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2013高考数学(理)一轮复习教案:第四篇 三角函数、解三角形第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式


第 2 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 【2013 年高考会这样考】 1.考查同角三角函数的基本关系式. 2.考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用. 【复习指导】 本讲复习时应紧扣三角函数的定义,理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式;特别是对诱导公式 的记忆口诀要理解透彻,可通过适量训练加强理解,掌握其规律.

基础梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1; sin α (2)商数关系: =tan α. cos α 2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α,其中 k∈Z. 公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α, tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α. 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α. π π 公式五:sin?2-α?=cos_α,cos?2-α?=sin α. ? ? ? ? π π 公式六:sin?2+α?=cos_α,cos?2+α?=-sin_α. ? ? ? ? π 诱导公式可概括为 k·± 的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、 α 2 π 偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函 2 数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指把 α 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.

一个口诀 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 三种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α= 化成正、余弦. cos α (2)和积转换法:利用(sin θ± θ)2=1± cos 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =?. 4

三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱周 -化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)已知 sin(π+α)= ,则 cos α 的值为( ). 2 1 A.± 2 C. 3 2 1 B. 2 D.± 3 2

1 解析 ∵sin(π+α)=-sin α= , 2 1 3 ∴sin α=- .∴cos α=± 1-sin2α=± . 2 2 答案 D 2.(2012· 杭州调研)点 A(sin 2 011° ,cos 2 011° )在直角坐标平面上位于( ). A.第一象限 C.第三象限 解析 2 011° =360° ×5+(180° +31° ), ∴sin 2 011° =sin[360° ×5+(180° +31° )]=-sin 31° <0, cos 2 011° =cos[360° ×5+(180° +31° )]=-cos 31° <0, ∴点 A 位于第三象限. 答案 C 4 3.已知 cos α= ,α∈(0,π),则 tan α 的值等于( ). 5 4 A. 3 3 4 3 B. C.± D.± 4 3 4 B.第二象限 D.第四象限

3 sin α 3 解析 ∵α∈(0,π),∴sin α= 1-cos2α= ,∴tan α= = . 5 cos α 4 答案 B 17π 17π 4.cos?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是( ). ? ? ? ? A. 2 B.- 2 C.0 D. 2 2

17π π 17π π 17π π 2 17π π 2 解析 cos?- 4 ?=cos =cos?4π+4?=cos = ,sin?- 4 ?=-sin =-sin?4π+4?=-sin =- . ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 4 2

17π 17π 2 2 ∴cos?- 4 ?-sin?- 4 ?= + = 2. ? ? ? ? 2 2 答案 A 1 5.已知 α 是第二象限角,tan α=- ,则 cos α=________. 2 解析 由题意知 cos α<0,又 sin2α+cos2α=1,tan α= 2 5 答案 - 5 sin α 1 2 5 =- .∴cos α=- . cos α 2 5

考向一 利用诱导公式化简、求值 sin?π-α?cos?2π-α? 31π 【例 1】?已知 f(α)= ,求 f? 3 ?. ? ? π sin?2+α?tan?π+α? ? ? [审题视点] 先化简 f(α),再代入求解. sin αcos α 解 f(α)= =cos α, cos αtan α 31π π 31 π 1 ∴f? 3 ?=cos π=cos?10π+3?=cos = . ? ? ? ? 3 3 2 (1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能 简单,能求值的要求出值. (2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了. π cos?2+α?sin?-π-α? ? ?

