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2015世纪金榜理科数学(广东版)5.2


第二节

等差数列及其前n项和

广东五年4考

高考指数:★★★★☆

1.理解等差数列的概念 考纲 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 考情 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用 有关知识解决相应的问题 4.了解等差数列与一次函数的关系 五年 考题 2013 2012 T19 T11 2013 2011 T12 T11

1.以选择题、填空题的形式考查等差数列的基本运算 考情 与性质 播报 2.在解答题中与等比数列、数列求和等问题综合考查

【知识梳理】 1.等差数列的概念 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于 同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫 ___________, 公差 一般用字母d表示;定义的表达式为: 做等差数列的_____,
*) a -a =d(n∈N n+1 n _______________.

2.等差中项

a?b 如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中项,且A=_____. 2

3.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an= a1+(n-1)d _________.

4.等差数列的前n项和公式 已知条件 a1,an,n 前n项和公式
n ? a1 ? a n ?

Sn=________ 2

a1,d,n

Sn=____________ 2

na1 ?

n ? n ? 1?

d

5.等差数列的性质

(1)等差数列的常用性质:
*); (n-m)d ①通项公式的推广:an=am+_______(n,m∈N

②若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an ak+al=2am __________;k+ l=2m?_________(k, l,m∈N*);
2d ③若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为___; ④若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(n∈N*)是等差数列; ⑤若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为 md的等差数列.

(2)等差数列与等差数列各项的和有关的性质: ①若{an}是等差数列,则 {Sn } 也成等差数列,其首项与{an}的
n

首项相同,公差是{an}的公差的 1 ;
2

②Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm, S3m-S2m 成等差数列; S2m-Sm,______

③关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
(i)若等差数列{an}的项数为2n,则S2n=n(a1+a2n)=…

=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, S奇 ? a n ,
S偶 a n ?1

(ii)若等差数列{an}的项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,

S奇-S偶=an,

S奇 n (其中S ,S 分别表示数列{a }中所有奇 ? ; 奇 偶 n S偶 n ? 1

数项、偶数项的和)

④两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为
a n S2n ?1 ? ; bn T2n ?1

⑤数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)是{an}成等差数列的

充分 条件; _____
递增 数列,且当a1<0时前n项 ⑥等差数列的增减性:d>0时为_____ 递减 数列,且当a1>0时前n项和Sn有最大 和Sn有最小值.d<0时为_____ 值.

【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: ①若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则 这个数列是等差数列; ②数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有 2an+1=an+an+2; ③等差数列{an}的单调性是由公差d决定的;

④数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函

数;
⑤等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.

其中正确的命题是
A.①② B.②③

(

)
C.③④ D.④⑤

【解析】选B.①错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数
列;若这些常数不全相等,这个数列就不是等差数列.

②正确.如果数列{an}为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,
即2an+1=an+an+2;反之,若对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2,则an+2-

an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根据定义数列{an}为等差数列.
③正确.当d>0时为递增数列;d=0时为常数列;d<0时为递减数列.

④错误.根据等差数列的通项公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只
有当d≠0时,等差数列的通项公式才是n的一次函数,否则不是.
n n ? 1? d ⑤错误.根据等差数列的前n项和公式, Sn ? na1 ? ? d ? n2 ?
d 显然只有公差d≠0时才是关于n的常数项为0的二次函 (a1 ? )n, 2

2

2

数,否则不是(甚至也不是n的一次函数,即a1=d=0时).

2.(2014·潍坊模拟)已知{an}是等差数列,且a3+a9=4a5,a2=-8,
则该数列的公差是( A.4 B.14 ) C.-4 D.-14

【解析】选A.因为a3+a9=4a5,所以根据等差数列的性质可 得:a6=2a5,所以a1+5d=2a1+8d,即a1+3d=0,又a2=-8,即a1+d=-8, 所以公差d=4.

3.已知等差数列{an}的前13项之和为 13? ,则tan(a6+a7+a8)等
4

于(
A. 3 3

)
B. 3 C. ? 1 D.1
4

【解析】选C.因为等差数列的前13项之和S13= 13? ,又S13=
13? =13a7,所以13a7= ,解得a7= ? ,因此 4 4 2 tan(a6+a7+a8)=tan(3a7)=tan 3? =-1. 4

13 ? a1 ? a13 ?

