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第63讲 古典概型


第63讲 古典概型
例1 变式1 例2 变式2 例3 变式3 举一反三 例4 变式4 例5 变式5 易错诊断

【例 1】在下列概率模型中:①从 A,B,C,D 中任取两个不 同字母,其中一个为 A 的概率;②从 1,2,3,4 这 4 个数中一 次随机取两个数,则这两个数和为 5 的概率;③天气预报说:在 未来三天内, 每天下雪的概率为 0.1, 这三天中恰有一天下雪的概 率;④从 13 张红心扑克牌中,随机地抽出 1 张牌,这张牌是 6 的概率. 上述四个概率模型中是古典概型的个数 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【测量目标】 古典概型.

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【解题指南】 其中①、②、④是,③不是;因为③的基本 事件:“第一天下、第二天下、第三天下”、“第一天下、第二 天下、第三天不下”、 “第一天下、第二天不下、第三天下”?不 是等可能的.故选 C. 反思提炼: 判断一次实验中的基本事件,一定要从其可能性入手,加以 区分,而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可 能性两个条件.

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变式训练 1.下面是古典概型的是 ( C ) A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件 B.为求任意的一个正整数平方的个位数是 1 的概率,将 取出的正整数作为基本事件 C.从甲地到乙地共 n 条路线,求某人正好选中最短路线 的概率 D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止 【测量目标】 古典概型.

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【分析】古典概型的基本事件是等可能事件,A 中的点数之 和出现的概率不相等, 故不正确;B 中的基本事件数有无数多个, 与古典概型的基本事件的总数应为有限个不相符,C 符合古典概 型的要求;D 中基本事件数不确定,不正确.

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【例 2】做抛掷两颗骰子的试验:用(x,y)表示结果,其中 x 表示第一颗骰子出现的点数,y 表示第二颗骰子出现的点数,写 出: (1)试验的基本事件; (2)事件“出现点数之和大于 8”; (3)事件“出现点数相等”. 【测量目标】 古典概型中基本事件.

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【解题指南】 (1)这个试验的基本事件为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2, 2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3, 4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4, 6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6, 2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6);(2)事件“出现点数之和大 于 8”包含以下 10 个基本事件(3,6),(4,5),(4,6),(5,4), (5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).(3)事件“出现 点数相等”包含以下 6 个基本事件(1,1),(2,2),(3,3),(4, 4),(5,5),(6,6).

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变式训练 2.用红、黄、蓝三种不同颜色给图中 3 个矩形随 机涂色,每个矩形只涂一种颜色,写出: (1)试验的基本事件个数; (2)事件“3 个矩形颜色都相同”; (3)事件“3 个矩形颜色都不同”. 第 2 题图 【测量目标】 古典概型中基本事件.

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【解】 (1)所有可能的基本事件共 27 个.(2)由图可知,事 件“3 个矩形都涂同一颜色”包含以下 3 个基本事件:红红红, 黄黄黄,蓝蓝蓝.(3)由图可知,事件“3 个矩形颜色都不同”包 含以下 6 个基本事件:红黄蓝,红蓝黄,黄红蓝,黄蓝红,蓝红 黄,蓝黄红.

第 2 题图

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【例 3】 (13 浙江高考· 文)从三男三女 6 名学生中任选 2 名(每 名同学被选中的机会相等 ) ,则 2 名都是女同学的概率等于 ________. 【测量目标】 古典概型的概率. 【解题指南】 从 6 名同学中任选 2 名,共有 C2 6=15 种,从 C2 1 3 2 3 名女同学中任选 2 名,有 C3=3 种,故所求概率 P= 2= . C6 5

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变式训练 3.盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8, 9 的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数 13 的概率是________(结果用最简分数表示) 18 【测量目标】 古典概型.

C2 13 5 - 2= . C9 18

【分析】9 个数 5 个奇数,4 个偶数,根据题意所求概率为 1

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举一反三 1. 将一枚骰子抛掷两次, 若先后出现点数分别为 b、 2 c,则方程 x +bx+c=0 有实根的概率为 ( D ) 1 11 17 19 A. B. C. D. 2 18 36 36 【测量目标】 古典概型.

