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高二数学(理科)第一学期期末考试题(含答案)


2012~2013 学年度第一学期 高二数学(理科)期末考试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.在△ABC 中,若 C ? 900 , a ? 6, B ? 300 ,则 c ? b 等于( A. 1 B. ? 1 C. 2 3 D. ? 2 3 ) )

2.在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( A. 锐角三角形 C. 直角三角形 B.钝角三角形 D.等腰三角形 (

3.已知等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn , 若 S4=1,S8=4,则 a13+a14+a15+a16= A.7 B.16 C.27 D.64

)

4.已知等差数列 {an } 的公差为 3,若 a1 , a3 , a 4 成等比数列,则 a 2 等于 A.9 5.数列 1,x,x ,?,x
n A. x ? 1

B.3
2 n?1

C.-3 )

D.-9

,?的前 n 项之和是 ( C. x
?1 x ?1
n?2

6.数列 ?an ? 是等差数列, ?bn ?是正项等比数列,且 a5 ? b 6 ,则有(

x ?1

B. x

?1 x ?1
n ?1

D.以上均不正确 )

? a7 ? b4 ? b8 C. a3 ? a7 ? b4 ? b8
A. a3
2

B. a3 ? a7 ? b4 ? b8 D. a3 ? a7与b4 ? b8 大小不确定

7.一元二次不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ? A. 10 B. ?10 C. 14

1 1 , ) ,则 a ? b 的值是( 2 3

)。

D. ?14 )

8.设集合 A ? ? x |

? ?

1 1? ? ? ? 2?, B ? ? x | x ? ?, 则A ? B等于 ( x 3? ? ?
B. ? , ? ??

A. ? , ?

?1 1? ?3 2?

?1 ?2

? ?

1? ?1 ? ? ? ??? , ? ?? C. ? ? ?, 3? ? 3 ? ?
2

1? ? 1 ? ? ? ??? , ? ?? D. ? ? ?, 3? ? 2 ? ?


9.一动圆圆心在抛物线 x ? 4 y 上,过点(0 , 1)且与定直线 l 相切,则 l 的方程为( A. x ? 1 B. x ?

1 16

C. y ? ?1

D. y ? ?

1 16

1

10.已知点 A(3,4), F 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小 时,M 点坐标是( A. (0, 0) 11.“ m ? ) C. ( 2, 4) D. (3, ? 2 6 )

B. (3, 2 6 )

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的( 2
B、必要不充分条件
0



A、充分不必要条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要

12、如图,面 ACD 与面 BCD 的二面角为 60 ,AC=AD,点 A 在面 BCD 的投影 E 是△BCD 的垂心,CD=4,求三棱锥 A-BCD 的体积为( A. 2 3 C. 3 3 B. ) A

8 3 3

B E D

D. 缺条件

C 二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 13.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________. 14.设 x, y ? R 且
?

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为________. x y

2 2 ? ? x ? 2x ? 3 ? x ? 2x ? 3 15.不等式组 ? 的解集为__________________。 2 x ? x ? 2 ? 0 ? ? 16.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,有以下命题

3 3 14 ②若 A1 在底面 ABC 内的投影为线段 BC 的中点,则 AB1 与面 ABC 所成角的正弦值为 14 ③若 A1 到 △ ABC 三个顶点的距离相等,则 A1 在底面 ABC 的投影是 △ ABC 的外心 ④若 A1 到 △ ABC 三边所在直线的距离相等,则 A1 在面 ABC 的投影一定只能是 △ ABC 的
①若 A1 在底面 ABC 内的投影为 △ ABC 的中心,则 AB1 与面 ABC 所成角的正弦值为 内心 以上正确命题的序号为

2

三、解答题(17 题 10 分,18 至 22 题每题 12 分,共 70 分)
3( x ?1) ? ? ? ? ? ? ?1? x 2 ? 2 x ?3 2 ?? ? 17.已知集合 A ? ? x | 2 ? , B ? ? x | log 1 (9 ? x ) ? log 1 (6 ? 2 x) ? , ?2? ? ? 3 3 ? ? ? ?

又A

B ? ? x | x 2 ? ax ? b ? 0? ,求 a ? b 等于多少?

18.在 ?ABC 中,设 a ? 3 ? 1, tan B ? 2a ? c ,求三角形的三内角。 c tan C c

? 19.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1 n ? N

?

?

