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2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:第二章 2.2 等差数列


等差数列
第一课时 等差数列的概念及通项公式

预习课本 P36~38,思考并完成以下问题 (1)等差数列的定义是什么?如何判断一个数列是否为等差数列?

(2)等差数列的通项公式是什么?

(3)等差中项的定义是什么?

[新知初探] 1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示. [点睛] (1)“从第 2 项起”是指第 1 项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的 差”相吻合. (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”, 强调了: ①作差的顺序;②这两项必须相邻. (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数 列不能称为等差数列. 2.等差中项 如果三个数 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.这三个数满足的关 系式是 A= a+b . 2

3.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 递推公式 an-an-1=d(n≥2) 通项公式 an=a1+(n-1)d(n∈N*)

[点睛] 由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 可得 an=dn+(a1-d),如果设 p=d, q=a1-d,那么 an=pn+q,其中 p,q 是常数.当 p≠0 时,an 是关于 n 的一次函数;当 p =0 时,an=q,等差数列为常数列. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列 ( ) (2)等差数列{an}的单调性与公差 d 有关( ) ) )

(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项(

(4)若三个数 a,b,c 满足 2b=a+c,则 a,b,c 一定是等差数列(

解析:(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等, 则这个数列就不是等差数列. (2)正确.当 d>0 时为递增数列;d=0 时为常数列;d<0 时为递减数列. (3)正确.只需将项数 n 代入即可求出数列中的任意一项. (4)正确.若 a,b,c 满足 2b=a+c,即 b-a=c-b,故 a,b,c 为等差数列. 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√ )

2.等差数列{an}中,a1=1,d=3,an=298,则 n 的值等于( A.98 C.99 B.100 D.101

解析:选 B an=a1+(n-1)d=3n-2,令 an=298,即 3n-2=298?n=100. 3.在等差数列{an}中,若 a1· a3=8,a2=3,则公差 d=( A.1 C.± 1 B.-1 D.± 2 )

?a1?a1+2d?=8, ? 解析:选 C 由已知得,? 解得 d=± 1. ?a1+d=3, ?

4.若 log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列.则 x 的值为________. 解析:由 log3(2x+11)-log3(2x-1)=log3(2x-1)-log32,得:(2x)2-4· 2x-21=0,∴2x =7,∴x=log27. 答案:log27

等差数列的通项公式及应用 [典例] 在等差数列{an}中,

(1)已知 a5=-1,a8=2,求 a1 与 d; (2)已知 a1+a6=12,a4=7,求 a9. [解] (1)∵a5=-1,a8=2,
?a1+4d=-1, ?a1=-5, ? ? ∴? 解得? ?a1+7d=2, ? ? ?d=1.

(2)设数列{an}的公差为 d.
? ? ?a1+a1+5d=12, ?a1=1, 由已知得,? 解得? ?a1+3d=7, ? ? ?d=2.

∴an=1+(n-1)×2=2n-1, ∴a9=2×9-1=17.

在等差数列{an}中,首项 a1 与公差 d 是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如 果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关 a1,d 的关系列方程组求解,但是要注意公 式的变形及整体计算,以减少计算量.

[活学活用] 1.2 016 是等差数列 4,6,8,…的( A.第 1 006 项 C.第 1 008 项 ) B.第 1 007 项 D.第 1 009 项

解析:选 B ∵此等差数列的公差 d=2,∴an=4+(n-1)×2,an=2n+2,即 2 016 =2n+2,∴n=1 007. 2.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断 153 是不是这个数列的项,如果 是,是第几项? 解:设首项为 a1,公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,
? ?a1+?15-1?d=33, 由已知? ?a1+?61-1?d=217, ? ? ?a1=-23, 解得? ?d=4. ?

所以 an=-23+(n-1)×4=4n-27, 令 an=153,即 4n-27=153,解得 n=45∈N*,所以 153 是所给数列的第 45 项. 等差中项的应用

[典例] 已知等差数列{an},满足 a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求数列{an}的通项公式.

