3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)


温故知新
(一) 众数、中位数、平均数 1. 众数、中位数、平均数的概念 2.求众数、中位数、平均数的方法: (1)用样本数据计算; (2)用频率分布直方图估算。 ①众数:最高矩形下端中点的横坐标 ②中位数:直方图面积平分线与横轴交点的横坐标. ③平均数:每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标 的乘积之和.

巩固练习
某公司的33名职工的月工资(单位:元)如下表:
职业 人数 工资 董事长 1 5 500 副董事长 1 5 000 董事 2 3 500 总经理 1 3 000 经理 5 2 500 管理员 3 2 000 职员 20 1 500

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数. (2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提 升到30 000元、20 000元,那么公司职工新的平均数、中位 数和众数又是什么? (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?

职业
人数 工资

董事长
1 5 500

副董事长
1 5 000

董事
2 3 500

总经理
1 3 000

经理
5 2 500

管理员
3 2 000

职员
20 1 500

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数. 解 :(1)公司职工月工资的平均数为
x=
5 500+5 000+3 500×2+3 000+2 500×5+2 000×3+1 500×20 33

69 000 = ≈2 091(元). 33

把表格中的数据看作从大到小的顺序排列,最中间的数为 1500,所以中位数是1 500元; 在表格数据中1500出现20次,出现次数最多,所以众数是 1 500元.

职业
人数 工资

董事长
1 5 500

副董事长
1 5 000

董事
2 3 500

总经理
1 3 000

经理
5 2 500

管理员
3 2 000

职员
20 1 500

(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到 30 000元、20 000元,那么公司职工新的平均数、中位数和众 数又是什么?

解:(2)若董事长、副董事长的工资提升后,职工月工资的平 均数为
30 000+20 000+3 500×2+3 000+2 500×5+2 000×3+1 500×20 x= 33

108 500 = ≈3 288(元). 33

中位数是1 500元,众数是1 500元.

职业
人数 工资

董事长
1 5 500

副董事长
1 5 000

董事
2 3 500

总经理
1 3 000

经理
5 2 500

管理员
3 2 000

职员
20 1 500

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平? 解:(3)在这个问题中,中位数和众数都能反映出这个公司员 工的工资水平,因为公司少数人的工资额与大多数人的工资 额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均 数不能反映这个公司员工的工资水平.

新课引入
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本 数据的“中心值”,其中众数和中位数容易计算, 不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数据 中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息,但 受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平均数 的影响也越大.当样本数据质量比较差时,使用众 数、中位数或平均数描述数据的中心位置,可能与 实际情况产生较大的误差,难以反映样本数据的实 际状况。因此,我们需要一个统计数字刻画样本数 据的离散程度,这就是我们本节课要学习的——标 准差、方差.

诱思探究1
在一次射击选拔赛中,甲、乙两名运动员各射 击10次,每次命中的环数如下: 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练员,如何对这二人的成绩作出评 价? 如果从比较两组数据的集中趋势,我们可以 从众数、中位数、平均数,但较多选择平均数。

由数据可得:

1 x甲 ? (7 ? 8 ? 7 ? ? ? 4) ? 7, 10
1 x乙 ? (9 ? 5 ? 7 ? ? ? 7) ?7 10

? x甲 ? x乙
因此,从平均数角度不能看出二人的差异。

诱思探究2
甲、乙两人射击的平均成绩相等,观察两人成绩的 频率分布条形图,你能说明其水平差异在那里吗?

环数

由条形图可知:甲的成绩比较分散,乙的成绩相 对集中,比较稳定.

诱思探究3
对于甲乙的射击成绩除了画出频率分布条形图 比较外,还有没有其它方法来说明两组数据的分散 程度? 答:还经常用甲乙的极差与平均数一起比较说明 数据的分散程度.甲的环数极差=10-4=6,乙的环 数极差=9-5=4.它们在一定程度上表明了样本数 据的分散程度,与平均数一起,可以给我们许多 关于样本数据的信息.显然,极差对极端值非常 敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉 一个最高分,去掉一个最低分”的统计策略.

诱思探究4
1.如何用数字去刻画这种分散程度呢? 答:考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量 是标准差.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离, 2.所谓“平均距离”,其含义如何理解?
答 假设样本数据是 x1,x2,?,xn, x 表示这组数据的平 均数.xi 到 x 的距离是|xi- x |(i=1,2,?,n).于是,样本数 据是 x1,x2,?,xn 到 x 的“平均距离”是
|x1- x |+|x2- x |+?+|xn- x | S= .由于上式含有绝对值, n

运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差:
s= 1 2 2 2 [ ? x - x ? + ? x - x ? +?+ ? x - x ? ]. 2 n n 1

在统计中,我们通常用标准差来考察样本数 据的离散程度,标准差是样本数据到平均数的 一种平均距离。 (二)标准差、方差:

1.标准差:s ? 1 [( x ? x )2 ? ( x ? x )2 ? ??? ? ( x ? x )2 ] 1 2 n
n

2.方差:

1 s ? [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x )2 ? ??? ? ( xn ? x )2 ] n
2

注:在刻画样本数据分散程度上,方差s2与标准差 s是一样的。但是在解决实际问题时,一般多采用 标准差s 。

对标准差的理解: (1)标准差是用来描述样本数据的离散程度的,它 反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度。 标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数的周 围越集中;反之,标准差越大,表明各个样本数据 在样本平均数的两边越分散。 (2)在实际应用中,标准差常被理解为稳定性。 (3) 标准差是非负的。标准差为0意味着所有的 样本数据都相等的特性,且与样本平均数也相等。

因此,在例子中的解答过程可表述为: 解:由数据可得:

1 1 ?7 x甲 ? (7 ? 8 ? 7 ? ? ? 4) ? 7, x乙 ? (9 ? 5 ? 7 ? ? ? 7) 10 10

? x甲 ? x乙
∴从平均成绩看甲、乙二人的成绩无明显差异。
1 ?7 ? 7?2 ? ?8 ? 7?2 ? ? ? ?4 ? 7?2 ? 2 ? s甲 ? 10
1 ?9 ? 7?2 ? ?5 ? 7?2 ? ? ? ?7 ? 7?2 ? 1.098 s乙 ? 10

?

