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2016高考数学理科二轮复习习题:专题2第二讲 三角变换与解三角形


专题二

三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第二讲 三角变换与解三角形

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2tan α sin 2α =2sin_α cos_α ,tan 2α = , 1-tan2α cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α . 它的双向应用分别起到了缩角升幂和扩角降幂的作用.

三角恒等式的证明方法有: 1.从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简. 2.等式的两边同时变形为同一个式子. 3.将式子变形后再证明.

1

1.正弦定理及其变形. a b c = = =2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C (1)a=2Rsin_A,b=2Rsin B,c=2Rsin_C; (2)sin A= a b c ,sin_B= ,sin C= ; 2R 2R 2R

(3)asin B=bsin_A,bsin C=csin B,asin C=csin_A; (4)abc=sin_Asin_Bsin_C. 2.余弦定理及其变形. b2+c2-a2 (1)a =b +c -2bccos_A,cos A= ; 2bc
2 2 2

c2+a2-b2 (2)b =c +a -2cacos B,cos B= ; 2ca
2 2 2

a2+b2-c2 (3)c =a +b -2abcos_C,cos C= . 2ab
2 2 2

3.△ABC 的面积公式. 1 (1)S= a·ha(ha 表示 a 边上的高); 2 1 1 1 abc (2)S= absin_C= acsin_B= bcsin_A= (R 为△ABC 外接圆 2 2 2 4R 半径); 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径). 2

2

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.(×) (2)设 α∈(π ,2π ),则 1-cos(π +α) α =sin .(×) 2 2

(3)在△ABC 中,tan A=a2,tan B=b2,那么△ABC 是等腰三角 形.(×) (4)当 b2+c2-a2>0 时,三角形 ABC 为锐角三角形;当 b2+c2- a2=0 时,三角形为直角三角形;当 b2+c2-a2<0 时,三角形为钝角 三角形.(×) (5)在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积 等于 3 .(×) 2

3 1.已知 α 为第二象限角,sin α = ,则 sin 2α =(A) 5 A.- 24 25 B.- 12 25 12 C. 25 24 D. 25

2.(2014· 新课标Ⅱ卷) 函数 f(x)=sin(x+φ)-2sin φ cos x 的最 大值为 1. 解析:由已知得,f(x)=sin xcos φ+cos xsin φ-2cos xsin φ =sin xcos φ-cos xsin φ=sin(x-φ)≤1,故函数 f(x)=sin(x+φ) -2sin φcos x 的最大值为 1. sin 2A 3.(2015· 北京卷)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 =1. sin C
3

解析:由正弦定理得

sin A a = , sin C c

b2+c2-a2 由余弦定理得 cos A= , 2bc ∵ a=4,b=5,c=6,
2 2 2 sin 2A 2sin Acos A sin A 4 5 +6 -4 ∴ = =2· · cos A=2× × =1. sin C sin C sin C 6 2×5×6

4.(2015· 新课标Ⅰ卷)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C =75°,BC=2,则 AB 的取值范围是( 6- 2, 6+ 2).

解析: 如图所示, 延长 BA 与 CD 相交于点 E, 过点 C 作 CF∥AD 交 AB 于点 F,则 BF<AB<BE. 在等腰三角形 CFB 中,∠FCB=30°, CF=BC=2, ∴ BF= 22+22-2×2×2cos 30°= 6- 2. 在等腰三角形 ECB 中,∠CEB=30°,∠ECB=75°, BE=CE,BC=2, 2 BE = , sin 75° sin 30°

6+ 2 2 ∴ BE= × = 6+ 2. 1 4 2 ∴ 6- 2<AB< 6+ 2.

4

一、选择题
?2sin x 1 ? ?a b? ?=ad-bc,则函数 f(x)=? ?的图象 1.定义运算? ?c d ? ?-2 cos x?

的一条对称轴是(B) π A. 2 B. π 4 C.π D.0

2. 在△ABC 中, 若 sin2A+sin2B<sin2C, 则△ABC 的形状是(A) A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.不能确定

解析:先由正弦定理将角关系化为边的关系得:a2+b2<c2,再 由余弦定理可求得角 C 的余弦值为负,所以角 C 为钝角.故选 A. 3.(2013· 浙江卷)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω >0,φ π ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ= ”的(B) 2 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 π π , 再判断由 φ= 能 2 2

解析: 先判断由 f(x)是奇函数能否推出 φ= 否推出 f(x)是奇函数.

若 f(x)是奇函数,则 f(0)=0,所以 cos φ=0,所以 φ= π(k∈Z),故 φ= π 不成立; 2

π +k 2

5

若 φ=

? π π? , 则 f(x)=Acos?ωx+ ?=-Asin(ωx), f(x)是奇函数. 所 2 2? ?

