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2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用):指数函数(新人教A版)


第五节 指数函数

三年5考 1.了解指数函数模型的实际背景;

高考指数:★★

2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂 的运算; 3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函 数图象通过的特殊点; 4.知道指数函数是一类重要的函数模型.

1.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点.
2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题, 考查分类

讨论思想和数形结合思想.
3.多以选择、填空题形式出现,但若以e为底的指数函数与导数 交汇命题则以解答题形式出现.

1.根式 (1)根式的概念 xn=a 若______,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子 根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
n

a 叫做

(2)根式的性质

①a的n次方根的表示
? x ? n a (当n为奇数且n ? N *时) ? xn ? a ? ? n ? x ? ? a ?当n为偶数且n ? N *时 ? . ?

a ② ( n a )n ? ____. (n∈N*)

?a (a ? 0) ? a ③当n为奇数时, n a n =___; 当n为偶数时,n a n =|a|=__________. ??a (a<0)

【即时应用】

(1)若x4=16,则x的值为________.
(2)化简下列各式结果分别为:
① 3 (?4)3 ? ______; ③ 3 (a ? 2)3 ? ______; ⑤ 6 (1 ? a)6 ? _______; ② 4 (?4) 4 ? _______; ④ (a ? b) 2 ? _______; ⑥ 4 (3 ? ?) 4 ? _________.

【解析】(1) x ? ? 4 16 ? ?2. 答案:(1)〒2 (2)①-4 ②4 ③a-2
?a ? b ④ ?0 ? ?b ? a ? a>b a?b a<b

1 ?1 ? a a< ⑤ ?0 a ?1 ? ?a ? 1 a>1 ?

⑥π-3

2.有理指数幂 (1)分数指数幂的含义
n m a ①正分数指数幂:a ? _____ (a>0,m、n∈N*,且n>1);
m n

1

②负分数指数幂:

a

m ? n

? ____ ? _____ a a
n m

m n

1

(a>0,m、n∈N*,且n>1).

没有意义 ③0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂__________. 0

(2)有理数指数幂的运算性质 ar+s ①ar·as= _______(a>0,r、s∈Q);

ars ②(ar)s= _______(a>0,r、s∈Q);
a rb r ③(ab)r= ________(a>0,b>0,r∈Q). 上述有理数指数幂的运算性质,对于无理数指数幂也适用.

【即时应用】
(1)判断下列根式与分数指数幂的互化是否正确(请在括号中填

“√”或“×”)
① ? x ? ? ?x ? ② x ? ?3 x
x ?3 4 y 3 ③ ( ) 4 ? ( ) (x、y ? 0) y x
? 1 3

1 2

( ( ( (

) ) ) )



6

x ? x (x<0)
2

1 3

(2)化简

4

16x 8 y 4 (x<0, y<0) 得___________.

(3)化简 ( 3 6 a 9 )4 ?( 6 3 a 9 )4 的结果是_________.

【解析】(2) 4 16x 8 y 4 ? (16x 8 ?y )

1 4 4

= 16 ?(x ) ?(y )

1 4

1 8 4

1 4 4

=2x2|y|=-2x2y. (3)原式= (a ) ?(a ) 答案:(1)①〓 (2)-2x2y
9 1 ?4 6 3 9 1 ?4 3 6

? a 4.

②〓

③√

④〓

(3)a4

3.指数函数的概念:

y=ax(a>0,且a≠1) (1)解析式:____________________.
x (2)自变量:____.

R (3)定义域:____.

【即时应用】 (1)判断下列函数是否为指数函数(在括号中填“是”或“否”) ①y=3×2x; ② y ? 2x ③y=ax; ④y=(2a-1)x(a> 1 且a≠1).
2
2

( ( ( (

) ) ) )

?1

;

(2)若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则实数a的值为_______.

?a 2 ? 3a ? 3 ? 1 【解析】(2)由已知 ? , 解得:a=2. ?a>0且a ? 1

答案:(1)①否 ②否 (2)2

③否

④是

4.指数函数的图象与性质

a>1

0<a<1

图象

a>1 定义域 值域 R ________ ________ (0,+∞) 过定点 ________ (0,1)

0<a<1

性质

y>1 当x>0时,______; 0<y<1 当x<0时,________ 增函数 在R上是________

0<y<1 当x>0时,________;

y>1 当x<0时,________
减函数 在R上是______

【即时应用】 (1)如图是指数函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象,

则a、b、c、d与1的大小关系是__________.

