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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-2【配套备课资源】第1章 1.1(二)


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§ 1.1(二)

【学习要求】 1.进一步体会回归分析的基本思想. 2.通过非线性回归分析,判断几种不同模型的拟合程度.
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【学法指导】 两个具有相关关系的变量不一定都呈现线性相关关系,我们 可以通过散点图确定回归模型,并从变换后数据的散点图、 残差平方和、相关指数等方面比较模型的拟合效果.通过将 非线性模型转化为线性回归模型,体会“转化”的思想,体 会统计方法的特点,认识统计方法的应用.

填一填·知识要点、记下疑难点

§ 1.1(二)

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1.如果两个变量不呈现线性相关关系,常见的两个变量间的关 系还有指数关系、二次函数关系. 2. 两个变量间的非线性关系可以通过对解释变量的变换(对数变 换、平方变换等)转化为另外两个变量的 线性 关系. 3.比较不同模型的拟合效果,可以通过 残差平方和 的大小,

相关指数 的大小.

研一研·问题探究、课堂更高效

§ 1.1(二)

探究点一
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非线性回归模型

问题 1


有些变量间的关系并不是线性相关,怎样确定回归
首先要作出散点图,如果散点图中的样本点并没有分布

模型?
在某个带状区域内,则两个变量不呈现线性相关关系,不能 直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系,这时可以根 据已有函数知识,观察样本点是否呈指数函数关系或二次函 数关系,选定适当的回归模型.

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§ 1.1(二)

问题 2
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如果两个变量呈现非线性相关关系,怎样求出回归

方程? 答 可以通过对解释变量进行变换,如对数变换或平方变换,

先得到另外两个变量间的回归方程,再得到所求两个变量的 回归方程.

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§ 1.1(二)

例 1 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: 身高 x/cm 60 70 80 90 100 110 17.50

体重 y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02
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身高 x/cm

120

130

140

150

160

170

体重 y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 试建立 y 与 x 之间的回归方程.
解 根据上表中数据画出散点图如图所示.

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§ 1.1(二)

由图看出, 样本点分布在某条指数函数曲线 y=c1ec2x 的周围, 于 是令 z=ln y.
x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

本 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 课 时 画出散点图如图所示. 栏 目 开 关

由表中数据可得 z 与 x 之间的线性回归方程: z =0.693+0.020x,则有y =e0.693
^ ^
+0.020x

.

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§ 1.1(二)

小结

根据已有的函数知识,可以发现样本分布在某一条指数

c2x 的周围,其中 c 和 c 是待定参数;可以通 型函数曲线 y = c e 1 1 2 本 课 过对 x 进行对数变换,转化为线性相关关系.

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跟踪训练 1 数据如下:
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§ 1.1(二)

在彩色显影中,由经验知:形成染料光学密度 y
b x

与析出银的光学密度 x 由公式 y=Ae (b<0)表示.现测得试验 xi 0.05 0.06 0.25 0.31 0.07 0.10 yi 0.10 0.14 1.00 1.12 0.23 0.37 xi yi 0.38 1.19 0.43 1.25 0.14 0.59 0.20 0.79 0.47 1.29

试求 y 对 x 的回归方程.

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b x

§ 1.1(二)

由题给的经验公式 y=Ae ,两边取自然对数,便得 ln y= b 1 ln A+x,与线性回归方程相对照,只要取 u=x,v=ln y,a= ln A.就有 v=a+bu.
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1 题给数据经变量置换 u= x,v=ln y 变成如下表所示的数据: ui vi ui vi 20.000 -2.303 2.632 0.174
^

16.667 -1.966 2.326 0.223

4.000 0 7.143

3.226 0.113 5.000

14.286 2.128 0.255

10.000

-1.470 -0.994

-0.528 -0.236

0.146 可得 ln y =0.548- x , 0.146 ^ 0.146 0.146 0.548 - 0.548 - 即y =e · e- x ≈1.73e x , x =e
这就是 y 对 x 的回归方程.

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§ 1.1(二)

探究点二

非线性回归分析

问题 1 对于两个变量间的相关关系, 是否只有唯一一种回归模
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型来拟合它们间的相关关系?
答 不一定.我们可以根据已知数据的散点图,把它与幂函数、 指数函数、对数函数、二次函数图象进行比较,挑选一种拟合比 较好的函数,作为回归模型.