4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a3+a7=-6,则当Sn 取最小值时,n等于( A.6 B.7 C.8 ) D.9

【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,依题意得a3+a7=2a5=
a 5 ? a1 -6,a5=-3,d= =2,an=-11+(n-1)×2=2n-13,令an>0,解得 5 ?1

n>6.5,即在{an}中,前6项均为负数,自第7项起以后各项均为正

数,因此,当n=6时,Sn取最小值,故选A.

5.在等差数列{an}中,Sn表示其前n项和,若 Sn ? n ,Sm ? m
m n

(m≠n),则Sm+n-4的符号是(
A.正 B.负 C.非负

)
D.非正
2 m

n n ? 1? n 【解析】选A.因为Sn= na1 ? ? d ? ?1? , m ? 2? , 2 n 所以由(1)(2)得 d ? 2 ,a1 ? 1 . mn mn

Sm=ma1+

m ? m ? 1?

d?

m ? n ?? m ? n ? 1? m ? n? ? 故Sm+n-4=(m+n)a1+ ? d?4? 2 mn

2

? 0(m ? n).

6.已知数列{an}的通项公式an=4n-1(n∈N*),其前n项和为Sn, 则S15= .

【解析】因为an=4n-1,所以a1=3,且an+1-an=4(n+1)-1-(4n-1)= 4,因此{an}是首项a1=3,公差d=4的等差数列,所以S15=15×3+
15 ? 14 ×4=465. 2

答案:465

考点1

等差数列的基本运算

【典例1】(1)(2013·安徽高考)设Sn为等差数列{an}的前n项 和,S8=4a3,a7=-2,则a9= ( A.-6 B.-4 C.-2 ) D.2

(2)(2014·南京模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知 a10=30,a20=50.

①求通项an;②若Sn=242,求n.

【解题视点】(1)利用等差数列的前n项和公式及通项公式求出 首项及公差,再利用通项公式求出a9. (2)①先求出基本量a1和d,再利用通项公式求解;②利用前n项 和公式解方程即可.

【规范解答】(1)选A.由S8=4a3?8a1+ 8 ? 7 d=4×(a1+2d);由a7=
2

-2?a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6. (2)①由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,
a1 ? 9d ? 30, 得方程组 ? ? ?a1 ? 19d ? 50.

解得a1=12,d=2.所以an=2n+10;
n n ? 1? ②由Sn=na1+ ? d ,Sn=242, 2 n ? n ? 1? 得方程12n+ ×2=242, 2

解得n=11或n=-22(舍去).

【互动探究】本例(1)中,已知条件不变,求Sn. 【解析】由本例(1)知a1=10,d=-2,所以Sn=na1+ =10n-n(n-1)=-n2+11n.
n ? n ? 1? 2 d

【规律方法】 1.等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后 由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量

a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思
想解决问题.

2.等差数列前n项和公式的应用方法
根据不同的已知条件选用两个求和公式,如已知首项和公差,
n ? n ? 1? 2

则使用公式Sn=na1+
S n=
n ? a1 ? a n ? 2 .

d ,若已知通项公式,则使用公式

【变式训练】1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前 n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= A.3 B.4 C.5 ( D.6 )

【解析】选C.方法一:由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 因为数列{an}为等差数列,所以d=am+1-am=1,又因为Sm=
m ? a1 ? a m ? 2

=0,所以m(a1+2)=0,因为m≠0,所以a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解 得m=5. 方法二:因为Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1= Sm+1-Sm=3,所以公差d=am+1-am=1,由Sn= na1 ?
? m ? m ? 1? ma ? ? 0,??????① ? ? 1 2 得? ?? m ? 1? a ? ? m ? 1?? m ? 2 ? ? ?2.??????② 1 ? 2 ? 由①得a1= 1 ? m,代入②可得m=5. 2

n ? n ? 1? 2

d ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

,

方法三:因为数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,
所以数列 {Sn } 也为等差数列.
n S S 2S ?2 3 所以 m?1 ? m ?1 ? m ,即 ? ? 0, m ?1 m ?1 m m ?1 m ?1

解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.

2.(2013·四川高考)在等差数列{an}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9 的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前n项和.

