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2015-2016学年高中数学 2.2第2课时 等差数列的性质练习 新人教A版必修5


2015-2016 学年高中数学 2.2 第 2 课时 等差数列的性质练习 新人 A 教版必修 5

一、选择题 1.等差数列{an}中,a6+a9=16,a4=1,则 a11=( A.64 C.31 [答案] D [解析] 解法一:∵?
? ?a1=-5 ?d=2 ? ?a6+a9=16 ? ?a4=1 ? ?2a1+13d=16 ? ,∴? ?a1+3d=1 ?

)

B.30 D.15



∴?

,∴a11=a1+10d=15.

解法二:∵6+9=4+11, ∴a4+a11=a6+a9=16,∴a11=15. 2.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( A.14 C.28 [答案] C [解析] ∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4. 又 a1+a2+…+a7=7a4=28. 3.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0,则有( A.a1+a101>0 C.a3+a100≤0 [答案] D [解析] 由题设 a1+a2+a3+…+a101=101a51=0, ∴a51=0. 4.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( A.-1 C.3 [答案] B [解析] ∵{an}是等差数列, ∴a1+a3+a5=3a3=105,∴a3=35, B.1 D.7 ) B.a2+a100<0 D.a51=0 ) B.21 D.35 )

1

a2+a4+a6=3a4=99,∴a4=33,
∴d=a4-a3=-2,a20=a4+16d=33-32=1. 5.(2015·陕西省质量监测)已知数列{an}满足 a1=15,且 3an+1=3an-2.若 ak·ak+1<0, 则正整数 k=( A.24 C.22 [答案] B 2 2 [解析] 由 3an+1=3an-2 得 an+1-an=- , 所以数列{an}为首项 a1=15, 公差 d=- 的 3 3 2 2 47 2 等差数列,所以 an=15- (n-1)=- n+ ,则由 ak·ak+1<0 得 ak>0,ak+1<0,令 an=- n 3 3 3 3 47 47 + =0 得 n= ,所以 a23>0,a24<0,所以 k=23,故选 B. 3 2 6.设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13 等 于( ) A.120 C.90 [答案] B [解析] ∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5, 又∵a1a2a3=80,∴a1a3=16,即(a2-d)(a2+d)=16, ∵d>0,∴d=3. 则 a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=105. 二、填空题 7.等差数列{an}中,已知 a2+a3+a10+a11=36,则 a5+a8=__________. [答案] 18 [分析] 利用等差数列的性质求解,或整体考虑问题,求出 2a1+11d 的值. [解析] 解法 1:根据题意,有 (a1+d)+(a1+2d)+(a1+9d)+(a1+10d)=36, ∴4a1+22d=36,则 2a1+11d=18. ∴a5+a8=(a1+4d)+(a1+7d)=2a1+11d=18. 解法 2:根据等差数列性质,可得 B.105 D.75 ) B.23 D.21

a5+a8=a3+a10=a2+a11=36÷2=18.
8.已知等差数列{an}中,a3、a15 是方程 x -6x-1=0 的两根,则 a7+a8+a9+a10+a11 =__________. [答案] 15
2
2

[解析] ∵a3+a15=6,又 a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15,∴a7+a8+a9+a10+a11=(2+ 1 5 )(a3+a15)= ×6=15. 2 2 三、解答题 9.已知等差数列{an}的公差 d>0,且 a3a7=-12,a4+a6=-4,求{an}的通项公式. [解析] 由等差数列的性质,得

a3+a7=a4+a6=-4,
又∵a3a7=-12, ∴a3、a7 是方程 x +4x-12=0 的两根. 又∵d>0,∴a3=-6,a7=2. ∴a7-a3=4d=8,∴d=2. ∴an=a3+(n-3)d=-6+2(n-3)=2n-12. 10.四个数成等差数列,其平方和为 94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三 个数的积少 18,求此四个数. [解析] 设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,据题意得, (a-3d) +(a-d) +(a+d) +(a+3d) =94 ? 2a +10d =47.① 3 7 2 又(a-3d)(a+3d)=(a-d)(a+d)-18? 8d =18? d=± 代入①得 a=± ,故所求四 2 2 数为 8,5,2,-1 或 1,-2,-5,-8 或-1,2,5,8 或-8,-5,-2,1.
2 2 2 2 2 2 2

一、选择题 11.设数列{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{an+

bn}的第 37 项为(
A.0 C.100 [答案] C

) B.37 D.-37

[解析] ∵数列{an},{bn}都是等差数列, ∴{an+bn}也是等差数列. 又∵a1+b1=100,a2+b2=100, ∴{an+bn}的公差为 0, ∴数列{an+bn}的第 37 项为 100. 12.数列{an}中,a2=2,a6=0 且数列{ 1 }是等差数列,则 a4 等于( an+1 )

