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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(5)


湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(5)
蕲春三中特级教师命制
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.卷面共 150 分,考试时间 120 分

第Ⅰ卷 (选择题
项是符合题目要求的.

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

1.设 f :x ? x 是集合 A 到集合 B 的映射.若 A ? ? ? 3, 0, 3 ? ,则 A A.{0, 3} 2.函数 B.{0} )
y
1

B ?(



C.{3}

D.{ ?3 ,0}

f ( x) ? 2|log2 x| 的图像大致是(
y
1 1

y
1 x ?1

y
1 x ?1

?1

O
A

O
B

O
C

1 x ?1

O
D

1 x

3.“a = 3”是“直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 6 x ? 4 y ? c ? 0 平行”的( A.充分而不必要 B.必要而不充分 0.10 0.08 0.06 0.04
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)条件

C.充要 D.既不充分也不必要 4.某校为了了解高三学生的身体状况,抽取了 100 名女 生的体重.将所得的数据整理后,画出了如图的频率分 布直方图,则所抽取的女生中体重在 45~50kg 的人数 是( A.10 )

频率 组距

0.02 B.30
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C.50

D.60 40 45 50 55 60

体重 (kg)

5. 若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的 夹 角 (4 题图) A.30° 为 B.60° ( C.150° )

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D.120°

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6. 给出四个函数,则同时具有以下两个性质:①最小正周期是 ? ; ②图象关于点( 对称 的函数是( )
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? ,0) 6

A. B. C. D. 7.从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有一名 女生,则选派方案共有( )种 A. 108 B. 186 C. 216 D. 270
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8.已知球面的三个大圆所在平面两两垂直,则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与 球体积之比是( )

A. 1∶π 9.已知⊙ 点,则 A. 分 ,⊙ 的比为( B.

B. 1∶2π

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C. 2∶π

D. 4∶3π

,两圆的内公切线交于 点,外公切线交于 )

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C.

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D.

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? b1 ? ? ? 10.若 max{ s1 , s2 ,?, sn } 表示实数 s1 , s2 ,?, sn 中的最大者. 设 A ? (a1 , a2 , a3 ) ,B ? ? b2 ? , ?b ? ? 3?
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? 1 ? ? ? 记 A ? B ? max{ a1b1 , a2b2 , a3b3 }. 设 A ? ( x ? 1, x ? 1,1) , B ? ? x ? 2 ? , 若 ? | x ? 1 |? ? ?
A ? B ? x ? 1 ,则 x 的取值范围为(
A. [1 ? 3 ,1] B. [1,1 ? )
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2]

C. [1 ? 2 ,1]

D. [1,1 ?

3]

第 II 卷 (共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分. 11. 在
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展开式所得的 x 的多项式中,系数为有理数的项有__________项.

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?x ? ?sin( ) ( ?1 ? x ? 0) 3 12. 函数 f ( x) ? ? ,则 f (1) ? ________________. ? ( x ? 0) ? f ( x ? 1)

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13. 甲乙两人进行乒乓球比赛 ,比赛规则为:3局2胜,即以先赢2局者为胜 .根据经验,每局 比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率为 。
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?y ? 2 ? 14. x、y 满足约束条件: ?2 x ? y ? 5 ? 0 ,则 z ? x ? y ? 5 的最小值是______________. ?x ? y ? 4 ? 0 ?
1 2
1 3
2 3 1 4

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15. 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若数列 {a n } 的各项按如下规律排列: , , , , ,
2 4 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , ,?, , ,?, ,?有如下运算和结论: 4 5 5 5 5 n n n

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① a23 ?

3 8 ;

② S11 ?

11 ; 6

③数列 a1 , a2

? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10 ,?是等比数列
? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10

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④数列 a1 , a2

T ? ,?的前 n 项和为 n
? 5 7.

n2 ? n 4



⑤若存在正整数 k ,使 S k ? 10 , S k ?1 ? 10 ,则 ak

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在后面横线上填写出所有你认为正确运算结果或结论的序号______________.

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三、解答题:本题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知 a ? (cosx ? sin x, sin x),b ? (cosx ? sin x,2 cos x),设f ( x) ? a ? b. (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? [0,
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?
2

]时,求函数 f ( x) 的最大值及最小值。

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17.(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD ,

P

ABCD 是直角梯形, AD // BC , ?BAD ? 90?, BC ? 2 AD .
(1)求证: AB ⊥ PD ; (2)在线段 PB 上是否存在一点 E ,使 AE //平面 PCD , 若存在,指出点 E 的位置并加以证明;若不存在,请说明理由

C

D
A

B

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18. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 是 首 项 为 a1 ?