【解析】设该数列公差为d,前n项和为Sn,由已知,可得2a1+2d =8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d). 所以a1+d=4,d(d-3a1)=0, 解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即数列{an}的首项为4,公差为0,或 首项为1,公差为3.
3n 2 ? n 所以,数列的前n项和Sn=4n或Sn= . 2

【加固训练】 1.(2014·襄阳模拟)在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12 =90,则a10A.12
1 a14的值为 3

(

) C.16 D.18

B.14

【解析】选A.由等差数列的通项公式及a4+a6+a8+a10+a12=90,
得5a1+35d=90,即a1+7d=18,所以a10- 1 a14=a1+9d- 1 (a1+13d) = 2 (a1+7d)= 2×18=12,故选A.
3 3 3 3

2.(2014·惠州模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项 和,a1=2,a5=3a3,则S9= ( A.-72 B.-54 C.54 ) D.72

【解析】选B.a1=2,a5=3a3得a1+4d=3(a1+2d), 即d=-a1=-2,所以S9=9a1+ 9 ? 8 d =9×2-9×8=-54.
2

考点2

等差数列的判定与证明

【典例2】(1)若{an}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+2a2n}

是(

)
B.公差为4的等差数列

A.公差为3的等差数列

C.公差为6的等差数列
5

D.公差为9的等差数列
a n ?1

(2)已知数列{an}中,a1= 3 ,an=2- 1 (n≥2,n∈N*),数列

{bn}满足bn=

1 (n∈N*). an ?1

①求证:数列{bn}是等差数列; ②求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.

【解题视点】(1)构造新数列{cn},使得cn=a2n-1+2a2n,根据cn+1cn是否对任意正整数n都等于同一个常数作出判断. (2)①证明bn+1-bn=常数;②根据①的结论,求得{bn}的通项公式, 再求得{an}的通项公式,结合单调性求解.

【规范解答】(1)选C.设{an}的公差为d,则d=1.设cn=a2n-1+2a2n, 则cn+1=a2n+1+2a2n+2,所以cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6,故 选C.

1 (n∈N*), a n ?1 an ?1 a 1 1 1 1 1 所以bn+1-bn= ? ? ? ? n ? ? 1. 1 a n ?1 ? 1 a n ? 1 (2 ? ) ? 1 a n ? 1 a n ? 1 a n ? 1 an

(2)①因为an=2-

1 (n≥2,n∈N*),b = n

又b1 ?

1 5 ?? . a1 ? 1 2
2

所以数列{bn}是以- 5 为首项,1为公差的等差数列.
7 ,则an=1+ 1 ? 1 ? 2 . 2 bn 2n ? 7 7 7 设f(x)=1+ 2 ,则f(x)在区间(-≦, )和( ,+≦)上为减函 2 2 2x ? 7

②由①知bn=n-

数. 所以当n=3时,an取得最小值-1,当n=4时,an取得最大值3.

【易错警示】用定义证明等差数列时的易错点
用定义证明等差数列时,常采用的两个式子an+1-an=d和an-

an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n≥2”,否则n=1
时,a0无定义.

【规律方法】等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递 推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根据定义得 出数列{an}为等差数列.

(3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒
成立,根据定义判定数列{an}为等差数列.

(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,

再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
提醒:等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法 ,而对于 通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题中简单判断 .

【变式训练】(2014·郑州模拟)数列{an}满足a1= 1 , an+1=
1 (n∈N*). 2 ? an (1)求证: { 1 } 为等差数列,并求出{an}的通项公式. a n ?1 (2)设bn= 1 -1,数列{bn}的前n项和为Bn,对任意n≥2都有 an B3n-Bn> m 成立,求正整数m的最大值. 20
2

1 1 , ? 【解析】(1) a n ?1 ? 2 ? a n a n ?1 ? 1

1

1 2 ? an 1 1 1 所以 ? ? ?1, 所以 { } 为首项为-2,公差为-1的 a n ?1 ? 1 a n ? 1 a n ?1

2 ? an 1 ? ? ?1 ? , a n ?1 ?1 a n ?1

等差数列,所以

1 =-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),所以 a n ? n . an ?1 n ?1

n ?1 1 1 1 1 ? 1 ? ,令Cn ? B3n ? Bn ? ? ? ? , n n n ?1 n ? 2 3n 所以 Cn ?1 ? Cn ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 n ?2 n ?3 3 ? n ? 1? n ? 1 3n

(2) b n ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? 1 3n ? 2 3n ? 3 3n ? 1 1 2 1 2 2 ? ? ? ? ? ? 0, 3n ? 2 3n ? 3 3n ? 1 3n ? 3 3n ? 3 ??

