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1.1空间几何体的结构及三视图、直观图习题练习


1 .柱、锥、台、球的结构特征
几何体 几何特征 图形

多面体
有两个面互相平行,其余 各面都是四边形,并且每 相邻两个四边形的公共边 都互相平行 有一个面是多边形,其余 各面都是有一个公共顶点 的三角形 用一个平行于棱锥底面的 平面去截棱锥,底面与截 面之间的部分,叫做棱台

棱柱

棱锥

棱台

几何体 旋转体 圆柱

几何特征 以矩形的一边所在的直线为旋转 轴,其余三边旋转形成的面所围 成的旋转体叫做圆柱 以直角三角形的一直角边所在的 直线为旋转轴,其余两边旋转形 成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用一个平行于圆锥底面的平面去 截圆锥,底面与截面之间的部分, 叫做圆台 以半圆的直径所在的直线为旋转 轴,半圆面旋转一周形成的旋转 体叫做球体

图形

圆锥

圆台



1.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底 角为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯形,则这个平面图形的 面积是( 1 2 A. + 2 2 C.1+ 2 ) 2 B.1+ 2 D.2+ 2

【解析】 设直观图为 O′A′B′C′,建立如图所示 的坐标系,按照斜二测画法的规则,在原来的平面图 2 形中 OC⊥OA,且 OC=2,OA=1+2× 2 =1+ 2, 1 故其面积为2×(1+1+ 2)×2=2+ 2.

3.如图, O 为正方体 ABCD-A′B′C′D′的 点 中心,点 E 为平面 B′BCC′的中心,点 F 为 B′C′的 中点,则空间四边形 D′OEF 在该正方体的面上的正投 影可能是 (填出所有可能的序号).

【解析】空间四边形 D′OEF 在平面 ABB′A′上的正 投影为①, 在平面 ADD′A′上的正投影为②, 在平面 ABCD 上的正投影为③,故填①②③.

3.某几何体的直观图如图所示, 该几何体的主(正)视图和左 (侧)视图都正确的是 ?
A

?
B

C

D

解析: 视图应有一条实对角线, 且对角线应由上到下,左视时, 看到一个矩形,且不能有实对角线, 故淘汰A、D,故选B.

4.三视图如下图的几何体是

(B )

A.三棱锥
C.四棱台 解析

B.四棱锥
D.三棱台

由三视图知该几何体为一四棱锥,其中

有一侧棱垂直于底面,底面为一直角梯形.故选B.

5.一个边长为 4 的等边三角形的斜二测直观图的 面积为 .

【解析】等边三角形的高为 2 3,在斜二测直观图上对 应的边长为 3,等边三角形的斜二测直观图是一个三角形, 2 6 其底面边长为 4,高为 2 × 3= 2 , 1 6 所以面积为2×4× 2 = 6.

素材2

用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示 的一个正方形,则原来的图形是( )

【解析】 按照斜二测画法的作图规则, 对四个选项逐 一验证,可知只有选项 A 符合题意.

例3 (2011 年亳州质检)已知正三角形 ABC 的边长

为 a, 那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面 积为( ) 3 2 3 2 A. a B. a 2 3 6 2 6 2 C. a D. a 8 16

【思路点拨】根据直观图的画法规则求出
△A′B′C′的高即可.

【解析】 如图所示,正三角形ABC的实际 图形和直观图.

5.已知△ABC的直观图是边长为a的等边△A1B1C1 (如
图),那么原三角形的面积为 ( )

A.

3 2 a 2

B. 3 a 2 4 D. 6a 2

C. 6 a 2 2

解析

在原图与直观图中有OB=O1B1,BC=B1C1.

在直观图中,过A1作A1D1⊥B1C1,
因为△A1B1C1是等边三角形,
3 a, 2 在Rt△A1O1D1中,∵∠A1O1D1=45°,

所以A1D1=

6 a, 2 根据直观图画法规则知: ? 2O1 A1 ? 2 ? 6 a ? 6a, OA 2 ∴△ABC的面积为 1 ? a ? 6a ? 6 a 2 . 2 2 答案 C

∴O1A1=

3.如图,△ O′A′B′是水平放置的△OAB的直 观图,则△OAB的面积是________.

解析:按斜二测画法,将直观图中 △O′A′B′还原成原图形,即△OAB(如 1 图),则△OAB 的面积是 S= ×6×4=12. 2

答案:12

变式训练2 如图所示,ABCD是一平面图形的 水平放置的斜二测直观图,在斜二测直观图中, ABCD是一直角梯形,AB∥CD,AD⊥CD,且 BC与y轴平行,若AB=6,DC=4,AD=2,则 这个平面图形的实际面积是________.

解析:由斜二测直观图画法规则知该平面图形 是梯形, AB 与 CD 的长度不变, 且 仍为 6 和 4, 1 高 CB 为 4 2,故面积为 (6+4)×4 2=20 2. 2

答案:20 2

5.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB= 2 ,下
底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画 法画出的直观图A′B′C′D′的面积为 解析
2 2

.