[解] 在等差数列{an}中, ∵ a2+a3+a4=18,∴3a3=18,a3=6.
?a2+a4=12, ?a2=11, ?a2=1, ? ? ? ∴? 解得? 或? ?a2· ? ?a4=11. a4=11, ? ?a4=1 ? ?a2=11, ? 当? 时,a1=16,d=-5. ? ?a4=1

an=a1+(n-1)d=16+(n-1)· (-5)=-5n+21.
? ?a2=1, 当? 时,a1=-4,d=5. ?a4=11 ?

an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)· 5=5n-9.

三数 a,b,c 成等差数列的条件是 b=

a+c (或 2b=a+c),可用来进行等差数列的判定 2

或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证 2an+1=an+an+2(n∈N*).

[活学活用] 1.已知数列 8,a,2,b,c 是等差数列,则 a,b,c 的值分别为________,________, ________. 解析:因为 8,a,2,b,c 是等差数列, 8+2=2a, ? ? 所以?a+b=2×2, ? ?2+c=2b. 答案:5 -1 -4
? 1 ? 2.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列?a +1?为等差数列,则 a5=________. ? n ? ? 1 ? 1 1 2 7 解析:由数列?a +1?为等差数列,则有 + = ,可解得 a5= . 5 a3+1 a7+1 a5+1 ? n ?

a=5, ? ? 解得?b=-1, ? ?c=-4.

答案:

7 5 等差数列的判定与证明

[典例] 已知数列{an}满足 a1=4,an=4- 差数列. 证明:[法一 定义法]

4 1 (n>1),记 bn= .求证:数列{bn}是等 an-1 an-2

∵bn+1=

an 1 1 = = , 4? an+1-2 ? 2?an-2? 4- - 2 ? an? an-2 an 1 1 - = = ,为常数(n∈N*). 2?an-2? an-2 2?an-2? 2

∴bn+1-bn= 又 b1=

1 1 = , a1-2 2

1 1 ∴数列{bn}是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 2 [法二 ∵bn= 等差中项法] 1 , an-2 an 1 1 = = . 4? an+1-2 ? 2?an-2? ?4-an?-2

∴bn+1=

4 4- an an+1 an-1 ∴bn+2= = = . 4 2?an+1-2? ? an-2 2?4-a -2? ? n ∴bn+bn+2-2bn+1= an-1 an 1 + -2× =0. an-2 an-2 2?an-2?

∴bn+bn+2=2bn+1(n∈N*), ∴数列{bn}是等差数列.

等差数列判定的常用的 2 种方法 (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)?{an}为等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}为等差数列.

[活学活用] 1 1 1 已知a,b,c成等差数列,并且 a+c,a-c,a+c-2b 均为正数,求证:lg(a+c),lg(a -c),lg(a+c-2b)也成等差数列. 1 1 1 2 1 1 解:∵a,b, c成等差数列,∴b=a+c , 2 a+c ∴b= ac ,即 2ac=b(a+c). (a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×2ac=a2+c2+2ac-4ac=(a-c)2. ∵a+c,a+c-2b,a-c 均为正数,上式左右两边同时取对数得,lg[(a+c)(a+c-2b)] =lg(a-c)2,即 lg(a+c)+lg(a+c-2b)=2lg(a-c),

∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列.

层级一

学业水平达标 )

1.已知等差数列{an}的通项公式为 an=3-2n,则它的公差为( A.2 C.-2 B.3 D.-3

解析:选 C ∵an=3-2n=1+(n-1)×(-2),∴d=-2,故选 C. 1 2.若等差数列{an}中,已知 a1= ,a2+a5=4,an=35,则 n=( 3 A.50 C.52 B.51 D.53 )