所以Cn+1-Cn>0,所以{Cn}为单调递增数列, 所以(B3n-Bn)min=B6-B2=
20 20 1 1 1 1 19 ? ? ? ? , 3 4 5 6 20

所以 m ? 19 ,所以m<19,又m∈N*,所以m的最大值为18.

【加固训练】 1.已知数列{an},an∈N*,Sn= (an+2)2. (1)求证:{an}是等差数列. (2)设bn=
1 an-30,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值. 2 1 8

【解析】(1)因为Sn= (an+2)2, 所以Sn-1= (an-1+2)2(n≥2). ①-②得Sn-Sn-1= 1 (an+2)2- 1 (an-1+2)2(n≥2),
8 8 即an= 1 (an+2)2- 1 (an-1+2)2.所以(an-2)2=(an-1+2)2, 8 8 1 8

1 8

① ②

所以an+an-1=0或an-an-1=4. 因为an∈N*,所以an+an-1=0舍去,所以an-an-1=4.

a1=S1= (a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2.
所以{an}是首项为2,公差为4的等差数列.

1 8

(2)bn= 1 an-30= 1 (4n-2)-30=2n-31.
2 2

bn+1-bn=2(n+1)-31-(2n-31)=2. b 1=
1 1 a1-30= ×2-30=-29. 2 2

所以{bn}是以b1=-29为首项,d=2为公差的等差数列. Tn=nb1+
n ? n ? 1? 2

d=-29n+

n ? n ? 1? 2

×2=n2-30n.

所以Tn=(n-15)2-225. 当n=15时,数列{bn}的前n项和有最小值为-225.

2.若数列{an}满足:a1= 2 ,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2.
3

(1)证明数列{an+1-an}是等差数列. (2)求使 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 5 成立的最小的正整数n.
a1 a2 a3 an 2

【解析】(1)由3(an+1-2an+an-1)=2可得 an+1-2an+an-1= 2 ,即(an+1-an)-(an-an-1)= 2 ,
3 3 4 所以数列{an+1-an}是以a2-a1= 为首项, 2 为公差的等差数列. 3 3 4 2 (2)由(1)知an+1-an= ? (n-1)= 2 (n+1), 3 3 3 累加求和得an=a1+ 2 (2+3+…+n)= 1 n(n+1), 3 3 1 1 1 ), 所以 ? 3( ? an n n ?1 所以 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 3 ? 3 ? 5 , a1 a 2 a 3 an n ?1 2

所以n>5,所以最小的正整数n=6.

考点3

等差数列性质的应用

高频考点 通 关

【考情】通过近3年的高考试题分析,对等差数列性质的考查几 乎每年必考,有时以选择题、填空题出现,难度中等偏下,有时 在解答题中出现,常与求通项an及前n项和Sn结合命题,题目难 度中等.

【典例3】(1)(2014·开封模拟)已知等差数列{an}满足 a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,则n的值为 A.8 B.9 C.10 ( )

D.11

(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,已 知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 .

【解题视点】(1)根据已知利用等差数列性质:an+an-1+an-2= 3an-1及Sn=
n ? a1 ? a n ? 2 ? n ? a 2 ? a n ?1 ? 2

计算求值.

(2)求得Sn的表达式,然后表示出nSn,将其看作关于n的函数,借 助导数求得最小值.

【规范解答】(1)选C.因为Sn-Sn-3=51(n>3),所以an-2+an-1+an

=51,即3an-1=51,所以an-1=17(n≥2),又因为Sn=100,

n ? a1 ? a n ? 2 ? n ? a 2 ? a n ?1 ? 2

=100,而a2=3,所以

n ? 3 ? 17 ? 2

=100,

解得n=10.故选C.

