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2016届高考数学(理)一轮复习学案:2.7+函数的图象(苏教版含解析)


§2.7

函数的图象

1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、 周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换 关于x轴对称 ①y=f(x) ― ― → y=-f(x); 关于y轴对称 ②y=f(x) ― ― → y=f(-x); 关于原点对称 ③y=f(x) ― ― → y=-f(-x); 关于y=x对称 x ④y=a (a>0 且 a≠1) ― ― → y=logax(a>0 且 a≠1). 保留x轴上方图象 ⑤y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=|f(x)|. 将 x― 轴下方图象翻折上去 保留y轴右边图象,并作其 ⑥y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(|x|). 关于 y轴对称的图象 (3)伸缩变换 ①y=f(x)

y=f(ax). a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变 ②y=f(x)0<a<1― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → ,纵坐标缩短为原来的 a― 倍,横坐标不变 y=af(x).
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
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(1)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同.( × (2)函数 y=af(x)与 y=f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同.( × ) (3)函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于原点对称.( × )

)

(4) 若函 数 y = f(x) 满足 f(1 + x) = f(1 - x) ,则函 数 f(x) 的图象关于直 线 x = 1 对 称.( √ ) (5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x-1)的图象.( × ) (6)不论 a(a>0 且 a≠1)取何值,函数 y=loga2|x-1|的图象恒过定点(2,0).( × )

1.函数 y=1-

1 的图象是________. x-1

答案 ② 1 1 解析 将 y=- 的图象向右平移 1 个单位, 再向上平移一个单位, 即可得到函数 y=1- x x-1 的图象.由图知②正确. 2.(2013·北京改编)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=e 关于
x

y 轴对称,则 f(x)的解析式为________.
答案 f(x)=e
-x-1

解析 与 y=e 图象关于 y 轴对称的函数为 y=e .依题意,f(x)图象向右平移一个单位, 得 y=e =e
-x-1 -x

x

-x

的图象.∴f(x)的图象由 y=e

-x

的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)=e

-(x+1)

.

3.如图,定义在[-1,+∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则

f(x)的解析式为________.

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x+1,x∈[-1,0] ? ? 答案 f(x)=?1 2 ?x-2? -1,x∈?0,+∞? ? ?4
? ?-k+b=0, 解析 当 x∈[-1,0]时,设 y=kx+b,由图象得? ?k×0+b=1, ?

解得?

? ?k=1, ?b=1, ?

∴y=x

+1. 当 x>0 时,设 y=a(x-2) -1, 1 2 由图象得 0=a(4-2) -1,解得 a= , 4 1 2 ∴y= (x-2) -1. 4
2

x+1,x∈[-1,0], ? ? 综上可知 f(x)=?1 2 ?x-2? -1,x∈?0,+∞?. ? ?4
?2,x>m, ? 4.已知函数 f(x)=? 2 ?x +4x+2,x≤m ?

的图象与直线 y=x 恰有三个公共点,则实数 m 的

取值范围是________. 答案 [-1,2) 解析 令 x +4x+2=x,解得 x=-1 或 x=-2, 所以三个解必须为-1,-2 和 2,所以有-1≤m<2.
2

题型一 作函数的图象 例 1 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (3)y=x -2|x|-1;
2

(2)y=2 (4)y=

x+2



x+2 . x-1
图象如图①.

?lg x ?x≥1?, ? 解 (1)y=? ?-lg x ?0<x<1? ?
x

(2)将 y=2 的图象向左平移 2 个单位,图象如图②.

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? ?x -2x-1 (3)y=? 2 ?x +2x-1 ?

2

?x≥0?, ?x<0?,

图象如图③.

(4)因 y=1+ 即得 y=

3 3 , 先作出 y= 的图象, 将其图象向右平移 1 个单位, 再向上平移 1 个单位, x-1 x

x+2 的图象,如图④. x-1

思维升华 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函 数、形如 y=x+ (m>0)的函数是图象变换的基础; (2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧,可以帮助我们简化作图过程. 作出下列函数的图象. (1)y=|x-2|·(x+1); (2)y=

m x

x+2 . x+3

解 (1)当 x≥2, 即 x-2≥0 时,

y=(x-2)(x+1)=x2-x-2
1 2 9 =(x- ) - ; 2 4 当 x<2,即 x-2<0 时,

y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2
1 2 9 =-(x- ) + . 2 4 1 9 ?x- ? - ,x≥2, ? ? 2 4 ∴y=? 1 9 -?x- ? + ,x<2. ? ? 2 4
2 2

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这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).

(2)y=

x+2 1 1 =1- ,该函数图象可由函数 y=- 向左平移 3 个单位,再向上平移 1 个单 x+3 x+3 x

位得到,如下图所示.