1 2 ? OE ? ( 2 ) ? 1 ? 1,? O?E ? ? , E ' F ? , 2 4 1 2 2 ? 直观图A?B?C ?D?的面积为S ? ? ? (1 ? 3) ? ? . 2 4 2
2



三视图

【例 3】如图,正四棱锥 P-ABCD(底面是正方形,顶点 在底面的射影是底面的中心)的底面边长为 6cm,侧棱长为 5cm,则它的正视图的面积等于( A.3 7 C.12 B.6 7 D.24 )

【解析】正视图底边长为 6cm,两腰分别是侧面 PAB 和 PBC 所在三角形的高(斜高)组成的等腰三角形,腰长为 l= 52-32=4,高为 h= 42-32= 7, 1 所以,面积为 S=2×6× 7=3 7.

知能迁移3

一个几何体的三视图如图所示,其中正 (B )

视图与侧视图都是边长为2的正三角形,则这个几
何体的侧面积为

A. 3 π

解析

3

B. 2 π

C.3 π

D. 4 π

由三视图知,该几何体为一圆锥,其中

底面直径为2,母线长为2,S侧=π rl =π ×1×2=2π .

变式训练 1 (2010 年高考陕西卷)若某空间几 何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( ) A.2 B.1 2 1 C. D. 3 3

解析:选 B.由三视图可知,它表示的是一放 倒的底面是一直角边为 2,另一直角边为 1 的直角三角形,高为 2的直三棱柱,所以体 1 积为 V= × 2×1× 2=1.故选 B. 2

素材3

(2012· 江门一模)一个体积为 12 3的正三棱柱的三视 图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为( )

A.6 3 C.8 3

B.8 D.12

【解析】 设正三棱柱的底面正三角形边长为 a, 高为 h, 3 3 2 则 2 a=2 3,a=4,由 4 a h=12 3,得 h=3, 故三棱柱的左视图的面积为 h×2 3=6 3,选 A.

真题透析
例 (2010年高考天津卷)一个几何体的三视图如

图所示,则这个几何体的体积为________.

【解析】 由三视图可知本题的几何体是:下面 是一个正四棱柱,上面是一个正四棱锥.于是可 1 10 以得到体积是 1×1×2+ ×2×2×1= . 3 3 10 【答案】 3 【误区警示】 解本题易出现的错误有:(1)还 原空间几何体的形状时出错,不能根据俯视图 得出上面是一个正四棱锥;(2)体积公式用错, 1 漏掉锥体体积公式前的“ ”. 3

题型三

几何体的三视图

【例3】 (2009·山东,4)一空间几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 2 π? 2 3 C. 2 π? 2 3
3

B. 4 π? 2 3 D. 4 π? 2 3
3

思维启迪 由几何体的三视图,画出几何体的直 观图,然后利用体积公式求解.

解析

该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成,

圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π ,四棱锥 的底面边长为 2 ,高为 3 ,所以体积为 1 ? ( 2 ) 2 ? 3
2 3 2 3 所以该几何体的体积为 2 π? . 3? , 3 3 答案 C

探究提高 通过三视图间接给出几何体的形状,打

破以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关 运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何体 有机结合,这也体现了新课标的思想.

9.(2009·天津文,12)如图是一个几何体的三
视图.若它的体积是3 3 ,则a=

3.

解析

由三视图可知,此几何体为直三棱柱,

其底面为一边长为2,高为a的等腰三角形.由棱 柱的体积公式得
1 ? 2 ? a ? 3 ? 3 3, 所以a ? 3. 2

11.正四棱锥的高为 3,侧棱长为 7 ,求侧面上斜高 (棱锥侧面三角形的高)为多少? 解 如图所示,正四棱锥S-ABCD中高OS= , 7 , 3 侧棱SA=SB=SC=SD= 在Rt△SOA中, OA=

SA2 ? OS 2 ? 2∴AC=4. ,

∴AB=BC=CD=DA=2

.2 作OE⊥AB于E,则E为AB中点. 连接SE,则SE即为斜高,则SO⊥OE. 在Rt△SOE中,
1 ? OE ? BC ? 2, SO ? 3, 2

∴SE= 5 ,即侧面上的斜高为 5 .

2.空间几何体的表面积与体积 (1)旋转体的表面积 ①圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l); ②圆锥的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l); ③圆台的表面积S=π(r′2+r2+r′l+rl). (2)多面体的表面积等于各个面的面积之和. (3)柱体、锥体与台体的体积 ①柱体的体积:V=Sh;
1 ②锥体的体积:V= Sh; 3 1 ③台体的体积:V= 3 S? ? S?S ? S h.

?

?

(4)球的表面积和体积 ①球的表面积:S=4πR2;
4 ②球的体积:V= πR3. 3



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