1 2 解析:选 D 依题意,a2+a5=a1+d+a1+4d=4,代入 a1= ,得 d= . 3 3 1 2 2 1 所以 an=a1+(n-1)d= +(n-1)× = n- ,令 an=35,解得 n=53. 3 3 3 3 3.设 x 是 a 与 b 的等差中项,x2 是 a2 与-b2 的等差中项,则 a,b 的关系是( A.a=-b C.a=-b 或 a=3b 解析:选 C 由等差中项的定义知:x= x2= a2-b2 , 2 B.a=3b D.a=b=0 a+b , 2 )

a2-b2 ?a+b?2 2 2 ∴ = 2 ? 2 ? ,即 a -2ab-3b =0. 故 a=-b 或 a=3b. 4.数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a2 015 的值是( A.1 006 C.1 008 B.1 007 D.1 009 )

1 解析:选 D 由 2an+1=2an+1,得 an+1-an= ,所以{an}是等差数列,首项 a1=2,公 2 1 差 d= , 2 n+3 1 所以 an=2+ (n-1)= , 2 2 所以 a2 015= 2 015+3 =1 009. 2 )

5.等差数列{an}的首项为 70,公差为-9,则这个数列中绝对值最小的一项为(

A.a8 C.a10

B.a9 D.a11

7 ? 解析:选 B |an|=|70+(n-1)×(-9)|=|79-9n|=9? ?89-n?,∴n=9 时,|an|最小. 6.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________. 解析:设等差数列{an}的公差为 d,
?a1+2d=7, ? 由题意,得? ? ?a1+4d=a1+d+6. ? ?a1=3, 解得? ?d=2. ?

∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1. ∴a6=2×6+1=13. 答案:13 7.已知{an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d=________. 解析:根据题意得: a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1, ∴a1=1. 又 a3=a1+2d=1+2d=0, 1 ∴d=- . 2 1 答案:- 2
2 8.已知数列{an}满足:a2 n+1=an+4,且 a1=1,an>0,则 an=________. 2 2 2 解析:根据已知条件 a2 n+1=an+4,即 an+1-an=4.

∴数列{a2 n}是公差为 4 的等差数列,
2 2 则 an =a1 +(n-1)×4=4n-3.

∵an>0,∴an= 4n-3. 答案: 4n-3 9.已知数列{an}满足 a1=2,an+1=
?1? 2an ,则数列?a ?是否为等差数列?说明理由. ? n? an+2

?1? 解:数列?a ?是等差数列,理由如下: ?
n?

因为 a1=2,an+1= 所以 1

2an , an+2

an+2 1 1 = = + , an+1 2an 2 an

所以

1 1 1 - = (常数). an+1 an 2

?1? 1 1 1 所以?a ?是以 = 为首项,公差为 的等差数列. a 2 2 ? n? 1

10.若

1 1 1 , , 是等差数列,求证:a2,b2,c2 成等差数列. b+c a+c a+b

2b+a+c 1 1 2 2 证明:由已知得 + = ,通分有 = . b+c a+b a+c ?b+c??a+b? a+c 进一步变形有 2(b+c)(a+b)=(2b+a+c)(a+c),整理,得 a2+c2=2b2, 所以 a2,b2,c2 成等差数列. 层级二 应试能力达标 )

1.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则 ap+q 为( A.p+q C.-(p+q) B.0 p+q D. 2

解析:选 B ∵ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,
? ?a1+?p-1?d=q, ① ∴? ? ?a1+?q-1?d=p. ②

①-②,得(p-q)d=q-p. ∵p≠q,∴d=-1. 代入①,有 a1+(p-1)×(-1)=q,∴a1=p+q-1. ∴ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)×(-1)=0. 2.已知 x≠y,且两个数列 x,a1,a2,…,am,y 与 x,b1,b2,…,bn,y 各自都成等 a2-a1 差数列,则 等于( b2-b1 m A. n n C.m ) m+1 B. n+ 1 n+ 1 D. m+1