(2)函数f(x)=3-x-1的定义域、值域分别是_______.
(3)设y1=40.9,y2=80.48, y3 ? ( 1 ) ?1.5 , 则y1,y2,y3的大小关系为
2

__________ .
(4)函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 a ,
2

则a的值为________. (5)函数y=ax-2
012+2

012(a>0,且a≠1)的图象恒过定点______.

【解析】(1)在图中画出直线x=1,分别与①②③④交于A、B、

C、D四点,是A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),由图象可知c>
d>1>a>b.

(2) f ? x ? ? ( 1 ) x ? 1, 定义域为R,
3

≧ ( 1 ) x ? 1> ? 1, 故值域为(-1,+≦).
3

(3)y1=40.9=21.8,y2=80.48=(23)0.48=21.44,y3=21.5, ≧函数y=2x是增函数, 又≧1.8>1.5>1.44, ?y1>y3>y2.

(4)当0<a<1时,有 a1 ? a 2 ? a , 解得:a ? 1 ;
2

当a>1时,有 a 2 ? a1 ? a , 解得:a ? .
2

3 2

2

(5)≧y=ax(a>0且a≠1)恒过定点(0,1), ?y=ax-2
012+2

012恒过定点(2 012,2 013).

答案:(1)b<a<1<d<c
(3)y1>y3>y2

(2)R,(-1,+≦)
(4) 1 或 3
2 2

(5)(2 012,2 013)

幂的运算 【方法点睛】幂的运算的一般规律及要求 (1)分数指数幂与根式根据 以相互转化.
a ? a
n m n m

(a>0,m,n∈N*,且n>1)可

(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将 a 写成 a 等必须认真考查a的取值才能决定,如 (?1) ? 4 (?1) 2 ? 1, 而
(?1) ? ?1 无意义.
1 2

2 4

1 2

2 4

(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小

数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.

【例1】计算下列各式的值. (1) ? 0.008 1? (2)
1 4 1 2 4

?

1 4

7 0 ?1 3 ?3 ?1 ?0.25 ? [3 ? ( ) ] ? [81 ? (3 ) ] 2 ? 10 ? 0.027 3 ; 8 8
1 3

1

1

a 3b 2 3 ab 2 (a b ) a b
? 1 3

? a>0,b>0 ?.

【解题指南】先将根式化为分数指数幂,底数为小数的化成分
数,负分数指数化为正分数指数;然后根据幂的运算性质进行

计算.

3 4 ?1 3 ?1 ? 1 ?1 【规范解答】(1)原式=[( ) ] 4 ? ? 3 ?1? ? [3?1 ? ( ) ] 2 ? 10 ? [( 3 )3 ]3 10 2 10 3 ?1 1 1 2 ? 1 3 10 1 ? ( ) ? ? ( ? ) 2 ? 10 ? ? ? ? 3 ? 0. 10 3 3 3 10 3 3

1

(2)原式= (a b a b )
ab 2 a ?b
? 1 3 1 3

3 2

1 3

2 1 3 2

?a

3 1 1 ? ?1? 2 6 3

?b

1 1 1? ? 2? 3 3

a ? ab ?1 ? . b

【反思·感悟】指数幂的一般运算步骤:有括号先算括号里的,

无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的
倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底

数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂,
尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.

指数函数图象的应用 【方法点睛】(1)应用指数函数图象研究指数型函数的性质:

对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点
等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换

得到其图象,然后数形结合使问题得解.

(2)利用图象解指数型方程、不等式: 一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型

函数图象数形结合求解.
【提醒】在利用指数函数图象解决上述问题时,图象形状、变

化趋势及经过的特殊点要准确,否则数形结合时易产生失误.

【例2】已知f(x)=|2x-1| (1)求f(x)的单调区间. (2)比较f(x+1)与f(x)的大小. (3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数.