10 ? 9d ? 10a ? ? 0, ? 2 ? 1 2 解得d ? , (2)由题意知: ? 3 ?15a ? 15 ? 14d ? 25, 1 ? 2 ? 2 n n ? 1 ? ? 2 n ? 10n a1=-3,所以Sn= ?3n ? ? ? , 2 3 3 3 2 n 3 ? 10n 2 n ? 10n 即nSn= ,令f(n)= , 3 3 20n 则有f'(n)=n2,令f'(n)>0,得n> 20 , 3 3 令f'(n)<0,得0<n< 20 .又因为n为正整数,所以当n=7时, 3 3 2 f(n)= n ? 10n 取得最小值,即nSn的最小值为-49. 3

答案:-49

【通关锦囊】 高考指数 重点题型 破 解 策 略

利用方程思想,已知a1,d,n,an,Sn中的 ◆◆◆ 求基本量 任意三个,即可利用通项公式与前n项 和公式列方程(组)求出其余两个

高考指数

重点题型








a n ? 0, ?a n ?1 ? 0,

(1)若a1>0,d<0,且满足 ? ?

前n项和Sn最大 前n项和Sn最小

?a n ? 0, (2)若a1<0,d>0,且满足 ? ?a n ?1 ? 0,

◆◆◇

求前n项和 的最值

(3)除上面方法外,还可将{an}的前n 项和最值问题看作Sn关于n的二次函 数最值问题(公差不为零),利用二 次函数的图象或配方法求解,注意 n∈N*

高考指数

重点题型









求解与函数、 利用函数思想、整体思想、等价转

◆◆◇

不等式有关的 化思想,灵活运用等差数列的性质
数列综合题 等基础知识解决

【通关题组】 1.(2014·天津模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若 a1=-2 014, S2 014 ? S2 008 ? 6,则S2
2 014 2 008
015=(

)

A.2 015

B.2 014
n

C.1

D.0

【思路点拨】利用 {Sn } 也是等差数列,只需求出其首项与公差后, 再利用通项公式求出答案.

【解析】选D.由等差数列的性质可得 { n } 也为等差数列,设

其公差为d,又因为
2 015 1

S2 014 S2 008 =6d=6,所以d=1. ? 2 014 2 008

S n

故 S2 015 ? S1 +2 014d=-2 014+2 014=0,

所以S2

015=0,故选D.

2.(2013·辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四

个命题:
p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列; p3:数列 { n } 是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为 A.p1,p2 C.p2,p3 ( )
a n

B.p3,p4 D.p1,p4

【解析】选D. 命题 判断过程 结论 真命题

p1:数列{an}是 由an+1-an=d>0,知数列{an}是递增数
递增数列 列

由(n+1)an+1-nan
p2:数列{nan} =(n+1)(a1+nd)-n[a1+(n-1)d] =a1+2nd,仅由d>0是无法判断 a1+2nd的正负的,因而不能判定 (n+1)an+1,nan的大小关系 假命题

是递增数列

命题 p3:数列 { n } 是递增数列
a n

判断过程 显然,当an=n时, n =1,数列 { n } 是常数数列,不是递增数列 数列的第n+1项减去数列的第n项
a n a n

结论

假命题

p4:数列 {an+3nd}是递 增数列

[an+1+3(n+1)d]-(an+3nd) =(an+1-an)+[3(n+1)d-3nd]

=d+3d=4d>0.
所以an+1+3(n+1)d>an+3nd, 即数列{an+3nd}是递增数列

真命题

3.(2014·深圳模拟)已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=8π ,则

cos(a2+a8)的值为

.

【解析】因为数列{an}为等差数列,且a1+a5+a9=8π,
8 3a5=8π,即a5= π,而a2+a8=2a5= 16 π, 3 3 16? 4? 4? 1 所以cos(a2+a8)= cos ? cos(4? ? ) ? cos ?? . 3 3 3 2 答案:- 1 2

4.(2014·中山模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 a1<0,S2009=0. (1)求Sn的最小值及此时n的值. (2)求n的取值集合,使an≥Sn.

【解析】(1)设公差为d,则由S2009=0?2009a1+ 2 009 ? 2 008 d ? 0
n ?a1+1004d=0, d ? ? 1 a1 ,a1 ? a n ? 2 009 ? n a1 ,所以Sn= (a1+an) = a1 n 2 009 ? n a1 ? 2 009n ? n 2 ? . ? 2 1 004 2 008 1 004 1 004 2 2

因为a1<0,n∈N*,所以当n=1004或1005时,Sn取最小值 1 005 a1.
2 (2) a n ? 1 005 ? n a1 ,由Sn ? a n 得 a1 ? 2 009n ? n 2 ? ? 1 005 ? n a1. 1 004 2 008 1 004

因为a1<0,所以n2-2011n+2010≤0,即(n-1)(n-2010)≤0,解得 1≤n≤2010. 故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2010,n∈N*}.

