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高中数学完整讲义——概率


高中数学讲义

板块一.古典概型

知识内容
版块一:古典概型
1.古典概型: 如果一个试验有以下两个特征: ⑴ 有限性:一次试验出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件; ⑵ 等可能性:每个基本事件发生的可能性是均等的. 称这样的试验为古典概型. 2.概率的古典定义:
随机事件 A 的概率定义为 P( A) ?
事件A包含的基本事件数 . 试验的基本事件总数

版块二:几何概型
几何概型 事件 A 理解为区域 ? 的某一子区域 A , A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正 比,而与 A 的位置和形状无关,满足此条件的试验称为几何概型. ? 几何概型中,事件 A 的概率定义为 P ( A) ? A ,其中 ?? 表示区域 ? 的几何度量, ? A 表示区域 A 的几 ?? 何度量.

典例分析
题型一 基础题型
3, 6, 8, 16 路公共汽车都要依靠的一个站(假设这个站只能停靠一辆汽车) 【例1】 在第 1 , ,有一

位乘客等候第 6 路或第 16 路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等,则首先 到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____

【例2】 (2010 崇文一模) 从 52 张扑克牌(没有大小王)中随机的抽一张牌,这张牌是 J 或 Q 或 K 的概率为_______.

【例3】 (2010 上海卷高考) 从一副混合后的扑克牌( 52 张)中随机抽取 1 张, ,事件 A 为“抽得红桃 K”,事件 B 为“抽得 为黑桃”,则概率 P( A B) ? (结果用最简分数表示) .

思维的发掘

能力的飞跃

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【例4】 (2010 湖北高考) 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A ,“骰于向上的点数是 3”为事件 B ,则事件 A , B 中至少有一件发生的概率是 5 1 7 3 A. B. C. D. 12 2 12 4

【例5】 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位,乙正好坐中间的概率为(



A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

【例6】 甲、乙、丙三人在 3 天节日中值班,每人值班 1 天,则甲紧接着排在乙后面值班的概率是

( ) 1 A. 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

【例7】 今后三天每一天下雨的概率都为 50% ,这三天恰有两天下雨的概率为多少?

【例8】 某学生做两道选择题,已知每道题均有 4 个选项,其中有且只有一个正确答案,该学生随

意填写两个答案,则两个答案都选错的概率为



【例9】 现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1 , A2 , A3 通晓日语, B1 , B2 , B3 通晓俄语,C1 , C2 通

晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组. ⑴ 求 A1 被选中的概率; ⑵ 求 B1 和 C1 全被选中的概率.

2

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能力的飞跃

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【例10】 (2009 江西 10)

甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这 4 个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 2 3

【例11】 一个各面都涂有色彩的正方体,被锯成 1000 个同样大小的小正方体,将这些正方体混合

后,从中任取一个小正方体,求: ⑴ 有一面涂有色彩的概率;⑵ 有两面涂有色彩的概率;⑶ 有三面涂有色彩的概率.

题型二 中档题的常见载体模型
扔骰子硬币 【例12】 将一枚硬币连续投掷三次,连续三次都得正面朝上的概率是多少?

【例13】 将一枚硬币连续投掷三次,恰有两次正面朝上的概率是多少?

11, 10 的概率依次是 P P2 , P3 ,则( 【例14】 先后抛掷两颗骰子,设出现的点数之和是 12 , 1,



A. P 1 ? P 2 ? P 3 C. P 1 ? P 2 ? P 3

B. P 1 ? P 2 ? P 3 D. P 1 ? P 2 ? P 3

【例15】 (08 江苏)

若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和为 4 的概率 为 .

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【例16】 ( 05 广东) 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子 (它们的六个面分别标有点数 1, , 2, 3, 4, 5, 6)
Y ,则 log 2 X Y ? 1 的概率为( 骰子朝上的面的点数分别为 X ,



A.

1 6

B.

5 36

C.

1 12

D.

1 2

【例17】 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m , n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆 x 2 ? y 2 ? 16 内

的概率是



【例18】 同时抛掷两枚骰子,

⑴ 求得到的两个点数成两倍关系的概率; ⑵ 求点数之和为 8 的概率; ⑶ 求至少出现一个 5 点或 6 点的概率.

【例19】 某中学高一年级有 12 个班,要从中选两个班代表学校参加某项活动,由于某种原因,一

班必须参加,另外再从二到十二班中选一个班.有人提议用如下的方法:掷两个骰子得到 的点数和是几,就选几班,你认为这种方法公平吗?并说明理由.

4

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摸球 【例20】 (2009 重庆 6) 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特征完 全相同.从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( ) 8 25 48 60 A. B. C. D. 91 91 91 91

【例21】 口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只白球, 2 只黑球,从中一次摸出两个球,

⑴ 写出基本事件空间,并求共有多少个基本事件? ⑵ 摸出来的两只球都是白球的概率是多少? ⑶ 摸出来的两只球颜色不同的概率为多少?