【解题指南】(1)作出f(x)的图象,数形结合求解.
(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象,数形结合求解. (3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求 解.

? 2 x ? 1, x ? 0 【规范解答】(1)由f(x)=|2x-1|= ? . ? x ?1 ? 2 , x<0 ?

可作出函数的图象如图.因此函数f(x)在(-≦,0)上递减; 函数f(x)在(0,+≦)上递增.

(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象,如图 所示.

由图象知,当 2x ?1 ? 1 ?| 2x ? 1| 时,解得 x 0 ? log 2 ,
0 0

2 3

两图象相交,从图象可见,当x< log 2 2 时,f(x)>f(x+1);
3

当x= log 2 2 时,f(x)=f(x+1);

3 2 当x> log 2 时,f(x)<f(x+1). 3

(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点问
题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图象如

图所示,有四个交点, 故g(x)有四个零点.

【反思·感悟】求解指数型函数的单调性、最值、零点及指数 型方程、不等式问题时能用数形结合的尽量用数形结合法求解, 但要注意画出的函数图象的基本特征必须要准确,否则很容易 失误,如本例(3).

指数函数性质的应用 【方法点睛】利用指数函数的性质可求解的问题及方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.

(2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最值)、单调
性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解这些问题

的方法一致,只需根据条件灵活选择即可.

【例3】(1)函数 y ? 32x ?1 ? 1 的定义域是_________. (2)函数 f (x) ? ( 1 ) ? x
3

27

2

? 4x ? 3

的单调递减区间为___________,值域

为___________.
a x ?1 (3)(2012·金华模拟)已知函数 f (x) ? x (a>0且a ? 1) a ?1

①求f(x)的定义域和值域; ②讨论f(x)的奇偶性; ③讨论f(x)的单调性.

【解题指南】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的
求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解.

【规范解答】(1)由题意知 32x ?1 ? 1 ? 0,
27

?32x-1≥3-3,?2x-1≥-3, ?x≥-1,即定义域是[-1,+≦). 答案:[-1,+≦)

(2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-≦,-2)上
单调递增,在(-2,+≦)上单调递减,而 y ? ( 1 ) t 在R上为
3

单调递减,所以f(x)在(-≦,-2)上单调递减.又g(x)=-(x+2)2
+7≤7,?f(x)≥( )7=3-7. 答案:(-≦,-2) [3-7,+≦)
1 3

(3)①f(x)的定义域是R,
y ?1 a x ?1 得 x 令 y? x , a ?? , y ?1 a ?1 ≧ax>0,? ? y ? 1>0 ,解得-1<y<1, y ?1

?f(x)的值域为{y|-1<y<1}.
a ?x ?1 1 ? a x ②≧ f ? ? x ? ? ? x ? ? ?f ? x ? , x a ?1 1? a

?f(x)是奇函数.

(a x ? 1) ? 2 2 ③ f ?x? ? ? 1? x , x a ?1 a ?1

设x1,x2是R上任意两个实数,且x1<x2,
2 2 2(a x1 ? a x 2 ) 则f(x1)-f(x2)= x ? x1 ? x1 . x2 2 a ? 1 a ? 1 (a ? 1)(a ? 1)

≧x1<x2,?当a>1时, a x >a x >0,
2 1

从而 a x ? 1 0,a x ? 1 0,a x ? a x <0, > >
1 2 1 2

?f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),f(x)为R上的增函数.

当0<a<1时, a x >a x >0,
1 2

从而 a x ? 1 0,a x ? 1 0,a x ? a x >0, > >
1 2 1 2

?f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),f(x)为R上的减函数.

【反思·感悟】在求解与指数函数有关的函数的性质问题时,

要根据解析式的结构特征,选择适当的方法求解,但对复合函数
一定要注意其定义域.

【易错误区】指数函数图象、性质的应用误区 【典例】(2012·广州模拟)已知函数 y ? b ? a x
2
2

? 2x

(a,b是常数

且a>0,a≠1)在区间[ ? 3 ,0]上有ymax=3,ymin= 5 ,试求a、b
2

的值.