解析:选 D 设这两个等差数列公差分别是 d1,d2,则 a2-a1=d1,b2-b1=d2.第一个 数列共(m+2)项, ∴d1= n+1 . m+1 3.已知数列{an},对任意的 n∈N*,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上,则{an}为( A.公差为 2 的等差数列 C.公差为-2 的等差数列 B.公差为 1 的等差数列 D.非等差数列 ) y-x y-x a2-a1 d1 ; 第二个数列共(n+2)项, ∴d2= .这样可求出 = = m+1 n+1 b2-b1 d2

解析:选 A 由题意知 an=2n+1,∴an+1-an=2,应选 A. 4.如果 a1,a2,…,a8 为各项都大于零的等差数列,且公差 d≠0,则( A.a3a6>a4a5 C.a3+a6>a4+a5 B.a3a6<a4a5 D.a3a6=a4a5 )

解析:选 B 由通项公式,得 a3=a1+2d,a6=a1+5d,那么 a3+a6=2a1+7d,a3a6=
2 2 2 (a1+2d)(a1+5d)=a2 1+7a1d+10d ,同理 a4+a5=2a1+7d,a4a5=a1+7a1d+12d ,显然 a3a6

-a4a5=-2d2<0,故选 B. 5.数列{an}是首项为 2,公差为 3 的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为 4 的等 差数列.若 an=bn,则 n 的值为________. 解析:an=2+(n-1)×3=3n-1, bn=-2+(n-1)×4=4n-6, 令 an=bn,得 3n-1=4n-6,∴n=5. 答案:5 6.在数列{an}中,a1=3,且对于任意大于 1 的正整数 n,点( an, -y- 3=0 上,则 an=________. 解析:由题意得 an- an-1= 3,所以数列{ an}是首项为 3,公差为 3的等差数列, 所以 an= 3n,an=3n2. 答案:3n2 7.已知数列{an}满足 a1=1,且 an=2an-1+2n(n≥2,且∈N*). (1)求 a2,a3;
?an? (2)证明:数列?2n?是等差数列; ? ?

an-1)都在直线 x

(3)求数列{an}的通项公式 an. 解:(1)a2=2a1+22=6,a3=2a2+23=20. (2)证明:∵an=2an-1+2n(n≥2,且 n∈N*), an an-1 ∴ n= n-1+1(n≥2,且 n∈N*), 2 2 an an-1 即 n- n-1=1(n≥2,且 n∈N*), 2 2
?an? a1 1 ∴数列?2n ?是首项为 1= ,公差 d=1 的等差数列. 2 2 ? ?

an 1 1 (3)由(2),得 n= +(n-1)×1=n- , 2 2 2 1 n n- ? · ∴an=? ? 2? 2 .

8.数列{an}满足 a1=2,an+1=(λ-3)an+2n(n∈N*). (1)当 a2=-1 时,求 λ 及 a3 的值; (2)是否存在 λ 的值, 使数列{an}为等差数列?若存在求其通项公式; 若不存在说明理由. 3 解:(1)∵a1=2,a2=-1,a2=(λ-3)a1+2,∴λ= . 2 3 11 ∴a3=- a2+22,∴a3= . 2 2 (2)∵a1=2,an+1=(λ-3)an+2n, ∴a2=(λ-3)a1+2=2λ-4. a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16. 若数列{an}为等差数列,则 a1+a3=2a2. 即 λ2-7λ+13=0. ∵Δ=49-4×13<0,∴方程无实数解. ∴λ 值不存在.∴不存在 λ 的值使{an}成等差数列. 第二课时 等差数列的性质

预习课本 P39 练习第 4、5 题,思考并完成以下问题 (1)等差数列通项公式的推广形式是什么?

(2)等差数列的运算性质是什么?