【加固训练】 1.(2014·东莞模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 a4=18-a5,则S8等于 A.36 B.54 ( ) C.72
2

D.18
8 ? a1 ? a 8 ? ? 8 ?18 2

【解析】选C.由a4+a5=a1+a8=18,S8=

=72,所以选C.

2.(2014·江门模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6
项和为36,Sn=324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项数n及

a9+a10.

【解析】由题意可知a1+a2+…+a6=36,
an+an-1+an-2+…+an-5=180,




①+②得
(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216, 所以a1+an=36. 又 S n=
n ? a1 ? a n ? 2 ? 324,

所以18n=324.所以n=18. 所以a1+a18=36.所以a9+a10=a1+a18=36.

3.(2014·肇庆模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围. (2)S1,S2,…,S12中哪一个值最大?并说明理由.

【解析】(1)因为S12>0,S13<0,
12 ? 11 ? 12a ? d ? 0, 1 ? ? 2 所以 ? ?13a ? 13 ?12 d ? 0, 1 ? 2 ? ?2a1 ? 11d ? 0, 即? ?a1 ? 6d ? 0.

又a3=a1+2d=12,
所以解得- 24 <d<-3.
7

(2)方法一:Sn=na1+ n ? n ? 1? d(n=1,2,3,…,12).所以

2 2 n ? n ? 1? 5d ? 24 ? ? d 5 12 Sn=n(12-2d)+ d ? [n ? ( ? )]2 ? . 2 2 2 d 8d 5 12 13 因为 ? 24 <d<-3,所以6< ? ? , 所以当n=6时,Sn有最大 2 d 2 7

值,所以S1,S2,…,S12中值最大的为S6. 方法二:由题意及等差数列的性质可得
? 12 ? a1 ? a12 ? S ? ? 6 ? a 6 ? a 7 ? ? 0, ? ? 12 2 所以a 7 ? 0,a 6 ? 0. ? ?S ? 13 ? a1 ? a13 ? ? 13a ? 0. 13 7 ? 2 ?

所以在数列{an}中,前6项为正,从第7项起,以后各项为负, 故S6最大.

【巧思妙解5】巧用等差数列的性质求前n项和 【典例】在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则 S110= .

【常规解法】 设数列{an}的公差为d,首项为a1,
1 099 10 ? 9 ? ? a ? , 10a ? d ? 100, 1 1 ? ? ? ? 100 2 则? 解得 ? ?100a ? 100 ? 99 d ? 10, ?d ? ? 11 . 1 ? ? 2 50 ? ? 所以S110=110a1+ 110 ? 109 d ? ?110. 2

答案:-110

【解法分析】 1.直接利用等差数列的前n项和公式求解基本量,然后求和, 是等差数列运算问题的常规思路. 2.解法体现了方程思想,但计算量大,运算过程极易出错 .

【巧妙解法】
a ? a ? 90 因为S100-S10= ? 11 100 ? 2


=-90,

所以a11+a100=-2, 所以S110= ? a1 ? a110 ? ?110
? 2

? a11 ? a100 ? ?110 ②=-110.
2

答案:-110

【妙解分析】 1.①处用前n项和公式表示出从第11项到第100项的和,为下一 步应用性质做好铺垫. 2.②处充分利用了等差数列的性质:若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 突出了整体思想,减少了运算量.

【小试牛刀】在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11

项和S11=(
A.58

)
B.88 C.143 D.176

【解析】常规解法:选B.设等差数列{an}的公差为d,由题意 可得a1+3d+a1+7d=16,所以a1=8-5d, 所以S11=11a1+ 11? 10 d =11(8-5d)+55d=88-55d+55d=88.
2

巧妙解法:选B.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,所以 a1+a11=a4+a8=16,所以S11=
11? a1 ? a11 ? 2

=88.

