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2014届高三数学(理)二轮强化训练:专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(4) Word版含解析]


课时强化训练(四) 一、选择题 1.(2013· 石家庄模拟)若 a>b>0,则下列不等式不成立的是(
1 2 1 2

)

A.a+b<2 ab B.a >b C.lna>lnb D.0.3a<0.3b 解析:根据幂函数、对数函数、指数函数的性质可知,选项 B、C、D 中的不等式均成 立. 答案:A 2.(2013· 河南联考)若不等式 mx2+mx-4<2x2+2x-1 对任意实数 x 均成立,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(-10,2] C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,-2) 解析:不等式 mx2+mx-4<2x2+2x-1 对任意实数 x 均成立,即(m-2)x2+(m-2)x-3 <0(*)对任意实数 x 恒成立.当 m-2=0,即 m=2 时,(*)式化为-3<0,恒成立.当 m-2 <0,即 m<2 时,Δ=(m-2)2+4×3(m-2)<0,解得-10<m<2,综上,m 的取值范围为 (-10,2],故选 B. 答案:B 1 1? 1 3.(2013· 长春联考)已知 m∈(b,a)且 m≠0, 的取值范围是? ?a,b?,则实数 a,b 满足 m ( ) A.a>b>0 B.a>0>b C.a<0<b D.a<b<0 1 1 解析:由题知,b<a,从而排除选项 C、D.若 ab<0,则由 > 可得 a<b,不合题意, b a 故选项 B 不正确.从而易知 A 正确. 答案:A 4.(2013· 银川联考)已知正数 x,y 满足 x+2 2xy≤λ(x+y)恒成立,则实数 λ 的最小值为 ( ) A.1 B.2 C .3 D.4 x+2 2xy 解析:依题意得 x+2 2xy≤x+(x+2y)=2(x+y),即 ≤2(当且仅当 x=2y 时取 x+y x+2 2xy x+2 2xy 等号),即 的最大值是 2;又 λ≥ ,因此有 λ≥2,即 λ 的最小值是 2,选 x+y x+y B. 答案:B 2x-y+1>0, ? ? 5.(2013· 北京卷)设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0 表示的平面区域内存在点

P(x0,y0),满足 x0-2y0=2.求得 m 的取值范围是( ) 4 1 ? ? A.? B.? ?-∞,3? ?-∞,3? 2? 5? ? C.? ?-∞,-3? D.?-∞,-3? 解析:先画出二元一次不等式组所对应的图形,再根据点 P 的存在条件列出不等式求 1 出 m 的范围.如图所示,图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含 y= x-1 的上的点, 2

1 1 2 只需要可行域的边界点(-m,m)在 y= x-1 下方,也就是 m<- m-1,即 m<- . 2 2 3

答案:C 6.(2013· 长春调研)设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f(-x)+f(x)=0 恒成立.如果实数 m、n 满足不等式 f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么 m2+n2 的取值范围 是( ) A.(9,49) B.(13,49) C.(9,25) D.(3,7) 解析:依题意得 f(-x)=-f(x),因此由 f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0 得 f(m2-6m+21) <-f(n2-8n)=f(-n2+8n). 又 f(x)是定义在 R 上的增函数, 于是有 m2-6m+21<-n2+8n, 2 2 即(m-3) +(n-4) <4.在坐标平面 mOn 内该不等式表示的是以点(3,4)为圆心、2 为半径的 圆内的点,m2+n2 可视为该平面区域内的点(m,n)与原点间的距离的平方,结合图形可知 m2+n2 的取值范围是(9,49),选 A. 答案:A 二、填空题 7. 已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是__________. 2 解析:由题意,得△=(-a) -8a<0,解得 a∈(0,8). 答案:(0,8) 8.已知 a、b、c 都是正实数,且满足 log9(9a+b)=log3 ab,则使 4a+b≥c 恒成立的 c 的取值范围是__________.(用区间表示) 解析:∵a、b 都是正实数,log9(9a+b)=log3 ab, 9 1 ∴log9(9a+b)=log9(ab),9a+b=ab, + =1. b a 9 1 36a b 36a b ? ∴4a+b=(4a+b)? × =25,即 4a+b≥25.当且仅当 ?b+a?=13+ b +a≥13+2 b a 36a b = ,即 b=6a 时取等号. b a 5 ? ? ?a=2, ?b=6a, 此时,由? 解得? ?9a+b=ab, ? ?b=15. ? 又∵c>0,∴要使 4a+b≥c 恒成立,只需 0<c≤25. 答案:(0,25] 9.设 a,b 为正实数.现有下列命题: 1 1 ①若 a2-b2=1,则 a-b<1;②若 - =1,则 a-b<1;③若| a- b|=1,则|a-b|<1; b a 3 3 ④若|a -b |=1,则|a-b|<1.其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号) 解析:①,因为 a2-b2=(a-b)(a+b)=1,又由 a,b 为正实数知 a+b>a-b,则必须 a 1 1 3 9 +b>1,a-b<1,所以①是真命题;②,由 - =1,取 a=3,b= ,则 a-b= >1,所以 b a 4 4 ②是假命题;③,由| a- b|=1,取 a=9,b=4,则|a-b|=5>1,所以③是假命题;④, 由|a3-b3|=1,得|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,且 a,b 中必有一个大于 1,则 a2+ab+b2>1,于 1 是|a-b|= 2 <1,所以④是真命题.综上可知,①④是真命题. a +ab+b2 答案:①④