[新知初探] 1.等差数列通项公式的推广 通项公式 an=a1+(n-1)d (揭示首末两项的关系) 2.等差数列的性质 若{an}是公差为 d 的等差数列,正整数 m,n,p,q 满足 m+n=p+q,则 am+an=ap +aq. (1)特别地,当 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak. (2)对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即 a1+an 通项公式的推广 an=am+(n-m)d (揭示任意两项之间的关系)

=a2+an-1=…=ak+an-k+1=…. (3)若{an}是公差为 d 的等差数列,则 ①{c+an}(c 为任一常数)是公差为 d 的等差数列; ②{can}(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列; ③{an+an+k}(k 为常数,k∈N*)是公差为 2d 的等差数列. (4)若{an},{bn}分别是公差为 d1,d2 的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q 是常数)是公 差为 pd1+qd2 的等差数列. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列( (2)若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列(
*

) ) )

(3)若{an}是等差数列,则对任意 n∈N 都有 2an+1=an+an+2(

(4)数列{an}的通项公式为 an=3n+5,则数列{an}的公差与函数 y=3x+5 的图象的斜率 相等( )

解析:(1)错误.如-2,-1,0,1,2 是等差数列,但其绝对值就不是等差数列. (2)错误.如数列-1,2,-3,4,-5 其绝对值为等差数列,但其本身不是等差数列. (3)正确.根据等差数列的通项可判定对任意 n∈N*,都有 2an+1=an+an+2 成立. (4)正确.因为 an=3n+5 的公差 d=3,而直线 y=3x+5 的斜率也是 3. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ )

2.在等差数列{an}中,若 a5=6,a8=15,则 a14 等于( A.32 C.-33 解析:选 B ∵数列{an}是等差数列, ∴a5,a8,a11,a14 也成等差数列且公差为 9, ∴a14=6+9×3=33. B.33 D.29

3.在等差数列{an}中,已知 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8=( A.90 C.180 B.270 D.360

)

解析:选 C 因为 a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450, 所以 a5=90,所以 a2+a8=2a5=2×90=180. 4.在等差数列{an}中,已知 a2+2a8+a14=120,则 2a9-a10 的值为________. 解析:∵a2+a14=2a8,∴a2+2a8+a14=4a8=120,∴a8=30.∴2a9-a10=(a8+a10)-a10 =a8=30. 答案:30

等差数列的性质应用

[典例] (1)已知等差数列{an}中,a2+a4=6,则 a1+a2+a3+a4+a5=( A.30 C.5 6 B.15 D.10 6

)

(2)设{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37=( A.0 C.100 [解析] (1)∵数列{an}为等差数列, 5 5 ∴a1+a2+a3+a4+a5=(a1+a5)+(a2+a4)+a3= (a2+a4)= ×6=15. 2 2 (2)设 cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列, 则{cn}也是等差数列,且 c1=a1+b1=25+75=100, c2=a2+b2=100, ∴{cn}的公差 d=c2-c1=0. ∴c37=100,即 a37+b37=100. [答案] (1)B (2)C B.37 D.-37

)

本例(1)求解主要用到了等差数列的性质:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq. 对于此性质,应注意:必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立.例如,a15≠a7 +a8,但 a6+a9=a7+a8;a1+a21≠a22,但 a1+a21=2a11. 本例(2)应用了等差数列的性质:若{an},{bn}是等差数列,则{an+bn}也是等差数列.灵 活运用等差数列的某些性质,可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力,应注意加强 这方面的锻炼.

[活学活用] 1.已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=π,则 cos(a2+a8)的值为( A.- 1 C. 2 1 2 B.- D. 3 2 3 2 )

π 2π 解析:选 A a1+a5+a9=3a5=π,所以 a5= ,而 a2+a8=2a5= ,所以 cos(a2+a8) 3 3 =cos 2π 1 =- ,故选 A. 3 2 )

2.在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=( A.10 C.20 B.18 D.28

解析:选 C 由等差数列的性质得:3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+(2a6)=2(a5+a6)= 2(a3+a8)=20,故选 C. 灵活设元求解等差数列

[典例] (1)三个数成等差数列,其和为 9,前两项之积为后一项的 6 倍,求这三个数. (2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为 2,首末两项的积为-8,求这四个数. [解] (1)设这三个数依次为 a-d,a,a+d,
? ??a-d?+a+?a+d?=9, 则? ??a-d?a=6?a+d?, ? ?a=3, ? 解得? ∴这三个数为 4,3,2. ?d=-1. ?