以 f(x)是奇函数是 φ=

π 的必要不充分条件. 2

2 4.若△ABC 的内角 A 满足 sin 2A= ,则 sin A+cos A 等于(A) 3 A. 5 C. 3 15 3 B.- 5 3

5 D.- 3

2 2 解析: ∵sin 2A= , ∴2sin Acos A= , 即 sin A、 cos A 同号. ∴A 3 3 为 锐 角 , ∴ sin A + cos A = (sin A+cos A)2 = 1+sin 2A = 2 1+ = 3 5. 若 5 15 = . 3 3

sin α +cos α 1 = ,则 tan 2α =(B) sin α -cos α 2 3 4 4 3 3 B. 4 4 D. 3 sin α+cos α 1 = ,左边分子分母同除以 sin α-cos α 2

A.- C.-

解析:先由条件等式 cos α ,得

tan α+1 1 = ,解得 tan α =- 3 ,又由于 tan 2 α = tan α-1 2

2tan α 3 = .故选 B. 2 1-tan α 4 6.C 是曲线 y= 1-x2(x≤0)上一点,CD 垂直于 y 轴,D 是垂 足,点 A 坐标是(-1,0).设∠CAO=θ(其中 O 表示原点),将 AC+ CD 表示成关于 θ 的函数 f(θ),则 f(θ)=(A)
6

A.2cos θ -cos 2θ

B.cos θ +sin θ

C.2cos θ (1+cos θ ) D.2sin θ +cos θ - 2 解析:依题意,画出图形.△CAO 是等腰三角形,

∴∠DCO=∠COA=π-2θ. 在 Rt△COD 中, CD=CO· cos∠DCO=cos(π-2θ)=-cos 2θ, 过 O 作 OH⊥AC 于点 H,则 CA=2AH=2OAcos θ=2cos θ. ∴f(θ)=AC+CD=2cos θ-cos 2θ.故选 A. 二、填空题 7.(2015· 广东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, π 1 c.若 a= 3,sin B= ,C= ,则 b=1. 2 6 π 1 5 解析: 在△ABC 中, ∵ sin B= , 0<B<π, ∴ B= 或 B= π. 2 6 6 又∵ B+C<π, C= π π π π 2 a , ∴ B= , ∴ A=π- - = π.∵ 6 6 6 6 3 sin A

asin B b = ,∴ b= =1. sin B sin A π 8.若函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x,0≤x≤ ,则 f(x)的最大值 2 为 2.
7

解 析 : 因 为 f(x) = (1 + 3 tan x)cos x = cos x + 3 sin x = 2cos?x-
? ?

π? ?, 3? π 时,函数取得最大值为 2. 3

当 x=

三、解答题 π α 1 2 9.已知 0<α< <β <π ,tan = ,cos (β-α)= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值. 解析:(1)∵tan
? ?

α 1
2

= , 2

∴sin α=sin ?2· 2sin

α?

?=2sin cos 2 2 2?

α

α

1 2 2 2 2 4 = = = = . α α α ?1?2 5 ? ? sin2 +cos2 1+tan2 1 + 2 2 2 ?2? cos 2tan 2× (2)∵0<α< 又 0<α< π 4 3 ,sin α= ,∴cos α= . 2 5 5

α

α

α

π <β<π,∴0<β-α<π. 2 2 7 2 ,得 sin(β-α)= . 10 10

由 cos(β-α)=

∴sin β=sin[(β-α)+α] =sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α = 由 7 2 3 2 4 25 2 2 × + × = = . 10 5 10 5 50 2

π 3 ? 2 3 ? <β<π得 β= π.?或求cos β=- ,得β= π? 2 4 ? 2 4 ?
8

π 10.(2015· 安徽卷)在 ΔABC 中,A= ,AB=6,AC=3 2,点 4 D 在 BC 边上,AD=BD,求 AD 的长. 解析:设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bc cos∠BAC=(3 2)2+62-2×3 2 3π ×6×cos =18+36-(-36)=90, 4 所以 a=3 10. 又由正弦定理得 sin B= bsin∠BAC 3 10 = = , a 3 10 10

π 由题设知 0<B< ,所以 4 cos B= 1-sin2B= 1 3 10 1- = . 10 10

在△ABD 中,由正弦定理得 AD= AB·sin B 6sin B 3 = = = 10. sin(π-2B) 2sin Bcos B cos B

11. (2014· 江西卷 )已知函数 f(x)= (a+ 2cos2x)cos(2x+ θ)为奇函
?π ? 数,且 f? ?=0,其中 a∈R,θ ∈(0,π ). ?4?

(1)求 a,θ 的值;
?α ? ?π ? ? π? 2 (2)若 f? ?=- ,α ∈? ,π ?,求 sin?α+ ?的值. 5 3? ?4? ?2 ? ?

解析:(1)因为函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即(a+2cos2x)· cos(-2x+θ)=-(a+2cos2x)cos(2x+ θ),因为 x∈R,所以 cos (-2x+θ)=-cos(2x+θ), cos 2xcos θ=0, cos θ=0.又 θ∈(0, π),所以 θ= π .因为 2
?π? ? π? ?π π? f? ?=0,所以?a+2cos2 ?cos? + ?=0,a 4? ?2 2? ?4? ?
9

π =-1.因此 a=-1,θ= . 2 (2)由(1)得: f(x)=(-1+2cos2x)cos?2x+
? ?

π? 1 ?=cos 2x(-sin 2x)=- sin 4x, 所 2 2?

?α? ?π ? 2 1 2 4 以由 f? ?=- ,得- sin α=- ,sin α= ,又 α∈? ,π?, 5 2 5 5 ?4? ?2 ? ? π π π? 3 所以 cos α=- , 因此 sin?α+ ?=sin αcos +sin cos α= 5 3 3 3? ?

4-3 3 . 10

10


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