三、解答题 10.已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b; x-c (2)解不等式 >0(c 为常数). ax-b

?b=a, 解析:(1)由题知 1,b 为方程 ax -3x+2=0 的两根,即? 3 ?1+b=a,
2

2

∴a=1,b=2.

(2)不等式等价于(x-c)(x-2)>0, 当 c>2 时解集为{x|x>c 或 x<2}; 当 c<2 时解集为{x|x>2 或 x<c};当 c=2 时解集为{x|x≠2,x∈R}. 1 ? -x ? 11.(2013· 山东质检)设集合 A= x ? ?32≤2 ≤4?, B={x|(x-m+1)· (x-2m-1)<0}. (1)求 A∩Z; (2)若 A?B,求 m 的取值范围. 解析:(1)化简可得,集合 A={x|-2≤x≤5}, 则 A∩Z={-2,-1,0,1,2,3,4,5}. (2)集合 B={x|(x-m+1)(x-2m-1)<0}, ①当 m=-2 时,B=?,所以 B?A; ②当 m<-2 时,∵(2m+1)-(m-1)=2+m<0, ∴B={x|2m+1<x<m-1}. ? ?2m+1≥-2, 因此,要使 B?A,只需? ?m-1≤5, ? 3 解得- ≤m≤6,所以 m 值不存在. 2 ? ?m-1≥-2, ③当 m>-2 时, B={x|m-1<x<2m+1}, 要使 B?A, 只需? 解得-1≤m≤2. ?2m+1≤5, ? 综上所述,m 的取值范围是 m=-2 或-1≤m≤2. 12.(2013· 广州模拟)某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一吨产品所消耗的电能和煤、 所需工人人数以及所得产值如下表所示: 品种 电能(千度) 煤(吨) 工人人数(人) 产值(万元) 2 3 5 7 甲 8 5 2 10 乙 已知该工厂的工人人数最多是 200 人,根据限额,该工厂每天消耗电能不得超过 160 千度,消耗煤不得超过 150 吨,问怎样安排甲、乙这两种产品的生产数量,才能使每天所得 的产值最大? 解析:设甲、乙两种产品每天分别生产 x 吨和 y 吨,则每天所得的产值为 z=7x+10y 万元.

{

? ?3x+5y≤150, 依题意,得不等式组?5x+2y≤200, x≥0, ? ?y≥0.
2x+8y≤160,

(*)

?2x+8y=160, ? 由? 解得 ?3x+5y=150, ?

?x= 7 , ? 90 ?y= 7 . ?x= 19 , ? 150 ?y= 19 .
700

200

?5x+2y=200, ? 由? 解得 ?3x+5y=150, ?

200 90? ?700 150? 设点 A 的坐标为? ? 7 , 7 ?,点 B 的坐标为? 19 , 19 ?,则不等式组(*)所表示的平面区 域是五边形的边界及其内部(如图中阴影部分).

7 令 z=0,得 7x+10y=0,即 y=- x. 10 7 作直线 l0:y=- x. 10 700 150? 由图可知把 l0 平移至过点 B? ? 19 , 19 ?时, 700 150 6 400 即 x= ,y= 时,z 取得最大值 . 19 19 19 700 150 6 400 答:每天生产甲产品 吨、乙产品 吨时,能获得最大的产值 万元. 19 19 19


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