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?14b3 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ,证明: {bn } 是等差数列;

20、已知斜三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 , ?BCA ? 90 , AC ? BC ? 2 , A 1 在底面 ABC 上的投 影恰为 AC 的中点 D ,又知 BA1 ? AC1 。 (I)求证: AC1 ? 平面 A 1BC ; (II)求 AC1 与面 BCC1B1 所成角的正弦值? (III)求二面角 A ? A1B ? C1 的余弦值?

B

3

21.已知点 F 为抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点,点 P 是准线 l 上的动点, 直线 PF 交抛物线 C 于 A, B 两点,若点 P 的纵坐标为 m (m ? 0) , 点 D 为准线 l 与 x 轴的交点. (Ⅰ)求直线 PF 的方程; (Ⅱ)求 ?DAB 的面积 S 范围; (Ⅲ)设 AF ? ? FB , AP ? ? PB ,求证 ? ? ? 为定值.
P

y

A D O F x

l

B

22.已知离心率为

4 的椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短 5

轴为虚轴,且焦距为 2 34 。 (I)求椭圆及双曲线的方程; (Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为 A、 B ,在第二象限内取双曲线上一点 P ,连结 BP 交椭圆于点 M ,连结 PA 并延长交椭圆于点 N ,若 BM ?MP 。求四边形 ANBM 的面积。

高二数学(理科)第一学期期末考试题答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) C BCDD, A DB CC, AB 二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 120
0

14. x ? y ? ( x ? y )( ?

1 x

9 9x y ) ? 10 ? ? ? 10 ? 2 9 ? 16 y y x

4

15. (1,3)

2 ? ?x? 3 ??1 ? x ? 3 ?? 1 ? x ? 2 x ? 3? 0 ? ? ?? ?? , 1? x ? 3 ? 2 ( x ? 2 )x (? 1 ?) 0 ? x? ?1 0 x ? x ? 2 ? 0 ? ? ? ? ?

16.②③④ 三、解答题(17 题 10 分,18 至 22 题每题 12 分,共 70 分) 17.解: 2
x 2 ? 2 x ?3

?1? ?? ? ? 2?

3( x ?1)

? 23?3 x , x2 ? x ? 6 ? 0, ?3 ? x ? 2, A ? ? ?3, 2 ?

?9 ? x 2 ? 0 ? , ?1 ? x ? 3, B ? (?1,3) , A B ? (?1, 2) ?6 ? 2 x ? 0 ?9 ? x 2 ? 6 ? 2 x ?
方程 x ? ax ? b ? 0 的两个根为 ?1和 2 ,则 a ? ?1, b ? ?2
2

? a ? b ? ?3
18.解:由同角三角函数的关系及正弦定理:
sin B cos C 2 sin A ? sin C ? ? sin B cos C ? cos B sin C ? 2 sin A cos B cos B sin C sin C

? sin( B ? C ) ? 2 sin A cos B ? cos B ?

1 ? ?B? , 2 3

又 a ? ( 3 ? 1)c 且 A ? C ? 2? ,由正弦定理得: 3

2? 2 ? A) ? sin A ? 3 2 ? ? 5? ? 5? 所以得 A ? , B ? , C ? ? A ? ,C ? 4 3 12 4 12 ? sin A ? ( 3 ? 1) sin C ? sin A ? ( 3 ? 1) sin(
19.解: (Ⅰ)? an?1 ? 2an ? 1 ,? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 故数列 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。

? a n ? 1 ? 2 n , an ? 2 n ? 1
(Ⅱ)? 4b1 ?14b2 ?14b3 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ,? 4
( b1 ? b2 ??? bn ? n )

? 2 nbn

2(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2n ? nbn ① 2(b1 ? b2 ? ? ? bn ?b n?1 ) ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ② ②—①得 2bn?1 ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,即 nbn ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ③ ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? nbn?2 ④ ④—③得 2nbn?1 ? nbn ? nbn?1 ,即 2bn?1 ? bn ? bn?1 所以数列 {bn } 是等差数列
20.解(1)∵ BA1 ? AC1 , BC ? AC ,由三垂线定理 可得 AC ? AC1 , BC ? AC1 。又∵ AC 1 1 与BC交于点C ∴ AC1 ? 面 A 1BC
5

(2)过点 D 做 BC 的平行线交 AB 于点 E , 以点 D 为坐标原点, DE 、 DC 、 DA 1 分别为

x, y , z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0, ?1, 0) 、 B(2,1, 0) 、 C (0, 1, 0) 、