【规范解答】解决与等差数列有关的综合问题 【典例】(12分)(2014·临沂模拟)已知数列{an}的前n项和 Sn满足Sn+an+ ( 1 ) n ?1 =2(n∈N*),设cn=2nan.
2

(1)求证:数列{cn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式. (2)按以下规律构造数列{bn},具体方法如下:b1=c1,b2=c2+c3,

b3=c4+c5+c6+c7,…,第n项bn相应的由{cn}中2n-1项的和组成,
求数列{bn}的通项bn.

【审题】分析信息,形成思路

信息提取

思路分析
已知关于Sn的等式→以n-1(n≥2)

证明{cn}是等差数列,


代换n得到另一个等式→两式相减
等差数列的定义证明→利用an与cn 的已知关系式求出通项公式

(1) 并求数列{an}的通项公 →整理得到关于cn的等式→利用

构造新数列{bn}: (2)

b n= c 2 ? c 2
n ?1

n ?1 ?1

?

利用cn=2nan表示出bn→利用等差
数列的前n项和公式求出bn

c2n?1 ?2 ??? c2n ?1 ,

求{bn}的通项公式

【解题】规范步骤,水到渠成
(1)已知Sn+an+ ( 1 ) n ?1 =2(*),
2

令n=1,得S1+a1+1=2,所以a1= 1 .
当n≥2时,Sn-1+an-1+ ( 1 ) n ? 2 =2(**),
2 2

(*)-(**)得 (Sn-Sn-1)+an-an-1- ( 1 ) n ?1 =0(n≥2),①
2

………………………………………………………………2分

所以2an-an-1= 1 , n ?1
2

所以2nan-2n-1an-1=1.………………………………………3分 又cn=2nan, 所以cn-cn-1=1(n≥2).① 又c1=2a1=1, 所以,数列{cn}是等差数列. ………………………………4分 于是cn=1+(n-1)×1=n, 又因为cn=2nan,所以an=
n . ……………………………6分 n 2

(2)由题意得

b n= c2 ? c2
n ?1

n ?1

? c2n?1 ?2 ??? c2n ?1 ?1

②………………………7分

=2n-1+(2n-1+1)+(2n-1+2)+…+(2n-1),……………………8分

而2n-1,2n-1+1,2n-1+2,…,2n-1是首项为2n-1,
公差为1的等差数列,且数列共有2n-1项,………………10分 所以,bn=
[2n ?1 ? ? 2n ? 1?] ? 2n ?1 2

22n ?2 ? 22n ?1 ? 2n ?1 ? 2

=3×22n-3-2n-2.③ ………………………………………………………………12分

【点题】失分警示,规避误区 失分点 ①处忽视条件n≥2导致失 防范措施 处理由Sn求解通项an的问题时必须


②处不能准确写出bn的表

讨论n=1与n≥2两种情况
注意从数列的下标及项数等方面判

达式导致下面无法求解
③处化简运算不当导致失

断数列的构成规律
锻炼准确、迅速、规范的运算能力,



保证运算结果的正确性

【变题】变式训练,能力迁移 在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2). (1)证明数列 { } 是等差数列. (2)求数列{an}的通项. (3)若λ an+
1 a n ?1 1 an

≥λ 对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ

的取值范围.

【解析】(1)将3anan-1+an-an-1=0(n≥2)整理得 1 ? 1
an

a n ?1

=3(n≥2). 所以数列 { } 是以1为首项,3为公差的等差数列. (2)由(1)可得
1 =1+3(n-1)=3n-2,所以an= 1 . an 3n ? 2 1 an

(3)λan+ 即

1 a n ?1

≥λ对n≥2的整数恒成立,

? +3n+1≥λ对n≥2的整数恒成立, 3n ? 2 ? 3n ? 1?? 3n ? 2 ? , 整理得λ≤ 3 ? n ? 1? ? 3n ? 1?? 3n ? 2 ? , 令 c n= 3 ? n ? 1?

3n ? 4 ?? 3n ? 1? ? 3n ? 1?? 3n ? 2 ? ? 3n ? 1?? 3n ? 4 ? cn+1-cn= ? ? ? . 3n 3 ? n ? 1? 3n ? n ? 1?

因为n≥2,所以cn+1-cn>0,即数列{cn}为单调递增数列,所以c2最 小,c2=
28 28 .所以λ的取值范围为 ( ??, ]. 3 3


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