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案例3进位制


一、进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定 的计数系统.
比如:
满二进一,就是二进制;

满十进一,就是十进制;
满十二进一,就是十二进制; 满六十进一,就是六十进制.

基数: 可使用数字符号的个数称为基数. 基数都是大于1的整数. “满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.

十进制:
我们最常用最熟悉的就是十进制数,它的数值 部分是十个不同的数字符号0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9来表示的。
实际上,十进制数只是计数法中的一种,但它不是唯一 记数法。除了十进制数,生产生活中还会遇到非十进制的 记数制。
二进制、七进制、八进制、十二进制、六十进制……
如:60秒为1分,60分为1小时,它是六十进制的

两根筷子为一双,两只手套为一副,它们是二进制的
二进制只有0和1两个数字,七进制用0~6七个数字 八进制用0~7八个数字

为了区分不同的进位制,常在数的右下角标明基数
如111001(2) 表示二进制数, 34(5) 表示五进制数. 十进制数一般不标注基数. 十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表 示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:

3721=3×103+7×102+2×101+1×100.
想一想:二进制数1011(2)可以类似的写成什么形式 ?

1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.

同理 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.

一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为 基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起 的形式

anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)
意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.

anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1 个n+1位数. +…+a1×k1+a0×k0 .

k进制的数也可以表示成不同位上数字与基 数k的幂的乘积之和的形式,即 注意这是一

练习1:下列写法正确的是: (A ) A、751 (8 ) C、095 (12) B、751 (7 ) D、901 (2)

注意书写及读法

二、不同进位制之间的互化
(1)k进制数化为十进制数:
例1. 把二进制数110011(2)化为十进制数.
解: 5 4 3 2 1 0 110011 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 (2)

? 32 ? 16 ? 0 ? 0 ? 2 ? 1
=51

上述方法可以推广为把k进制数化为十进 制数的算法

练习2:将下列各进制数化为十进制数. (1)123(4); (2)1034(5).
解:

123(4)=1×42+2×41+3×40=27.
1034(5)=1×53+0×52+3×51+4×50=144. 总结k进制数转化为十进制数的方法:
先把k进制数写成不同数位上的数字与基数 的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的 运算法则计算出结果

变式训练1:

k进制的数132(k)与十进制30相等,那 么k的值为 4
【解析】将k进制数化为十进制数为: 1×k2+3×k1+2×k0=30 即k2+3k-28=0, ∴k=4或k=-7(舍去)

(2)十进制数化为k进制数:
例2:把89化为二进制的数.
我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:

注意: 1.最后一步商为0,

2 89 2 44 2 22 2 11 2 5 2 2 21 0

余数 1 0 0 1 1 0 1

把算式中各步所得的余数 从下到上排列,得到

89=1011001(2)
这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 算法,称为除k取余法.

2.各步所得的余数从下到上排列

比如:把89化为五进制的数.
解:以5作为除数,相应的除法算式为:
5 89 5 17 5 3 0

余数 4 2 3

∴ 89=324(5). 总结十进制数转化为k进制数的方法: 用K进制数的基数k去除十进制数,再用k去除 所得的商,反复进行,直到商为0,把每次相 除所得的余数取出即可,即为除k取余法

练习3.将十进制数458分别转化为四进 制数和六进制数.
解:以4、6分别作为除数,相应的除法算式为:
4 4 4 4

458
114 28 7 4 1 0

余数 2 2 0 3

6
6 6 6

458 76 12 2 0

余数 2 4 0 2

1

∴ 458=13022(4)=2042(6)

(3)两个非十进制数之间的转化:
若是将k1进制数转化为k2进制数,则先将k1进制数 转化为十进制数,再将所得十进制数为k2进制数
例3:将八进制数53(8)转化为二进制的数.

解:53
2 2 2 2

1+3×80=43 =5 × 8 (8) (10).

43 21 10 5

余数 1

1
0 1

∴ 53(8)=101011(2)
要通过十进制数 进行中转

2 2 2 1

0
1

0

一、进位制

小结
, a1, a0 ? k ).
a1a0( k )

an an?1

a1a0( k ) (0 ? an ? k ,0 ? an?1,

二、各进制数之间的转化
1、k进制数化成十进制数公式

an an ?1

? an ? k n ? an ?1 ? k n ?1 ?
2、十进制数化成k进制数

? a1 ? k 1 ? a0 ? k 0 (10)

除k取余法

作业
P45练习:3 P48习题1.3A组:3


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