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高考数学大一轮复习配套课时训练:第十二篇 几何证明选讲 第1节 相似三角形的判定及有关性质(含答案)


第十二篇 第1节 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法

几何证明选讲(选修 4 1)

相似三角形的判定及有关性质 练题感 提知能

题号 1、4、10 2、6、8、9、10、11、13 3、5、7、12

平行线截割定理及应用 相似三角形的判定与性质 直角三角形中的射影定理

A组 填空题 1.如图所示,在△ABC 中,DE∥BC,DF∥AC,AE=2,AC=3,BC=4,则 BF 的长 为 .

解析:因为 DE∥BC, 所以 = = , 因为 DF∥AC, 所以 = , 由①②得 = , ② ①

解得 CF= . 故 BF=4- = . 答案: 2.如图所示,?ABCD 中,AE∶EB=2∶5,若△AEF 的面积等于 4 cm2,则 △CDF 的面积等于 .

解析:?ABCD 中,△AEF∽△CDF, 由 AE∶EB=2∶5, 得 AE∶CD=2∶7, ∴ =( )2=( )2,

∴S△CDF=( )2×S△AEF= ×4=49 (cm2). 答案:49 cm2 3.(2013 汕头市高三教学质量测评)如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC 边为直径与 AB 交于点 D,则三角 形 ACD 的面积为 .

解析:∵AC 是☉O 的直径, ∴CD⊥AB,

又 AC=3 cm,BC=4 cm, 所以 AB=5 cm. ∴AD= = cm,CD= cm.

∴S△ACD= AD·CD= × × = ( cm2). 答案: cm2

4.(2013 广州市普通高中毕业班综合测试)在△ABC 中,D 是边 AC 的中 点,点 E 在线段 BD 上,且满足 BE= BD,延长 AE 交 BC 于点 F,则 的值 为 .

解析:如图,过 D 作 DG∥AF 交 BC 于 G. ∵D 是 AC 中点, ∴G 是 FC 中点, 又 BE= BD, ∴BF= BG, ∴ =, ∴ =. 答案:

5.已知圆 O 的直径 AB=4,C 为圆上一点,过 C 作 CD⊥AB 于 D,若 CD= , 则 AC= .

解析:因 AB 为圆 O 的直径, 所以∠ACB=90°, 设 AD=x,因为 CD⊥AB,由射影定理得 CD2=AD·DB, 即( )2=x(4-x). 整理得 x2-4x+3=0,解得 x=1 或 x=3. 当 AD=1 时,得 AC=2; 当 x=3 时,得 AC=2 . 答案:2 或 2 6.(2013 佛山市高三质检(一))如图,M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的 中点,直线 l 过点 M 分别交 AD,AC 于点 E,F,若 AD=3AE,则 AF∶FC= .

解析:延长 ME 交 CD 的延长线于点 G,则△AME∽△DGE,

所以 = = , 所以 DG=2AM=DC.

又△AMF∽△CGF,所以 = = . 答案:1∶4 7.如图所示,矩形 ABCD 中,E 是 BC 上的点,AE⊥DE,BE=4,EC=1,则 AB 的长为 .

解析:法一

∵∠B=90°,

∴∠BAE+∠AEB=90°. ∵AE⊥DE, ∴∠AEB+∠CED=90°. ∴∠BAE=∠CED, ∴Rt△ABE∽Rt△ECD, ∴ = , 即 = , ∴AB=2. 法二 过 E 作 EF⊥AD 于 F.

由题知 AF=BE=4, DF=CE=1. 则 EF2=AF·DF=4. ∴AB=EF=2. 答案:2

8.(2013 年高考陕西卷)如图,弦 AB 与 CD 相交于☉O 内一点 E,过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P.已知 PD=2DA=2,则 PE= .

解析:由 PD=2DA=2,得 PA=PD+DA=2+1=3, 又 PE∥BC,得∠PED=∠C, 又∠C=∠A,得∠PED=∠A, 在△PED 和△PAE 中,∠EPD=∠APE,∠PED=∠A, 所以△PED∽△PAE, 得 = , 因此 PE2=PA·PD=3×2=6,PE= . 答案: 9.如图所示,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=4,AD⊥BC,垂 足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的长为 .

解析:如图所示,设圆心为 O,连接 OA,OE,AE,因为 A,E 是半圆周上的两 个三等分点,

所以 AE∥BC,AE= BC=2,

所以△AFE∽△DFB, 所以 = . 在△AOD 中, ∠AOD=60°,AO=2,AD⊥BC, 故 OD=AOcos ∠AOD=1,AD=AOsin ∠AOD= , 所以 BD=1. 故 AF= ·DF=2(AD-AF). 解得 AF= . 答案: 10.如图所示,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,F 分别为 AD,BC 上的点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比 为 .

解析:延长 AD、BC 交于点 H,

由 DC∥EF 知 =( )2= , ∴ =,

由 DC∥AB 知 =( )2= , ∴ ∴ = , =.

答案:7∶5 11.(2013 广东省韶关市高三第三次调研)如图,圆 O 是△ABC 的外接圆, 过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D,CD=2 ,AB=BC=3,则 BD 的长 为 ,AC 的长为 .

解析:CD2=DB·DA, 设 DB=x, 则 x(x+3)=28, 解得 x=4. ∵△BCD∽△CAD, ∴ = . ∴AC= 答案:4 B组 = .

12.(2013 年高考湖北卷)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D, 点 D 在半径 OC 上的射影为 E.若 AB=3AD,则 的值为 .

解析:连接 AC,BC, 则 AC⊥BC. ∵AB=3AD, ∴AD= AB,BD= AB, OD= AB. 又 AB 是圆 O 的直径,OC 是圆 O 的半径, ∴OC= AB. 在△ABC 中, 根据射影定理有 CD2=AD·BD= AB2. 在△OCD 中,根据射影定理有 OD2=OE·OC,CD2=CE·OC, 可得 OE= AB,CE= AB, ∴ =8. 答案:8

13.(2013 陕西师大附中高三第四次模拟)如图所示,已知 AB 和 AC 是 圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,EF= ,则线段 CD 的长为 解析:由相交弦定理得 AF·FB=EF·FC, 所以 FC= =2, .

连接 BC、BE,如图所示, 则∠1=∠2,∠2=∠A, ∴∠A=∠1, 又∠CBF=∠ABC, ∴△CBF∽△ABC, 由 = ,得 BC=2, 由 = ,得 AC=4, 又由平行线等分线段定理得 = , 解得 CD= . 答案:


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