【训练 1】 已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 的值为________. 11π 9π cos? 2 -α?sin? 2 +α? ? ? ? ? ?-sin α?sin α y 3 解析 原式= =tan α,根据三角函数的定义,得 tan α= =- . x 4 ?-sin α?cos α 3 答案 - 4 考向二 同角三角函数关系的应用 【例 2】?(2011· 长沙调研)已知 tan α=2. 2sin α-3cos α 求:(1) ; 4sin α-9cos α (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α. [审题视点] (1)同除 cos α; (2)利用 1=sin2α+cos2α,把整式变为分式,再同除 cos2α. 2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 解 (1) = = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9

(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α= =

4sin2α-3sin αcos α-5cos2α sin2α+cos2α

4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 = =1. tan2α+1 4+1 (1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式

的值可求.转化的公式为(sin α± α)2=1± cos 2sin αcos α;(2)关于 sin α,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. sin α+3cos α 【训练 2】 已知 =5.则 sin2α-sin αcos α=________. 3cos α-sin α tan α+3 解析 依题意得: =5,∴tan α=2. 3-tan α sin2α-sin αcos α ∴sin2α-sin αcos α= sin2α+cos2α = tan2α-tan α 22-2 2 = 2 = . tan2α+1 2 +1 5 2 5 考向三 三角形中的诱导公式 【例 3】?在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角. [审题视点] 要求三角形的内角,需求得某一内角的某一三角函数值,故结合条件 sin A+cos A= 2知先求 角 A,进而求其他角. 解 由已知可得 π 2sin?A+4?= 2, ? ?

答案

π 因为 0<A<π,所以 A= . 4 π 3 π π π 由已知可得 3cos A= 2cos B,把 A= 代入可得 cos B= ,又 0<B<π,从而 B= ,所以 C=π- - = 4 2 6 4 6 7π . 12 在△ABC 中常用到以下结论:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C, A B A B C C sin? 2 + 2 ?=cos ,cos? 2 + 2 ?=sin . ? ? ? ? 2 2 【训练 3】 若将例 3 的已知条件“sin A+cos A= 2”改为“sin(2π-A)=- 2sin(π-B)”其余条件不变, 求△ABC 的三个内角. 解 由条件得:-sin A=- 2sin B,即 sin A= 2sin B,

3cos A= 2cos B,平方相加得: 2 sin2 A+3cos2 A=2?2cos2 A=1,cos A=± . 2

若 cos A=- = 7π . 12

2 3 2 3 π π ,则 cos B=- ,A,B 均为钝角不可能.故 cos A= ,cos B= ,故 A= ,B= ,C 2 2 2 2 4 6

阅卷报告 3——忽视题设的隐含条件致误 【问题诊断】 涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时,应深挖隐含条件,处理好开方、平方 关系,避免出现增解与漏解的错误., 【防范措施】 一要考虑题设中的角的范围;二要考虑题设中的隐含条件 【示例】?若 sin θ,cos θ 是关于 x 的方程 5x2-x+a=0(a 是常数)的两根,θ∈(0,π),求 cos 2θ 的值. 7 错因 忽视隐含条件,产生了增解 . 25 1 实录 由题意知,sin θ+cos θ= , 5 1 24 7 ∴(sin θ+cos θ)2= ,∴sin 2θ=- ,∵θ∈(0,π),∴2θ∈(0,2π),∴cos 2θ=± 1-2sin2 2θ=± . 25 25 25 1 正解 由题意知,sin θ+cos θ= . 5 1 ∴(sin θ+cos θ)2= . 25 24 ∴sin 2θ=- . 25 24 即 2sin θcos θ=- <0, 25

则 sin θ 与 cos θ 异号, 1 又 sin θ+cos θ= >0, 5 π 3π 3π ∴ <θ< ,∴π<2θ< . 2 4 2 7 故 cos 2θ=- 1-sin22θ=- . 25 7 【试一试】 已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),求 tan θ. 13 [尝试解答] ∵sin θ+cos θ= 7 ,θ∈(0,π). 13

49 ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ= . 169 60 ∴sin θcos θ=- . 169 7 60 12 5 由根与系数的关系知 sin θ,cos θ 是方程 x2- x- =0 的两根,∴x1= ,x2=- , 13 169 13 13

60 又 sin θcos θ=- <0,∴sin θ>0,cos θ<0, 169 12 5 ∴sin θ= ,cos θ=- . 13 13 sin θ 12 ∴tan θ= =- . cos θ 5


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