(2)法一:设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为 2d), 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即 a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1 或 d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以 d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. 法二:若设这四个数为 a,a+d,a+2d,a+3d(公差为 d), 依题意,2a+3d=2,且 a(a+3d)=-8, 3 把 a=1- d 代入 a(a+3d)=-8, 2 3 ?? 3 ? 得? ?1-2d??1+2d?=-8, 9 即 1- d2=-8, 4 化简得 d2=4,所以 d=2 或-2. 又四个数成递增等差数列,所以 d>0,所以 d=2, a=-2. 故所求的四个数为-2,0,2,4.

常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为: a-d,a+d,公 差为 2d; (2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:a-d,a,a+d,公差为 d; (3)四个数成等差数列且知其和,常设成 a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为 2d.

[活学活用] 已知成等差数列的四个数,四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40,求这个 等差数列. 解:设这四个数依次为 a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为 2d). 由题设知
??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26, ? ? ? ??a-d??a+d?=40,

?a= 2 , 解得? 3 ?d=2

13

?a= 2 , 或? 3 ?d=-2.
等差数列的实际应用

13

∴这个数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

[典例] 某公司经销一种数码产品,第一年可获利 200 万元,从第二年起由于市场竞争 方面的原因,其利润每年比上一年减少 20 万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品, 也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? [解] 设从第一年起,第 n 年的利润为 an 万元, 则 a1=200,an+1-an=-20(n∈N*), ∴每年的利润构成一个等差数列{an}, 从而 an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220-20n. 若 an<0,则该公司经销这一产品将亏损. ∴由 an=220-20n<0,得 n>11, 即从第 12 年起,该公司经销此产品将亏损.

解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组

数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列. 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、 项数等关键的问题.

[活学活用] 某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4 km(不含 4 km)计费 10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为 0, 需要支付车费________元. 解析:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时,每增加 1 km,乘客需要 支付 1.2 元. 所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令 a1=11.2, 表示 4 km 处的车费, 公差 d=1.2,那么当出租车行至 14 km 处时,n=11,此时需要支付车费 a11=11.2+(11- 1)×1.2=23.2(元). 答案:23.2

层级一

学业水平达标 )

1.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( A.12 C.20 B.16 D.24

解析:选 B 因为数列{an}是等差数列,所以 a2+a10=a4+a8=16. 2.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为( A.5 C.8 B.6 D.10 )

解析:选 A 由等差数列的性质,得 a1+a9=2a5, 又∵a1+a9=10,即 2a5=10, ∴a5=5. 3.下列说法中正确的是( )

A.若 a,b,c 成等差数列,则 a2,b2,c2 成等差数列 B.若 a,b,c 成等差数列,则 log2a,log2b,log2c 成等差数列 C.若 a,b,c 成等差数列,则 a+2,b+2,c+2 成等差数列 D.若 a,b,c 成等差数列,则 2a,2b,2c 成等差数列 解析:选 C 因为 a,b,c 成等差数列,则 2b=a+c, 所以 2b+4=a+c+4, 即 2(b+2)=(a+2)+(c+2),

所以 a+2,b+2,c+2 成等差数列. 4.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( A.5 C.10 B.8 D.14 )

解析:选 B 由等差数列的性质可得 a1+a7=a3+a5=10,又 a1=2,所以 a7=8. 5.等差数列{an}中, a2+a5+a8=9,那么方程 x2+(a4+a6)x+10=0 的根的情况( A.没有实根 C.两个不等实根 B.两个相等实根 D.无法判断 )

解析:选 A 由 a2+a5+a8=9 得 a5=3,∴a4+a6=6,方程转化为 x2+6x+10=0.因 为 Δ<0,所以方程没有实根. 6.若三个数成等差数列,它们的和为 9,平方和为 59,则这三个数的积为________. 解析:设这三个数为 a-d,a,a+d,
?a-d+a+a+d=9, ? 则? 2 2 2 ??a-d? +a +?a+d? =59. ? ?a=3, ?a=3, ? ? 解得? 或? ? ? ?d=4 ?d=-4.