【例22】 (2010 朝阳一模) 袋子中装有编号为 a , b 的 2 个黑球和编号为 c, d , e 的 3 个红球,从中任意摸出 2 个球. ⑴写出所有不同的结果; ⑵求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率; ⑶求至少摸出 1 个黑球的概率.

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【例23】 盒中有 6 只灯泡, 其中有 2 只是次品, 4 只是正品. 从中任取 2 只, 试求下列事件的概率.

⑴ 取到的 2 只都是次品;⑵ 取到的 2 只中恰有一只次品.

【例24】 有 4 个红球,3 个黄球,3 个白球装在袋中,小球的形状、大小相同,从中任取两个小球,

求取出两个同色球的概率是多少?

【例25】 袋中装有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只,从中每次任取 1 只,有放回地抽取 3 次,求:⑴3

只全是红球的概率,⑵3 只颜色全相同的概率, ⑶3 只颜色不全相同的概率,⑷3 只颜色全不相同的概率.

【例26】 袋里装有 30 个球,每个球上都记有 1 到 30 的一个号码, 设号码为 n 的球的重量为

n2 44 (克) . 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出. ? 4n ? 3 3 ⑴ 如果任意取出 1 球,求其号码是 3 的倍数的概率.

⑵ 如果任意取出 1 球,求重量不大于号其码的概率; ⑶ 如果同时任意取出 2 球, 试求它们重量相同的概率.

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【例27】 在 10 个球中有 6 个红球,4 个白球(各不相同),不放回的依次摸出 2 个球,在第 1 次

摸出红球的条件下,第 2 次也摸出红球的概率是( ) 2 3 5 A. B. C. 3 5 9

D.

1 3

【例28】 一个袋子中装有 m 个红球和 n 个白球( m ? n ≥ 4 ) ,它们除颜色不同外,其余都相同,现

从中任取两个球. ⑴ 若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍,求证: m 必为奇数; ⑵ 若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率,求满足 m ? n ≤ 20 的所 n) . 有数组 (m ,

【例29】 (2006 年浙江卷) 甲、 乙两袋装有大小相同的红球和白球, 甲袋装有 2 个红球,2 个白球;

乙袋装有 2 个红球, n 个白球.由甲,乙两袋中各任取 2 个球. ⑴ 若 n ? 3 ,求取到的 4 个球全是红球的概率; 3 ⑵ 若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为 ,求 n . 4

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数字计算 【例30】 用 2、3、4 组成无重复数字的三位数,这些数被 4 整除的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 3 5

【例31】 任意写一个无重复数字的三位数,其中十位上的数字最小的概率是(



A.

10 27

B.

1 3

C.

1 6

D.

7 54

【例32】 (08 辽宁)
2, 3, 4 ,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上 4 张卡片上分别写有数字 1 ,

的数字之和为奇数的概率为( 1 1 A. B. 2 3

) C.
2 3

D.

3 4

3 ,4 , 5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位 【例33】 (2006 年北京卷理)在 1,2 ,

数字之和为奇数的共有( ) A. 36 个 B. 24 个

C. 18 个

D. 6 个

3 ,4 , 5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数 【例34】 (2007 年上海卷文)在五个数字 1,2 ,

字都是奇数的概率是

(结果用数值表示) .

2, 3, 4, 5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复) 【例35】 ( 04 全国)从数字 1, ,组成一个三位数,其

各位数字之和等于 9 的概率为( 13 16 A. B. 125 125

) C.
18 125

D.

19 125

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2, 4, 6, 8 这五个数字中任取 2 个偶数,从 1, 3, 5, 7, 9 这五个数字中任取 1 个奇数, 【例36】 从 0 ,

组成没有重复数字的三位数,求其中恰好能被 5 整除的概率.

【例37】 电子钟一天显示的时间是从 00 : 00 到 23 : 59 的每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一

时刻的四个数字之和为 23 的概率为( 1 1 1 A. B. C. 180 288 360

) D.
1 480

2, , 18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人, 【例38】 在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1 ,

则选出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 51 68 306 408

【例39】 (2009 浙江 17)

有 20 张 卡 片 , 每 张 卡 片 上 分 别 标 有 两 个 连 续 的 自 然 数 k , k ? 1 , 其 中 k ?0 , 1 , 2 , , 1 9 20 张卡片中任取一张,记事件 “该卡片上两个数的各位数字之 .从这 和(例如:若取到标有 9 , 10 的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为 9 ? 1 ? 0 ? 10 ) 不小于 14 ”为 A ,则 P( A) ? _____________.