1 1 , 公 比 q? 的 等 比 数 列 , 设 4 4 bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) , cn ? anbn ( n ? N * )
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4

(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn.
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19. (本小题满分 13 分)某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表

?1 (1? x ? 20,x ? N * ) ? 明,该企业在经销这个产品期间第 x 个月的利润 f ( x) ? ? 1 (单位:万 * x (21 ? x ? 60, x ? N ) ? ?10
元) ,为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,记第 x 个月的当月 利润率 g ( x) ?

f (3) 第x个月的利润 , 例如: g (3) ? . 81 ? f (1) ? f (2) 第x个月前的资金总和
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(1)求 g (10) ;

(2)求第 x 个月的当月利润率 g ( x) ;

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(3)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.

20 . (本题满分 12 分)
3

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已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 的图象为曲线 C。
2

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(1)若曲线 C 上存在 点 P,使曲线 C 在 P 点处的切线与 x 轴平行,求 a , b 的关系; .. (2)若函数 f ( x)可以在x ? ?1和x ? 3 时取得极值, 求此时 a , b 的值;
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(3)在满足(2)的条件下, f ( x) ? 2c在x ? [?2,6]恒成立, 求c 的取值范围。

21(14 分)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 是椭圆
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y 2 x2 ?x y ? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两点, m ? ? 1 , 1 ? , 2 a b ?b a?

3 ?x y ? n ? ? 2 , 2 ? ,且 m ? n ? 0 , 椭圆离心率 e ? ,短轴长为 2,O 为坐标原点。 2 ?b a ?
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(1)求椭圆方程;

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(2)若存在斜率为 k 的直线 AB 过椭圆的焦点 F ? 0, c ? ( c 为半焦距) ,求 k 的值; (3)试问 ?AOB 的面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由。
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高 三 数 学 模 拟 试 题 答 案 (文)
一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分. 1.A 2.C 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B
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8.A

9.C

10.B

二、填空题:本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分.

3 13. 2 三、解答题:本题共 6 小题,共 75 分.
11.17 12. ?

0.648

14. ?

3 2

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15.②④⑤

16.解: (1)? f ( x) ? a ? b ? (cosx ? sin x) ? (cosx ? sin x) ? sin x ? 2 cos x

? cos2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ???? 2分 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ( ? 2 (sin 2 2 cos 2 x ? sin 2 x) ????3分 2 2

cos 2 x ? cos sin 2 x) ? 2 sin(2 x ? ) ????5分 4 4 4 ? f ( x)的最小正周期 T ? ? . ???? 6分
(2)? 0 ? x ?

?

?

?

?
2

,?

?
4

? 2x ?

?
4

?

?当2 x ?

?
4

?

?
2

, 即x ?

?
8

5? . ????8 分 4

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时, f ( x)有最大值 2 . ????10分
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5? ? 当2 x ? ? , 即x ? 时, f ( x)有最小值 ? 1.????12分 4 4 2
17.证明: (1)∵ PA ⊥平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ AB . ???? 2 分 ∵ AB ⊥ AD , PA ? AD ? A , ∴ AB ⊥平面 PAD ,???? 5 分 ∵ PD ? 平面 PAD , ∴ AB ⊥ PD . ???? 6 分 (2)[法 1]: 取线段 PB 的中点 E , PC 的中点 F ,连结 AE, EF , DF ,
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?

P F E C D A B

则 EF 是△ PBC 中位线.

1 BC , 2 1 ∵ AD // BC , AD ? BC , 2 ∴ AD // EF, AD ? EF .
∴ EF ∥ BC , EF ? ∴ 四边形 EFDA是平行四边形, ???? 8 分 ∴ AE // DF . ∵ AE ? 平面 PCD , DF ? 平面 PCD ,???? 10 分 ∴ AE ∥平面 PCD . ????11 分 ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点. ???? 12 分 BC [法 2]: 取线段 PB 的中点 E , 的中点 F ,连结 AE, EF , AF , 则 EF 是△ PBC 的中位线.

P

E C
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D B

F

A

1 BC , 2 ∵ EF ? 平面 PCD , PC ? 平面 PCD , ∴ EF // 平面 PCD . 1 ∵ AD // BC , AD ? BC , 2 ∴ AD // CF , AD ? CF . ∴ 四边形 DAFC 是平行四边形, ???? 8 分 ∴ AF // CD . ∵ AF ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , ∴ AF ∥平面 PDC . ∵ AF ? EF ? F , ∴平面 AEF // 平面 PCD . ???? 10 分
∴ EF ∥ PC , CF ?
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∵ AE ? 平面 AEF , ∴ AE ∥平面 PCD . ???? 11 分 ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点.???? 12 分 18.解:(1)由题意知, a n ? ( ) ( n ? N *) ,?????2 分

1 n 4 又 bn ? 3log 1 an ? 2 ,
4

故 bn ? 3n ? 2(n ? N *) ?????4 分 (2)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N *)
n

1 4

1 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) ?????6 分 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , ??7 分 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 ? S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ?9 分 4 4 4 4 4 4
两式相减,得

1 1 3 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . ?12 分 2 4 4 4 4 4 4 4 2 3n ? 2 1 n ? Sn ? ? ? ( ) (n ? N *) ?????12 分 3 3 4

19.解:(1)由题意得 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ∴ g (10) ?