∴这三个数为-1,3,7 或 7,3,-1.∴它们的积为-21. 答案:-21 7.若 a,b,c 成等差数列,则二次函数 y=ax2-2bx+c 的图象与 x 轴的交点的个数为 ________. 解析:∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c, ∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0. ∴二次函数 y=ax2-2bx+c 的图象与 x 轴的交点个数为 1 或 2. 答案:1 或 2 8.已知等差数列{an}满足 am-1+am+1-a2 m-1=0,且 m>1,则 a1+a2m-1=________. 解析:因为数列{an}为等差数列,则 am-1+am+1=2am,则 am-1+am+1-a2 m-1=0 可化 为 2am-a2 m-1=0,解得 am=1,所以 a1+a2m-1=2am=2. 答案:2 9.在等差数列{an}中,若 a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求 a11+a12+… +a15. 解:法一:由等差数列的性质得 a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10. ∴(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10). ∴a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.

法二:∵数列{an}是等差数列,∴a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15 也成等差数列, 即 30,80, a11+a12+…+a15 成等差数列. ∴30+(a11+a12+…+a15)=2×80, ∴a11+a12+…+a15=130. 10.有一批影碟机原销售价为每台 800 元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场 用如下的方法促销:买一台单价为 780 元,买两台单价都为 760 元,依次类推,每多买一 台则所买各台单价均再减少 20 元,但每台最低价不能低于 440 元;乙商场一律都按原价的 75%销售.某单位购买一批此类影碟机,问去哪家商场买花费较少. 解:设单位需购买影碟机 n 台,在甲商场购买每台售价不低于 440 元,售价依台数 n 成等差数列.设该数列为{an}. an=780+(n-1)(-20)=800-20n, 解不等式 an≥440,即 800-20n≥440,得 n≤18. 当购买台数小于等于 18 台时,每台售价为(800-20n)元,当台数大于 18 台时,每台售 价为 440 元. 到乙商场购买,每台售价为 800×75%=600 元. 作差:(800-20n)n-600n=20n(10-n), 当 n<10 时,600n<(800-20n)n, 当 n=10 时,600n=(800-20n)n, 当 10<n≤18 时,(800-20n)n<600n, 当 n>18 时,440n<600n. 即当购买少于 10 台时到乙商场花费较少,当购买 10 台时到两商场购买花费相同,当 购买多于 10 台时到甲商场购买花费较少. 层级二 应试能力达标

1.已知等差数列{an}:1,0,-1,-2,…;等差数列{bn}:0,20,40,60,…,则数列{an +bn}是( ) B.公差为 20 的等差数列 D.公差为 19 的等差数列

A.公差为-1 的等差数列 C.公差为-20 的等差数列 解析:选 D

(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19. )

2.已知数列{an}为等差数列且 a1+a7+a13=4π,则 tan(a2+a12)的值为( A. 3 C.- 3 3 B.± 3 D.- 3 4π . 3

解析:选 D 由等差数列的性质得 a1+a7+a13=3a7=4π,∴a7= ∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan 8π 2π =tan =- 3. 3 3

1 3.若方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m- 4 n|=( ) 3 B. 4 3 D. 8

A.1 1 C. 2

解析:选 C 设方程的四个根 a1,a2,a3,a4 依次成等差数列,则 a1+a4=a2+a3=2, 再设此等差数列的公差为 d,则 2a1+3d=2, 1 1 ∵a1= ,∴d= , 4 2 1 1 3 1 5 ∴a2= + = ,a3= +1= , 4 2 4 4 4 1 3 7 a4= + = , 4 2 4 ∴|m-n|=|a1a4-a2a3| 1 7 3 5? 1 =? ?4×4-4×4?=2. 4. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差 数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为( A.1 升 47 C. 升 44 解析:选 B
?a1+a2+a3+a4=3, ? ? ? ?a7+a8+a9=4,

)

67 B. 升 66 37 D. 升 33 设 所 构 成 的 等 差 数 列 {an} 的 首 项 为 a1 , 公 差 为 d , 则 有

?4a1+6d=3, ? 即? 解得 ?3a1+21d=4. ?