题型二 识图与辨图 例 2 函数 y=ax +bx 与 y= log b x (ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是
2

| | a

________.(填序号)

?-2x?-1≤x≤0?, (2)已知 f(x)=? ? x?0<x≤1?,

则下列函数的图象正确的为________.(填序号)

答案 (1)④ (2)①②③

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解析 (1)函数 y=ax +bx 的两个零点是 0,- . 对于①②,由抛物线的图象知,- ∈(0,1), ∴| |∈(0,1). ∴函数 y= log b x 不是增函数,错误;
| | a

2

b a

b a

b a

对于③,由抛物线的图象知 a<0 且- <-1, ∴b<0 且 >1,∴| |>1, ∴函数 y=log| |x 应为增函数,错误; 对于④,由抛物线的图象知 a>0,- ∈(-1,0), ∴| |∈(0,1),满足 y= log b x 为减函数.
| | a

b a

b a

b a

b a

b a

b a

(2)先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图象, 再将函数 y=f(x)的图象向右平移 1 个单位长 度即可得到 y=f(x-1)的图象,因此①正确; 作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴的对称图形,即可得到 y=f(-x)的图象,因此②正确;

y=f(x)的值域是[0,2],因此 y=|f(x)|的图象与 y=f(x)的图象重合,③正确; y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当 0<x≤1 时,y=f(|x|)= x,相应这
部分图象不是一条线段,因此④不正确. 综上所述,①②③正确. 思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象. 函数 y=xsin x 在[-π ,π ]上的图象是下列图象中的________.

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(2)已知定义在区间 [0,2]上的函数 y= f(x)的图象如图所示,则 y=- f(2- x) 的图象为 ________.

答案 (1)① (2)② π 解析 (1)容易判断函数 y=xsin x 为偶函数,可排除④.当 0<x< 时,y=xsin x>0,当 x 2 =π 时,y=0,可排除②③,所以符合条件的应为①. (2)方法一 由 y=f(x)的图象知,
? ?x?0≤x≤1?, f(x)=? ?1?1<x≤2?. ?

当 x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],
?1?0≤x≤1?, ? 所以 f(2-x)=? ? ?2-x?1<x≤2?, ?-1?0≤x≤1?, ? 故 y=-f(2-x)=? ?x-2?1<x≤2?. ?

图象应为②.

方法二 当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1;
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当 x=1 时,-f(2-x)=-f(1)=-1. 观察各图象,可知②正确. 题型三 函数图象的应用 例 3 已知函数 f(x)=|x -4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}. 思维点拨 可利用图象直观得到函数单调性;方程解的个数可转化为函数图象交点个数. 解
? ??x-2? -1, x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, f(x)=? 2 ?-?x-2? +1, x∈?1,3?. ?
2 2

作出函数图象如图.

(1)由图象可知,函数的增区间为[1,2],[3,+∞); 函数的减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出 y=f(x)和 y=m 的图象,使两函数图象有四个不同的交点(如图). 由图知 0<m<1,∴M={m|0<m<1}. 思维升华 (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否有解,有 多少个解.数形结合是常用的思想方法. (2)利用图象,可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质. (1)方程 x -|x|+a=1 有四个不同的实数解,则 a 的取值范围是________. 1 x (2)当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是________. 2 5 答案 (1)(1, ) 4 (2)( 2 ,1) 2
2 2

解析 (1)方程解的个数可转化为函数 y=x -|x|的图象与直线 y=1-a 交点的个数, 如图:

1 5 易知- <1-a<0,∴1<a< . 4 4 1 x (2)∵0<x≤ ,∴1<4 ≤2, 2
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∴logax>4 >1,∴0<a<1. 令 f(x)=4 ,g(x)=logax, 1 1 当 x= 时,f( )=2.(如图) 2 2
x

x

1 1 2 令 g( )=loga =2,即 a= . 2 2 2 又∵g(x)=logax,x0∈(0,1),

a1,a2∈(0,1)且 a1<a2 时, log a2 x0 > log a1 x0 ,
1 x ∴要使当 0<x≤ 时,4 <logax 成立, 2 需 2 <a<1. 2

高考中的函数图象及应用问题 一、已知函数解析式确定函数图象 典例:函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y= log 1 f ? x ? 的图象大致是________.
2

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思维点拨 根据函数的定义域、值域、单调性和特征点确定函数图象. 解析 由函数 y=f(x)的图象知,当 x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以 log 1 f(x)≤0.
2

又函数 f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数, 所以 y= log 1 f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.结合 4 个图象知,③正确.
2

答案 ③ 温馨提醒 (1)确定函数的图象,要从函数的性质出发,利用数形结合的思想. (2)对于给出图象的题,可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除. 二、函数图象的变换问题 典例:若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为________.