? f (9) ? f (10) ? 1
??????????2 分

f (10) 1 ? . 81 ? f (1) ? ? f (9) 90

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(2)当 1 ? x ? 20 时, f (1) ? f (2) ?

? f ( x ?1) ? f ( x) ? 1

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∴ g ( x) ?

f ( x) 81 ? f (1) ? ? f ( x ? 1)

?

1 1 .----------4 分 ? 81 ? x ? 1 x ? 80

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当 21 ? x ? 60 时,

81 ? f (1) ? 1 x 10 ? 81 ? 20 ? f (21) ? ? f ( x ? 1) 1 x 2x 10 ? ? 2 ( x ? 21)( x ? 20) x ? x ? 1600 101 ? 20
∴当第 x 个月的当月利润率为

g ( x) ?

f ( x) ? f (20) ? f (21) ?

? f ( x ? 1)

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1 ? (1 ? x ? 20, x ? N * ) ? ? x ? 80 g ( x) ? ? ????????8 分 2x * ? (21 ? x ? 60, x ? N ) ? x 2 ? x ? 1600 ?
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1 是减函数, x ? 80 1 此时 g ( x) 的最大值为 g (1) ? ---10 分 81 2x 2 2 2 当 21 ? x ? 60 时, g ( x) ? 2 ? ? ? x ? x ? 1600 x ? 1600 ? 1 2 1600 ?1 79 x 1600 2 2 1 ? , 当且仅当 x ? 时,即 x ? 40 时, g ( x ) max ? ,又 x 79 79 81 2 ∴当 x ? 40 时, g ( x ) max ? ??????????????????12 分 79 2 答:该企业经销此产品期间,第 40 个月的当月利润率最大,最大值为 ?13 分 79
(4)当 1 ? x ? 20 时, g ( x) ?
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20. (1) f ?( x) ? 2x 2 ? 2ax ? b, 设切点为 P( x0 , y0 ) ,????1 分
2 则曲线y ? f ( x)在点P的切线的斜率k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 2ax0 ? b 2 由题意知f ?( x0 ) ? 3x 0 ?2ax0 ? b ? 0有解,

1分

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?? ? 4a ? 12b ? 0, 即a ? 3b
2 2

3分

(2)若函数 f ( x)可以在x ? ?1和x ? 3 处取得极值,

则f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b有两个解x ? ?1和x ? 3, 且满足a 2 ? 3b, 易得a ? 3, b ? ?9
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7分

(3)由(2)得 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? c 根据题意,

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c ? x3 ? 3x 2 ? 9 x( x ? [?2, 6])恒成立 且g (6) ? 54, g (?2) ? ?2 11分

8分

函数g ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 9 x( x ? [?2, 6])在x ? ?1时有极大值5(用求导的方法), ?函数g ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 9 x( x ? [?2, 6])的最大值为54, 所以c ? 54. 12分

? c 3 ?e ? ? 21.解(1)由 ? a 2 , 解得 a ? 2, b ? 1. ?b ? 1 ?

? 所求椭圆方程为 y4 ? x
2

2

? 1. ??3分

? y ? kx ? 3 ? (2)设 AB 方程为 y=kx+ 3. 由 ? y 2 ? ? k2 ? 4 ? x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 2 ? ? x ?1 ?4
x1 ? x2 ?
?1 ?2 3k , x1 ? x2 ? 2 . 2 k ?4 k ?4
????????????????????5 分

由已知: 0 ? m n ?

x1 x2 y1 y2 1 ? 2 ? x1 x2 ? kx1 ? 3 kx2 ? 3 2 4 b a

?

??

?

=

k2 ? 4 ? 1 ? 3 ?2 3k 3 ??? 2 k? 2 ? . ?? 4 k ?4 4 ? k ? 4? 4
????????????????????8分

解得 k ? ? 2.

(3)当 A 为顶点时,B 必为顶点,则 S?AOB ? 1 ,当 A,B 不为顶点时,设 AB 方程为 y=kx+m.



? y ? kx ? m ? 2 ?y 2 ? ? x ?1 ?4

?

?k

2

? 4 ? x 2 ? 2kmx ? m 2 ? 4 ? 0



x1 ? x2 ?

?2mk m2 ? 4 , x ? x ? . 1 2 k2 ? 4 k2 ? 4

又 m n ? 0 ,即 x1 x2 ?

1 ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? 0 ,知 2m2 ? k 2 ? 4 , 4

?????11 分

S?AOB

1 1 ? m ? x1 ? x2 = m ? 2 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 =

m ? 4k 2 ? 4m2 ? 16 k2 ? 4

=

4m 2 =1 2m

? 三角形的面积为定值 1.

???????????????????14 分



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