?a =22, ? 7 ?d=66,
1

13

则 a5=a1+4d=

67 , 66

67 故第 5 节的容积为 升. 66 5.已知{an}为等差数列,且 a6=4,则 a4a7 的最大值为________. 解析:设等差数列的公差为 d,则 a4a7=(a6-2d)(a6+d)=(4-2d)(4+d)=-2(d+1)2+ 18,即 a4a7 的最大值为 18. 答案:18

?an an+1 ?在直线 x-y+1=0 上,则 a =________. 6.已知数列{an}满足 a1=1,若点? n , n n+1? ? ?

an+1 an ?an? an an+1 解析:由题设可得 n - +1=0,即 - n =1,所以数列? n ?是以 1 为公差的等 ? ? n+1 n+1 an 差数列,且首项为 1,故通项公式 n =n,所以 an=n2. 答案:n2 1? 21 1 7.数列{an}为等差数列,bn=? ?2?an,又已知 b1+b2+b3= 8 ,b1b2b3=8,求数列{an} 的通项公式. 1? 21 1 ?1? ?1? ?1? 解:∵b1+b2+b3=? ?2?a1+?2?a2+?2?a3= 8 ,b1b2b3=?2?a1+a2+a3=8,∴a1+a2+a3 =3. ∵a1,a2,a3 成等差数列,∴a2=1,故可设 a1=1-d,a3=1+d, 1?1-d 1 ?1?1+d 21 由? ?2? +2+?2? = 8 , 17 - 得 2d+2 d= ,解得 d=2 或 d=-2. 4 当 d=2 时,a1=1-d=-1,an=-1+2(n-1)=2n-3; 当 d=-2 时,a1=1-d=3,an=3-2(n-1)=-2n+5.

8.下表是一个“等差数阵”: 4 7 ( ( … ai1 … ) ) 7 12 ( ( … ai2 … ) ) ( ( ( ( … ai3 … ) ) ) ) ( ( ( ( … ai4 … ) ) ) ) ( ( ( ( … ai5 … ) ) ) ) … … … … … … … a1j a2j a3j a4j … aij … … … … … … … …

其中每行、每列都是等差数列,aij 表示位于第 i 行第 j 列的数. (1)写出 a45 的值; (2)写出 aij 的计算公式,以及 2 017 这个数在“等差数阵”中所在的一个位置. 解:通过每行、每列都是等差数列求解. (1)a45 表示数阵中第 4 行第 5 列的数. 先看第 1 行,由题意 4,7,…,a15,…成等差数列, 公差 d=7-4=3,则 a15=4+(5-1)×3=16. 再看第 2 行,同理可得 a25=27. 最后看第 5 列,由题意 a15,a25,…,a45 成等差数列,

所以 a45=a15+3d=16+3×(27-16)=49. (2)该“等差数阵“的第 1 行是首项为 4,公差为 3 的等差数列 a1j=4+3(j-1); 第 2 行是首项为 7,公差为 5 的等差数列 a2j=7+5(j-1); … 第 i 行是首项为 4+3(i-1),公差为 2i+1 的等差数列, ∴aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1) =2ij+i+j=i(2j+1)+j. 要求 2 017 在该“等差数阵”中的位置, 也就是要找正整数 i, j, 使得 i(2j+1)+j=2 017, ∴j= 2 017-i .又∵j∈N*,∴当 i=1 时,得 j=672. 2i+1

∴2 017 在“等差数阵”中的一个位置是第 1 行第 672 列.



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