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【分析】一枚骰子掷两次,其基本事件总数为 36,方程有实 根的充要条件为 b2≥4c, b 1 2 3 4 5 6 2 使 b ≥4c 的基本 事件个数 0 1 2 4 6 6 由此可见,使方程有实根的基本事件个数为 1+2+4+6+6 19 =19,于是方程有实根的概率为 P= . 36

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【例 4】( 13 浙江模拟)甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子, 设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为 x、y,则满足复数 x +yi 的实部大于虚部的概率是 ( ) 5 5 17 19 A. B. C. D. 9 12 36 36 【测量目标】 古典概型及其概率计算公式. 【解题指南】 由题可知,投掷两枚骰子共有 36 中情况,符 合题意的基本事件有(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)(5,1)(5, 2)(5,3)(5,4)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)共 15 种即 x>y 的概 1+2+3+4+5 5 率,P= = .选 B. 36 12

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反思提炼: 1 在古典概型中,每一个基本事件出现的概率为 ,因此要求 n P(A),关键是找出事件 A 所包含的基本事件的个数 m,然后套用 事件A包含的基本事件m 公式 P(A)= . 基本事件总数n

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变式训练 4.张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张 卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的 概率为 ( C ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 【测量目标】 古典概型及其概率计算公式.

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【分析】∵ 从 4 张卡片中抽 2 张的所有事件数为 12,分别 为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3, 2),(3,4),(4,1),(4,2)和(4,3).2 张卡片上的数字之和为奇数 的事件数为 8 种,分别为(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2), 8 2 (3,4),(4,1)和(4,3).∴ 所求的概率 P= = . 12 3

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【例 5】(13 浙江模拟)一个口袋中装有 2 个白球和 3 个红球, 每次从袋中摸出两个球,若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则 为不中奖,则中奖的概率为 ( ) 1 3 2 1 A. B. C. D. 10 10 5 5 【测量目标】 古典概型. 【解题指南】 设摸出的两个球颜色相同为事件 A.一个口袋 中装有 2 个白球和 3 个红球,每次从袋中摸出两个球,所有不同 2 的摸法种数为 C2 5=10 种.摸出的球颜色相同的摸法种数为 C2+ 4 2 C2 = . 3=4 种.所以中奖的概率 P(A)= 10 5

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变式训练 5.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球, 则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 ( D ) 1 3 3 9 A. B. C. D. 10 10 5 10 【测量目标】 古典概型.

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【分析】 从袋中取出的 3 个球共有 3 种情况.(1)3 个球全 为红球,有 1 种取法;(2)2 个红球,1 个白球,有 3×2=6 种取 法;(3)1 个红球,2 个白球,有 3×1=3 种取法.故至少有 1 个 3+6 9 白球的概率 P= = . 1+3+6 10

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易错诊断 易错点:“非等可能”与“等可能”混淆 掷两枚骰子,求事件 A 为出现的点数之和等于 3 的概率. 【错解】 掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2,3, 1 4,?,12},故 P(A)= . 11 m 【错解分析】 对于公式 P(A)= (n 和 m 分别表示基本事件 n 总数和事件 A 包含的基本事件数), 仅当所述的试验结果是等可能 性时才成立.但是上述解法中找到的基本事件却不是等可能的, 例如取数值 2 和 3 不是等可能的,2 只有(1,1)这样的情况,而 3 有两种情况(1,2),(2,1).

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【正确答案】 掷两枚骰子可能出现的情况: (1, 1), (1, 2), ?, (1,6),(2,1),(2,2),?,(2,6),?,(6,1),(6,2),?, (6,6),基本事件总数为 6×6=36. 在这些结果中, 事件 A 只有两种可能的结果(1, 2), (2, 1); ∴P(A) 2 1 = = . 36 18


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