【解题指南】先确定t=x2+2x在[ ? 3 ,0]上的值域,
2

再分a>1,0<a<1两种情况讨论,构建a、b的方程组求解. 【规范解答】≧x∈[ ? 3 ,0],?t=x2+2x=(x+1)2-1,
2

值域为[-1,0],即t∈[-1,0].
(1)若a>1,函数y=at在[-1,0]上为增函数,?at∈[ 1 ,1],
a

1 5 ? ?a ? 2 1 ?b ? ? x ? 2x 则 b?a 依题意得 ? a 2 , 解得 ? . ? [b ? , b ? 1], a ?b ? 2 ?b ? 1 ? 3 ?
2

(2)若0<a<1,函数y=at在[-1,0]上为减函数,

?at∈[1,

1 2 ],则 b ? a x ? 2x ? [b ? 1, b ? 1 ], a a

2 ? 1 ? a? ? ?b ? a ? 3 ? 3 ? . , 解得 ? 依题意得 ? ?b ? 3 ?b ? 1 ? 5 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ?a ? 2 ?a ? 3 综上,所求a,b的值为 ? 或? . ? b?2 ? ?b ? 3 ? 2 ?

【阅卷人点拨】通过对试题及阅卷数据分析,我们可以得 到以下误区警示和备考建议: 误 在解答本题时,有两大误区


警 示

(1)误将x的范围当成x2+2x的范围,从而造成失误.
(2)误认为a>1,只按第(1)种情况求解,而忽略了 0<a<1的情况,从而造成失误.

利用指数函数的图象、性质解决有关问题时,还有以 备 考 建 议 下几个误区,在备考中要高度关注: (1)忽视函数的定义域而失误; (2)未能将讨论的结果进行整合而失误; (3)利用幂的运算性质化简指数式时失误; (4)在用换元法时忽视中间元的范围而失误.

1.(2011·山东高考)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则 tan a?
6

的值为( (A)0

) (B) 3
3

(C)1

(D) 3

【解析】选D.因为点(a,9)在函数y=3x的图象上,所以3a=9,a=2, 所以 tan 2? ? 3.
6

?21?x , x ? 1 2.(2011·辽宁高考)设函数 f ? x ? ? ? 则满足 1, ?1 ? log 2 x, x>

f(x)≤2的x的取值范围是( (A)[-1,2] (C)[1,+∞)

)

(B)[0,2] (D)[0,+∞)

【解析】选D.若x≤1,则21-x≤2,解得0≤x≤1;若x>1,则1log2x≤2,解得x>1,综上,x≥0.故选D.

3.(2011·湖北高考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x) 满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=( (A)ex-e-x (C) 1 (e ? x ? e x )
2

)

(B) 1 (e x ? e ? x )
2 (D) 1 (e x ? e ? x ) 2

【解析】选D.≧f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
?f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),

?f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e-x,
又≧f(x)+g(x)=ex,?
ex ? e? x g?x? ? . 2

4.(2012·佛山模拟)当a≠0时,函数y=ax+b和y=bax的图象只可

能是下图中的(

)

【解析】选A.当b>1,a>0时,y=bax为增函数.而直线y=ax+b与 y轴交点应为(0,b).b>1,?D不对.又C中a<0,也不对.当0<b <1时,直线y=ax+b与y轴交点应为(0,b),0<b<1.?B不对,故 选A.

5.(2012·沈阳模拟)类比“两角和与差的正、余弦公式”的
a x ? a ?x a x ? a ?x 形式,对于给定的两个函数, ? x ? ? S ,C ? x ? ? , 2 2

其中a>0,且a≠1,下面正确的运算公式是( ①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);

)

②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);
③C(x-y)=C(x)C(y)-S(x)S(y); ④C(x+y)=C(x)C(y)+S(x)S(y). (A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)①②③④

【解析】选D.≧S(x)C(y)+C(x)S(y)
a x ? a ?x a y ? a ?y a x ? a ?x a y ? a ?y ? ? ? ? 2 2 2 2 a x?y ? a x?y ? a ? x?y ? a ? x?y a x?y ? a x?y ? a ? x?y ? a ? x?y ? ? 4 4 a x?y ? a ? x?y ? ? S ? x ? y ?, 2

?①成立; 同理可验证②③④也成立.


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