思维点拨 从 y=f(x)的图象可先得到 y=-f(x)的图象,再得 y=-f(x+1)的图象. 解析 要想由 y=f(x)的图象得到 y=-f(x+1)的图象,需要先将 y=f(x)的图象关于 x 轴 对称得到 y=-f(x)的图象, 然后再向左平移一个单位得到 y=-f(x+1)的图象, 根据上述 步骤可知③正确. 答案 ③ 温馨提醒 (1)对图象的变换问题,从 f(x)到 f(ax+b),可以先进行平移变换,也可以先进 行伸缩变换,要注意变换过程中两者的区别. (2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定. 三、图象应用 |x -1| 典例:已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值 x-1
2

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范围是________. |x -1| 思维点拨 先作函数 y= 的图象,然后利用函数 y=kx-2 图象恒过点(0,-2)以及 x-1 |x -1| 与 y= 图象恰有两个交点确定 k 的范围. x-1 解析 根据绝对值的意义, |x -1| y= x-1
? ?x+1?x>1或x<-1?, =? ?-x-1?-1≤x<1?. ?
2 2 2

在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.根据图象可知, 当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点. 答案 (0,1)∪(1,4) 温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的思想,数形结合的思想包括“以形助数”或“以 数辅形”两个方面,本题属于“以形助数”,是指把某些抽象的问题直观化、生动化,能够 变抽象思维为形象思维,解释数学问题的本质. (2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况,解题时可对方程或不等式适当变形,选择合 适的函数进行作图.

方法与技巧 1. 列表描点法是作函数图象的辅助手段, 要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状: (1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等;(2)可通过函数 图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等;(3)可通过方程的同解变形,如作函数 y = 1-x 的图象. 2.合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (2)用图 函数图象形象地显示了函数的性质, 为研究数量关系问题提供了“形”的直观性, 它是探求 解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图象研究 含参数的方程或不等式解集的情况. 失误与防范
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2

1. 函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言, 如从 f(-2x)的图象到 f(-2x+1)的图象 1 1 是向右平移 个单位,其中是把 x 变成 x- . 2 2 2.当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”的精确,注重数形结合思想的运 用 .

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1 x 1.函数 y=5 与函数 y=- x的图象关于________. 5 ①x 轴对称; ③原点对称; 答案 ③ 1 -x x 解析 y=- x=-5 ,可将函数 y=5 中的 x,y 分别换成-x,-y 得到,故两者图象关于 5 原点对称. 2.若 loga2<0(a>0,且 a≠1),则函数 f(x)=loga(x+1)的图象大致是________. ②y 轴对称; ④直线 y=x 对称.

答案 ② 解析 ∵loga2<0,∴0<a<1, 由 f(x)=loga(x+1)单调性可知①④错误, 再由定义域知图②正确,图③错误. 3.设定义在[-1,7]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则关于函数 y= 表述正确的是________. 1 的单调区间 f?x?

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①在[-1,1]上单调递增; ②在(0,1]上单调递减,在[1,3)上单调递增; ③在[5,7]上单调递增; ④在[3,5]上单调递增. 答案 ② 解析 由题图可知,f(0)=f(3)=f(6)=0,所以函数 y= 定义,故①③④错误,②正确. 4.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是________. 答案 (-1,0) 解析 在同一坐标系内作出 y=log2(-x),y=x+1 的图象,知满足条件的 x∈(-1,0). 1

f?x?

在 x=0,x=3,x=6 时无

5. (2014·山东改编)已知函数 f(x)=|x-2|+1, g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相 等的实根,则实数 k 的取值范围是________. 1 答案 ( ,1) 2 解析 先作出函数 f(x)=|x-2|+1 的图象,如图所示,当直线

g(x)=kx 与直线 AB 平行时斜率为 1,当直线 g(x)=kx 过 A 点时
1 1 斜率为 ,故 f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k 的范围为( , 2 2 1). 1 x 6.已知 f(x)=( ) ,若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对 3 应的函数为 g(x),则 g(x)的表达式为________. 答案 g(x)=3
x-2

解析 设 g(x)上的任意一点 A(x,y),则该点关于直线 x=1 的对称点为 B(2-x,y),而该 点在 f(x)的图象上. 1 2-x x-2 x-2 ∴y=( ) =3 ,即 g(x)=3 . 3 7.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2 ,x+2,10-x}(x≥0),
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x

则 f(x)的最大值为_________________________________. 答案 6 解析 f(x)=min{2 , x+2,10-x}(x≥0)的图象如图. 令 x+2=10-x, 得 x=4. 当 x=4 时,f(x)取最大值,
x

f(4)=6.
2 ? ? , x≥2, 8.已知函数 f(x)=?x ? ??x-1?3, x<2. 则实数 k 的取值范围是________. 答案 (0,1) 解析 画出分段函数 f(x)的图象如图所示,结合图象可以看出,若