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§ 1.1(二)

问题 2 对同一个问题建立的两种不同回归模型, 怎样比较它们 的拟合效果?

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有两种比较方法:(1)计算残差平方和,残差平方和小的

模型拟合效果好;

(2)计算相关指数 R2,R2 越接近于 1 的模型拟合效果越好.

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收集数据如下: 天数 x/天 繁殖个数 y/个
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§ 1.1(二)

例 2 为了研究某种细菌随时间 x 变化时,繁殖个数 y 的变化, 1 2 3 4 5 6 190

6 12 25 49 95

(1)用天数 x 作解释变量,繁殖个数 y 作预报变量,作出这些 数据的散点图; (2)描述解释变量 x 与预报变量 y 之间的关系; (3)计算相关指数. 解 (1)所作散点图如图所示.

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§ 1.1(二)

(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数 y=c1e c2x的周围, 于是令 z=ln y,则 x z
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^

1

2

3

4
^

5

6

1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25

由计算器得:z =0.69x+1.115,则有y =e0.69x+1.115. (3)
y y
n ^ 2 ∑e i =∑ i=1 i=1 n

^

6.08 6
^ 2

12.12 12

24.17 25
n

48.18 49

96.06 191.52 95 190

(yi-y i) =4.816 1,∑ (yi- y )2=24 642.8,
i=1

4.816 1 R =1-24 642.8≈0.999 8,
2

即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了 99.98%.

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§ 1.1(二)

小结
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研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略判
^ ^ ^

断它们是否线性相关, 是否可以用线性回归模型来拟合数据. 然 后通过图形来分析残差特性,用残差e 1,e 2,?,e
n

来判断

原始数据中是否存在可疑数据,用 R2 来刻画模型拟合的效果.

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§ 1.1(二)

跟踪训练 2 对两个变量 x, y 取得 4 组数据(1,1), (2, 1.2), (3,1.3), (4,1.37),甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下:甲 y=0.1x+ 1,乙 y=-0.05x2+0.35x+0.7,丙 y=-0.8· 0.5x+1.4,试判断
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三人谁的数学模型更接近于客观实际.
解 对甲模型:残差平方和∑ (yi-y i)2=0.010 9;
i=1
4 ^ i=1 4

4

^

对乙模型:残差平方和∑ (yi-y i)2=0.004 9;
对丙模型:残差平方和∑ (yi-y i)2=0.000 4.
i=1 ^

显然丙的残差平方和最小,故丙模型更接近于客观实际.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§ 1.1(二)

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1.散点图在回归分析中的作用是 A.查找个体个数 C.探究个体分类

( D )

B.比较个体数据大小关系 D.粗略判断变量是否相关

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§ 1.1(二)

2.变量 x,y 的散点图如图所示,那么 x,y 之间的样本相关系 数 r 最接近的值为
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( C )

A.1 C.0

B.-0.5 D.0.5

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§ 1.1(二)

3.变量 x 与 y 之间的回归方程表示
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( D )

A.x 与 y 之间的函数关系 B.x 与 y 之间的不确定性关系 C.x 与 y 之间的真实关系形式 D.x 与 y 之间的真实关系达到最大限度的吻合

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§ 1.1(二)

通过变量置换转化为线 4.非线性回归分析的解题思路是______________________
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性回归分析



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§ 1.1(二)

非线性回归问题的处理方法 (1)指数函数型 y=ebx
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+a

①函数 y=ebx+a 的图象:

②处理方法:两边取对数得 ln y=ln ebx a,即 ln y=bx+a.令 z


=ln y,把原始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型 的方法求出 b,a.

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§ 1.1(二)

(2)对数曲线型 y=bln x+a ①函数 y=bln x+a 的图象:
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②处理方法:设 x′=ln x,原方程可化为 y=bx′+a, 再根据线性回归模型的方法求出 a,b. (3)y=bx2+a 型 处理方法:设 x′=x2,原方程可化为 y=bx′+a,再根据线 性回归模型的方法求出 a,b.


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