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周五大题解法训练12 数列3


周五大题解法训练 12 数列 3 1.(2015 届揭阳一中)若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意正整数 n 都有 6 S n ? 1 ? 2an ,
记 bn ? log 1 an .
2

(1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)令 cn ? 都有 Tn ?

n ?1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明:对于任意的 n ? N? , 2 2 (n ? 2) (bn ? 1)

5 . 64

2.(2015 届金山中学)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 ? 4n ? 4,(n ? N? ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

?1, n ? 1 ? (2)数列 ?bn ? 中,令 bn ? ? a ? 5 , Tn ? b1 21 ? b2 22 ? b3 23 ???? ? bn 2n ,求 Tn ; n ,n ? 2 ? ? 2 (3)设各项均不为零的数列 ?cn ? 中,所有满足 ci ? ci ?1 ? 0 的正整数 i 的个数称为这个数
列 ?cn ? 的变号数.令 cn ? 1 ?

a ( n 为正整数),求数列 ?cn ? 的变号数. an

3.(2015 届广州六中)设正数数列 {an } 为等比数列, a2 ? 4, a4 ? 16 ,记 bn ? 2 ? log 2 an . (1)求 an 和 bn ; (2)证明: 对任意的 n ? N? ,有

b1 ? 1 b2 ? 1 ? ? b1 b2

?

bn ? 1 ? n ? 1 成立. bn

1

周五大题解法训练 12 数列 3 参考答案
1.解:(1)由 6 S1 ? 1 ? 2a1 ,得 6a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ?

1 . 8

………………………1 分

6 S 2 ? 1 ? 2a2 ,得 6 ? a1 ? a2 ? ? 1 ? 2a2 ,解得 a2 ?
(2)由 6 S n ? 1 ? 2an ……①,

1 . 32

……………………………3 分

当 n ? 2 时,有 6 S n ?1 ? 1 ? 2an ?1 ……②, ①-②得:

……………………………4 分 ……………………………5分

an 1 ? , an ?1 4

1 1 ? 数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列 8 4

…………………………6分

1 ?1? ? an ? a1q n ?1 ? ? ? ? 8 ?4?

n ?1

?1? ?? ? ?2?
2 n ?1

2 n ?1



………………………………………7分

?1? ? bn ? log 1 an ? log 1 ? ? 2 2 ?2?
(3)证明:由(2)有 cn ?

? 2n ? 1 .

……………………………8分

n ?1 1 ?1 1 ? . …………………………10 分 ? ? 2? 2 2 (n ? 2) (2n) 16 ? n ( n ? 2) 2 ? ?

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ……12 分 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?…? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n ( n ? 2) 2 ? ?

?
?

1 1 1 1 [1 ? 2 ? ? ] ……………………………………………………13 分 2 16 2 ( n ? 1) ( n ? 2) 2

1 1 5 . ……………………………………………………………………14 分 (1 ? 2 ) ? 16 2 64 2.解:(1) Sn ? n2 ? 4n ? 4 ,∴ S1 ? 1 ……………………………………………………1 分 又当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 5 ……………………………………………………3 分
所以 an ? Sn ? Sn ?1 ? ?

?1, n ? 1 ? …………………………………………………………4 分 ? ?2n ? 5, n ? 2

?1, n ? 1 ? (2)∵ bn ? ? a ? 5 ,∴ bn ? n ,……………………………………………………5 分 n ,n ? 2 ? ? 2 Tn ? 1? 2+2 ? 22 +3? 23 + +n ? 2n ………………………………………………………6 分
2

2Tn ? 1? 22 +2 ? 23 +3? 24 +

+(n-1) ? 2n +n ? 2n?1 ,∴ Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2 …………9 分

?? 3, n ? 1 ? (3)解法一:由题设 c n ? ? ………………………………………………10 分 4 1? ,n ? 2 ? ? 2n ? 5 4 4 8 ∵ n ? 3 时, c n ?1 ? c n ? ? ? ? 0, 2n ? 5 2n ? 3 ?2n ? 5??2n ? 3? ∴ n ? 3 时, 数列 ?cn ? 递增…………………………………………………………………12 分 1 4 ? 0 ? n ? 5 ,可知 a4 ? a5 ? 0 ,即 n ? 3 时,有且只有 1 个 ∵ a4 ? ? ? 0 , 由1 ? 3 2n ? 5
变号数; 又∵ c1 ? ?3, c2 ? 5, c3 ? ?3 ,即 c1 ? c2 ? 0, c2 ? c3 ? 0 , ∴此处变号数有 2 个.……………………………………………………………………13 分 综上,数列 ?cn ? 共有 3 个变号数,即变号数为 3 .………………………………………14 分

? ?3, n ? 1 ? 解法二:由题设 cn ? ? ……………………………………………………10 分 4 1? ,n ? 2 ? ? 2n ? 5

2n ? 9 2n ? 7 3 5 7 9 ? ? 0 ? ? n ? 或 ? n ? ? n ? 2或n ? 4 ; 2n ? 5 2n ? 3 2 2 2 2 又∵ c1 ? ?3, c2 ? 5 ,∴ n ? 1 时也 c1 ? c2 ? 0 .…………………………………………13 分 综上得:数列 ?cn ? 共有 3 个变号数,即变号数为 3 . ………………………………14分

n ? 2 时,令 cn ? cn?1 ? 0 ?

3.解:(1)依题意可知 q ?
2

a4 ? 4 ,又 an ? 0 ,所以 q ? 2 , a2
……………………………………4 分

从而 an ? a2 ? qn?2 ? 2n ?bn ? 2 ? log 2 an ? 2n (2)证明:①当 n ? 1 时,左边 ?

3 3 ,右边 ? 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立……5 分 2 2 bk ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 ②假设当 n ? k 时,不等式成立,即 ……7 分 ? ? ? ? k ? 1 成立. b1 b2 bk 那么当 n ? k ? 1 时,则

b ? 1 b2 ? 1 ? ? 左边 ? 1 b1 b2
2

2k ? 3 b ?1 b ? 1 bk ?1 ? 1 ? k ?1 ? ? k ? 1 ? k ?1 ? k ? ? 2k ? 2 bk ?1 bk bk ?1

? 2k ? 3 ? 4 ? k ? 1?

2

4 ? k ? 1? ? 4 ? k ? 1? ? 1 ? ? 4 ? k ? 1?

? k ? 1? ? 1 ?

1 ? 4 ? k ? 1?

? k ? 1? ? 1 ? 右边

………12 分

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得对任意的 n ? N? ,都有

b1 ? 1 b2 ? 1 ? ? b1 b2
3

?

bn ? 1 ? n ? 1 恒成立.……14 分 bn

(另解:此题也可直接用放缩法证明.即用

2k ? 1 4k 2 ? 4k k ?1 ) ? ? 2 2k 4k k

4


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