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,

f(x)=k 有两个不同的实根, 也即函数 y=f(x)的图象与 y=k 有两个
不同的交点,k 的取值范围为(0,1). 9.已知函数 f(x)= . 1+x

x

(1)画出 f(x)的草图; (2)指出 f(x)的单调区间.

x 1 解 (1)f(x)= =1- ,函数 f(x)的图象是由反比例函数 y=- 1+x x+1
1

x

的图象向左平移 1 个单位后,再向上平移 1 个单位得到,图象如图所

示. (2)由图象可以看出,函数 f(x)有两个单调递增区间: (-∞,-1),(-1,+∞). 10.已知函数 f(x)=2 ,当 m 取何值时方程|f(x)-2|=m 有一个解,两 个解? 解 令 F(x)=|f(x)-2|=|2 -2|, G(x)=m, 画出 F(x)的图象如图所示. 由图象看出, 当 m=0 或 m≥2 时, 函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点, 原方程有一个解; 当 0<m<2 时,函数 F(x)与 G(x)的图象有两个交点,原方程有两个解. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 1.函数 y=e
|ln x|

x

x

-|x-1|的图象大致是________.

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答案 ④ 解析 函数的定义域为(0,+∞). 当 0<x<1 时,y=e 确. 1 2.函数 y= 的图象与函数 y=2sin π x (-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 1-x ________. 答案 8 解析 令 1-x=t,则 x=1-t. 由-2≤x≤4,知-2≤1-t≤4,所以-3≤t≤3. 又 y=2sin π x=2sin π (1-t)=2sin π t. 1 在同一坐标系下作出 y= 和 y=2sin π t 的图象.
-ln x

1 ln x -1+x= -1+x;当 x≥1 时,y=e +1-x=x+1-x=1,故④正

x

t

由图可知两函数图象在[-3,3]上共有 8 个交点,且这 8 个交点两两关于原点对称. 因此这 8 个交点的横坐标的和为 0, 即 t1+t2+?+t8=0. 也就是 1-x1+1-x2+?+1-x8=0, 因此 x1+x2+?+x8=8.
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3. (2014·天津)已知函数 f(x)=|x +3x|, x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异 的实数根,则实数 a 的取值范围为________. 答案 (0,1)∪(9,+∞) 解析 设 y1=f(x)=|x +3x|,y2=a|x-1|, 在同一直角坐标系中作出 y1=|x +3x|,y2=a|x-1|的图象如图所示.
2 2

2

由图可知 f(x)-a|x-1|=0 有 4 个互异的实数根等价于 y1=|x +3x|与 y2=a|x-1|的图象 有 4 个不同的交点,
? ?y=-x -3x, 所以,①? ?y=a?1-x? ?
2 2

2

(-3<x<0)有两组不同解.

消去 y 得 x +(3-a)x+a=0 有两个不等实根 x1,x2, ∴Δ =(3-a) -4a>0,即 a -10a+9>0, 又∵x1+x2=a-3<0,x1·x2=a>0, ∴0<a<1.
? ?y=x +3x, ②? ?y=a?x-1? ?
2 2 2 2

(x>1)有两组不同解.

消去 y 得 x +(3-a)x+a=0 有两不等实根 x3,x4, ∴Δ =a -10a+9>0, 又∵x3+x4=a-3>2, ∴a>9. 综上可知,0<a<1 或 a>9. 4.设函数 y=f(x+1)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在区间(-∞,0)是减 函数,且图象过点(1,0),则不等式(x-1)f(x)≤0 的解集为________. 答案 (-∞,0]∪(1,2] 解析 y=f(x+1)向右平移 1 个单位得到 y=f(x)的图象,由已知 可得 f(x)的图象的对称轴为 x=1,过定点(2,0),且函数在(-∞, 1)上递减,在(1,+∞)上递增,则 f(x)的大致图象如图所示. 不等式 (x - 1)f(x)≤0 可化为 ?
? ?x>1, ?f?x?≤0 ?
2

或?

? ?x<1, ?f?x?≥0. ?



图可知符合条件的解集为(-∞,0]∪(1,2].
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5.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图象; (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间; (4)若方程 f(x)=a 只有一个实数根,求 a 的取值范围. 解 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4. (2)f(x)=x|x-4|
? ?x?x-4?=?x-2? -4,x≥4, =? 2 ?-x?x-4?=-?x-2? +4,x<4. ?
2

f(x)的图象如图所示.
(3)f(x)的减区间是[2,4]. (4)从 f(x)的图象可知,当 a>4 或 a<0 时,f(x)的图象与直线 y=a 只有一 个交点, 方程 f(x)=a 只有一个实数根, 即 a 的取值范围是(-∞, 0)∪(4, +∞).

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