B

这里,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的(直角) ? 坐标,记作 a ? ( x, y) ① 其中,x叫做 a 在x轴上的坐标,y叫做 a 在y轴上的坐标, ①式叫做向量的坐标表示。

i? (1,0)

j? (0,1)

(0,0) 0?

若a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),

? a ? (? x1 , ? y1 )
若A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ), 则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
? ? ? ? a / /b(a ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做向量a与b的夹角。
B 同一 起点 O

θ O A
B

A

当θ=0°时,a与b同向;

B

当θ=180°时,a与b反向; A 当θ=90°时,称a与b垂直,
记为a⊥b.

O

B

b O a A

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?

a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时a· b为正; 当90°<θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。

a ? b ?| a || b | cos ?

?

?

?

?

? ? 是非零向量 设 a、b ? ? ? ? (1)a ? b ? a ? b ? 0
? ? ? ? ? ? (2)当a与b 同向时, a ? b ?| a || b |;
? ? ? ? ? ? 当a与b 反向时,a ? b ? ? | a || b |;

O

θ

b

B

B1 a

A

? ? ?2 ?2 ? ? ? 特别地 a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ? a ? ? ? ? ? ? a ?b (3) cos? ? ? ? (4) | a ? b |?| a || b |
| a || b |

b
O

B

θ |b|cosθ B1 a

A

? 的长度 ? ? ? ? ? | a |与 b 在a方向上的投影 a ? b 等于 a
? | b | cos? 的乘积。

二、平面向量的数量积的运算律:

数量积的运算律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)(?a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ? ? (3)( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? 其中, a、b 、c是任意三个向量, ??R
? ? ? ? ? ? 注: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

例 3:求证:(1)(a+b)2=a2+2a· b+b2;

(2)(a+b)· (a-b)=a2-b2. 证明:(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b) =(a+b)· a+(a+b)· b
=a· a+b· a+a· b+b· b =a2+2a· b+b2. 证明:(2)(a+b)· (a-b)=(a+b)· a-(a+b)· b

=a· a+b· a-a· b-
b· b =a2-b2.

1.故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即
设两个非零向量 a =(x1,y1), b=(x2,y2),则

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

2、向量的模和两点间的距离公式
(1) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a;

(1)向量的模 设a ? ( x, y ), 则 a ? x ? y , 或 a ?
2 2 2 2 2

x ?y ;

(2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 )
2 2

3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
(2)平行

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为?(0 ? ? ? 180 ),
? ?

则 cos ? ?

a ?b ab

设a ? (x1 , y1 ), b ?( x2 , y2 ), 且a与b夹角为?, (0 ? ? ? 180 )则 cos ? ?
? ? 2 1 2 1 2 2

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

.

其中 x ? y ? 0, x ? y ? 0.


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