?

?

?

? s甲 ? s乙

∴乙比甲的射击成绩稳定

∴如果我是教练员,我认为乙的成绩更好,应派乙参加比赛。

小结:
1.对同一个总体,可以抽取不同的样本,相应的平 均数与标准差都会发生改变.如果样本的代表性差, 则对总体所作的估计就会产生偏差;如果样本没有 代表性,则对总体作出错误估计的可能性就非常大, 由此可见抽样方法的重要性. 2.在抽样过程中,抽取的样本是具有随机性的,如 从一个包含6个个体的总体中抽取一个容量为3的样 本就有20中可能抽样,因此样本的数字特征也有随 机性.用样本的数字特征估计总体的数字特征,是 一种统计思想,没有惟一答案.

课堂练习
1.如图是某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中, 七位评委为某位选手打出分数的茎叶统计图 ,

去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据
的平均数和方差分别为( (A)84,4.84 (B)84,1.6 )

(C)85,1.6

(D)85,0.4

【解析】选C.得分是79,84,84,86,84,87,93,最高分是93,最低分 是79,则去掉一个最高分和一个最低分后该选手得分是84,84, 86,84,87,计算得平均数是85,方差是1.6.

3.一组数据中,每一个数都减去80,得到一组新数据,若求得新数据

的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别为(
(A)81.2,4.4 (B)78.8,4.4 (C)81.2,84.4 (D)78.8,75.6

)

4.从甲、乙两种玉米中各抽10株,分别测得它们的株高如下: 甲:25、41、40、37、22、14、19、39、21、42; 乙:27、16、44、27、44、16、40、40、16、40; (1)哪种玉米的苗长得高? (2)哪种玉米的苗长得齐? 1 解 (1) x 甲= (25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30, 10 1 x 乙= (27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=31, 10

? x甲 ? x乙

∴乙种玉米的苗长得高.

(2)由方差公式得:
1 s甲= [(25-30)2+(41-30)2+…+(42-30)2]=104.2, 10
2

2 同理s乙 =128.8,

∴s甲<s乙.
∴甲种玉米的苗长得齐. 答:乙种玉米苗长得高,甲种玉米苗长得齐.

2

2

课后作业
1.甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如 下(单位:t/hm2),试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产 量比较稳定.
品种 甲 乙 第 1年 9.8 9.4 第 2年 9.9 10.3 第 3年 10.1 10.8 第 4年 10 9.7 第 5年 10.2 9.8

解:甲品种的样本平均数为10,样本方差为
[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]÷ 5 =0.02.

乙品种的样本平均数也为10,样本方差为
[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]÷ 5=0.244.

∵0.244>0.02 ∴由这组数据可以认为甲种水稻的产量 比较稳定.

2.某工厂人员及工资构成如下:
人员
周工 资 人数 合计

经理
2 200 1 2 200

管理人员 高级技工
250 6 1 500 220 5 1 100

工人
200 10 2 000

学徒
100 1 100

合计

23 6 900

(1)指出这个问题中周工资的平均数. (2)这个问题中,工资的平均数能客观地反映该厂的 工资水平吗?为什么?
解 1 (1) x = (2 200+6×250+5×220+10×200+100)=300. 23

(2)因平均数为300,由表格中所列出的数据可见,只有经理 在平均数以上,其余的人都在平均数以下,故用平均数不能 客观真实地反映该工厂的工资水平.


推荐相关:

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

(2)哪种玉米的苗长得齐? 第 3 页共 4 页 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 制作:房祥虎 审核:高一数学组 当堂检测: 1.下面是高一(18)班十...


2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征_理化生_高中教育_教育专区。分层...(1)求该公司职工月工资的众数、中位数及平均数; (2)假设董事长的工资从 ...


5.示范教案(2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征)

5.示范教案(2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征)_教学案例/设计_教学研究_教育专区。统计http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn 2....


2.2.2-1用样本数字特征估计总体数字特征教案

2.2.2-1用样本数字特征估计总体数字特征教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区...3、 利用众数、 中位数、 平均数估计总体的数字特征时各自的优缺点。 众数、...


2.2.2用样本的数字特征估计总计总体的数字特征

2.2.2用样本的数字特征估计总计总体的数字特征_理化生_高中教育_教育专区。2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(第 1 课时) 学习目标: (1)根据频率...


2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征知识点试题及答案

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征知识点试题及答案 隐藏>> 一、知识要点及方法一、众数,中位数,平均数 1、在频率分布直方图中估计众数数 直方图中最...


2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征练习

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征同步练习题一、选择题: 1.关于平均数、中位数、众数的下列说法中正确一个是( ) A.中位数可以准确的反映出总体的...


2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(教、学案)

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(教、学案)_数学_高中教育_教育专区。临清三中数学组 编写人:孙秀英 审稿人: 郭振宇 李怀奎 2.2.2 用样本的数字...


2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征集体备课稿

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征集体备课稿_数学_高中教育_教育专区。课题: 《 2.2.2 用样本的数字特征估计总 体的数字特征 》 编制人:刘宁 学习目...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com