3

1 A. 2 1 C. 4 [答案] A [解析] 令 bn= 1

1 B. 3 1 D. 6

an+1

,则 b2=

1

a2+1 3

1 1 = ,b6= =1, a6+1

由条件知{bn}是等差数列, 2 ∴b6-b2=(6-2)d=4d= , 3 1 1 1 2 ∴d= ,∴b4=b2+2d= +2× = , 6 3 6 3 ∵b4= 1 1 ,∴a4= . a4+1 2 )

13.(2015·北京理,6)设{an}是等差数列.下列结论中正确的是( A.若 a1+a2>0,则 a2+a3>0 B.若 a1+a3<0,则 a1+a2<0 C.若 0<a1<a2,则 a2> a1a3 D.若 a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 [答案] C [解析] 考查等差数列通项公式;作差比较法.

先分析四个答案,A 举一反例 a1=2,a2=-1,则 a3=-4,a1+a2>0,而 a2+a3<0,A 错误;B 举同样反例 a1=2,a2=-1,a3=-4,a1+a3<0,而 a1+a2>0,B 错误;下面针对 C 进行研究,{an}是等差数列,若 0<a1<a2,则 a1>0,设公差为 d,则 d>0,数列各项均为正, 由于 a2-a1a3=(a1+d) -a1(a1+2d)=a1+2a1d+d -a1-2a1d=d >0,则 a2>a1a3? a2> a1a3, 选 C. 14.下列命题中正确的个数是(
2 2 2 2 2 2 2 2

)
2 2

(1)若 a,b,c 成等差数列,则 a ,b ,c 一定成等差数列; (2)若 a,b,c 成等差数列,则 2 2 2 可能成等差数列; (3)若 a,b,c 成等差数列,则 ka+2,kb+2,kc+2 一定成等差数列; 1 1 1 (4)若 a,b,c 成等差数列,则 , , 可能成等差数列.
a, b, c

a b c

A.4 个 C.2 个 [答案] B

B.3 个 D.1 个

[解析] 对于(1)取 a=1,b=2,c=3? a =1,b =4,c =9,(1)错.
4

2

2

2

对于(2),a=b=c? 2 =2 =2 ,(2)正确; 对于(3),∵a,b,c 成等差数列, ∴a+c=2b. ∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4 =2(kb+2),(3)正确; 1 1 1 对于(4),a=b=c≠0? = = ,(4)正确,综上选 B.

a

b

c

a b c

[点评] 等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即 a1+an =a2+an-1=a3+an-2=…… (2)若{an}、{bn}分别是公差为 d,d′的等差数列,则有 数列 {c+an} {c·an} {pan+qbn} 结论 公差为 d 的等差数列(c 为任一常数) 公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数) 公差为 pd+qd′的等差数列(p,q)为常数

(3){an}的公差为 d,则 d>0?{an}为递增数列;d<0?{an}为递减数列;d=0?{an}为常 数列. 二、填空题 15.若 x≠y,两个数列 x,a1,a2,a3,y 和 x,b1,b2,b3,b4,y 都是等差数列,则 =________. [答案] 5 4

a2-a1 b3-b2

[解析] 设两个等差数列的公差分别为 d1,d2, 由已知,得?
? ?y=x+4d1, ?y=x+5d2, ? ? ?4d1=y-x, 即? ?5d2=y-x, ?

d1 5 a2-a1 d1 5 解得 = ,即 = = . d2 4 b3-b2 d2 4
16.已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为________. [答案] 15 3 [解析] 设△ABC 的三边长为 a-4,a,a+4(a>4), 则

a2+ a- 2- a+ 2a a-

2

1 =- , 2

5

解得 a=10,三边长分别为 6,10,14. 1 3 所以 S△ABC= ×6×10× =15 3. 2 2 三、解答题 17.在△ABC 中,三边 a、b、c 成等差数列, a、 b、 c也成等差数列,求证△ABC 为正三角形. [证明] ∵ a+ c=2 b,平方得 a+c+2 ac=4b,又∵a+c=2b,∴ ac=b,故 ( a- c) =0, ∴a=b=c.故△ABC 为正三角形. 1 21 1 18.设数列{an}是等差数列,bn=( )an 又 b1+b2+b3= ,b1b2b3= ,求通项 an. 2 8 8 1 1 1 1 1 1 [解析] ∵b1b2b3= ,又 bn=( )an,∴( )a1·( )a2·( )a3= . 8 2 2 2 2 8 1 1 ∴( )a1+a2+a3= ,∴a1+a2+a3=3, 2 8 又{an}成等差数列∴a2=1,a1+a3=2, 1 17 ∴b1b3= ,b1+b3= , 4 8
2

b1=2 ? ? ∴? 1 b3= ? 8 ?

1 ? ?b1= 8 或? ? ?b3=2

,即?

? ?a1=-1 ?a3=3 ?

或?

? ?a1=3 ?a3=-1 ?



∴an=2n-3 或 an=-2n+5.

6


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