C1 (0,2, 3) A1 (0,0, 3) .则 AC1 ? (0,3, 3)
设面 BCC1B1 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则 BC ? n ? 0, CC1 ? n ? 0 ,取得 ∴ cos < n, AC1 > ?

n ? (0, 3,1)

n ? AC1 n AC1

?
1 2

1 ,∴ AC1 与法向量所成角为 60°,则 AC1 与面 BCC1B1 所 2

成角的正弦值为 sin? =

(3)设面 AA1 B 与面 A1BC1 的法向量分别为 n1 ? ( x1, y1, z1 ), n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) . 又∵ A 1B ? (2,1, ? 3) , A 1B ? (2,1, ? 3) ,则由 n 1 ? A 1B,知n 1 ? AB ? 0;

3 2 3 ) .同理 n2 ? (1, 0, ) 3 3 n ?n 5 则二面角 A ? A1B ? C1 的余弦值为 cos < n1 , n2 > ? 1 2 ? n1 n2 7
由 n1 ? BC,知n1 ? AB ? 0.取n1 ? (1, ?1, 21.解: (Ⅰ)由题知点 P, F 的坐标分别为 (?1, m) , (1, 0) ,于是直线 PF 的斜率为 ? 所以直线 PF 的方程为 y ? ?

m , 2

m ( x ? 1) ,即为 mx ? 2 y ? m ? 0 . 2

(Ⅱ)设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,

? y 2 ? 4 x, 2m2 ? 16 ? 2 2 2 2 由? 得 m x ? (2m ? 16) x ? m ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 . m m2 ? y ? ? ( x ? 1), ? 2
于是 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ?

4m2 ? 16 2| m| .点 D 到直线 mx ? 2 y ? m ? 0 的距离 d ? , 2 m m2 ? 4

所以 S ?

1 1 4(m2 ? 4) 2 | m | 4 | AB | d ? ? 4 1? 2 . 2 2 2 m m m2 ? 4

因为 m ? R 且 m ? 0 ,于是 S ? 4 ,所以 ?DAB 的面积 S 范围是 (4, ??) . (Ⅲ)由(Ⅱ)及 AF ? ? FB , AP ? ? PB ,得

(1 ? x1, ? y1 ) ? ? ( x2 ?1, y2 ) , (?1 ? x1, m ? y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 ? m) ,

6

于是 ? ?

1 ? x1 ?1 ? x1 ,? ? ( x2 ? ?1).所以 x2 ? 1 x2 ? 1

??? ?

1 ? x1 ?1 ? x1 2 ? 2 x1 x2 ? ? ?0. x2 ? 1 x2 ? 1 ( x2 ?1)( x2 ?1)

所以 ? ? ? 为定值 0 .

22.解: (I)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

则根据题意,双曲线的方程为

? a 2 ? b2 4 ? , ? x2 y 2 a 5 ? 2 ? 1 且满足 ? 2 a b ? 2 2 ?a 2 ? b ? 2 34,

2 ? ? a ? 25 解方程组得 ? 2 ? ?b ? 9

? 椭圆的方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线的方程 ? ?1 25 9 25 9

| 10, (Ⅱ)由(I)得 A(?5, 0), B (5, 0),| AB ? 设 M ( xo , yo ), 则由 BM ? MP 得 M 为 BP 的
中点,所以 P 点坐标为 (2 xo ? 5, 2 yo ) ,
2 2 ? xo yo ? ? 1, ? ? 25 9 将 M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程,得 ? 2 2 ? (2 xo ? 5) ? 4 y0 ? 1 ? 25 9 ?

消去 yo ,得 2 xo ? 5xo ? 25 ? 0
2

解之得 xo ? ?

5 或 xo ? 5 (舍) 2

所以 yo ?

3 3 5 3 3 ,由此可得 M (? , ), 2 2 2

所以 P(?10,3 3).

当 P 为 (?10,3 3) 时,直线 PA 的方程是 y ?

3 3 ( x ? 5) ?10 ? 5

即: y ? ?

5 x2 y 2 3 3 ? 1 ,得 2 x 2 ? 15 x ? 25 ? 0 所以 x ? ? 或-5(舍) ( x ? 5) ,代入 ? 2 25 9 5

所以 xN ? ?

5 , xN ? xM , MN ? x 轴。 所以 S AMBN ? 2S?AMB ? 2 ?10 ? 3 3 ? 1 ? 15 3 2 2 2

7


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