【例40】 在 900 张奖券(奖券号是 100 ? 999 )的三位自然数中抽一张奖券,若中奖的号码是仅有两

个数字的相同的奖券,求中奖面是多少?

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【例41】 某城市开展体育彩票有奖销售活动,号码从 000001 到 999999 ,购买时揭号对奖,若规定

从个位起,第一、三、五位是不同的奇数,第二、四、六位均为偶数(可以相同)时为中 奖号码,求中奖面所占的百分比.

【例42】 袋中装有 2 个 5 分硬币, 3 个二分硬币, 5 个一分硬币,任意抓取 3 个,则总面值超过 1 角

的概率是( 1 A. 15

) B.
2 15

C.

13 15

D.

14 15

【例43】 (2009 江苏)

现有 5 根竹竿,它们的长度(单位: m )分别为 2.5 , 2.6 , 2.7 , 2.8 , 2.9 ,若从中一次 随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为________.

【例44】 任取一正整数,求该数的平方的末位数是 1 的概率.

2, 5, 3, 7, 1 ,对奖票上的六个数字是从 0 ,, 1 2, , 9这 【例45】 摇奖器摇出的一组中奖号码为 8 ,

十个数字中任意选出六个不同数字组成的. 如果对奖票上的六个数字中至少有五个与摇奖 器摇出的号码相同(不计顺序)就可以得奖,则中奖的概率为( ) 1 1 4 5 A. B. C. D. 7 30 35 42

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能力的飞跃

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3 个标有数字 2 , 【例46】 甲乙两人各有相同的小球 10 个, 在每人的 10 个小球中都有 5 个标有数字 1 ,

2 个标有数字 3 .两人同时分别从自己的小球中任意抽取 1 个,规定:若抽取的两个小球 上的数字相同,则甲获胜,否则乙获胜,求乙获胜的概率.

【例47】 (2010 西城一模) 一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分别是 1 、 2 、 3 、 4 .现从盒子中 随机抽取卡片. ⑴若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率; ⑵若第一次抽 1 张卡片,放回后再抽取 1 张卡片,求两次抽取中至少一次抽到数字 3 的概率.

排列组合相关 【例48】 一只猴子随机敲击只有 26 个小写英文字母的练习键盘. 若每敲 1 次在屏幕上出现一个字 母,它连续敲击 10 次,屏幕上的 10 个字母依次排成一行,则出现单词“monkey”的概率为 ______ .

【例49】 已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A 、 B 两组,每组 4 支.求:

⑴A 、 B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; ⑵A 组中至少有两支弱队的概率.

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【例50】 某班数学兴趣小组有男生和女生各 3 名,现从中任选 2 名学生去参加校数学竞赛,求:

⑴ 恰有一名参赛学生是男生的概率; ⑵ 至少有一名参赛学生是男生的概率; ⑶ 至多有一名参赛学生是男生的概率.

【例51】 (2009 上海文)

若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者,则选出的志愿者 中男女生均不少于 1 名的概率是 (结果用最简分数表示) .

【例52】 有十张卡片,分别写有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 和 a 、 b 、 c 、 d 、 e ,

⑴ 从中任意抽取一张, ① 求抽出的一张是大写字母的概率;② 求抽出的一张是 A 或 a 的概率; ⑵ 若从中抽出两张, ③ 求抽出的两张都是大写字母的概率;④ 求抽出的两张不是同一个字母的概率;

【例53】 某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、 4 个法国人和 5 个中国人组成.现从中随机选出

两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 表示)

. (结果用分数

【例54】 (06 江西)将 7 个人(含甲、乙)分成三个组,一组 3 人,另两组 2 人,不同的分组数

为 a ,甲、乙分到同一组的概率为 p ,则 a , p 的值分别为(



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A. a ? 105 , p?
5 21

B. a ? 105 , p?

4 21

C. a ? 210 , p?

5 4 D. a ? 210 , p? 21 21

【例55】 (2009 江西 10)

为了庆祝六一儿童节, 某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片, 每袋食品随机装入一张卡片, 集齐 3 种卡片可获奖,现购买该种食品 5 袋,能获奖的概率为( ) 31 33 48 50 A. B. C. D. 81 81 81 81

【例56】 (2006 上海)

两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷 1 本,共 8 本.将它们任意地排 成一排,左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是______(结果用分数表示) .

【例57】 (2008 四川延 8)

在一次读书活动中,一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本,则所选 的书中既有科技书又有文艺书的概率为( ) 1 2 4 1 A. B. C. D. 2 3 5 5

【例58】 停车场有 10 个排成一排的车位,当有 7 辆车随意停放好后,恰好剩下三个空位连在一起的

概率为_______;

【例59】 6 个人坐到 9 个座位的一排位置上,则 3 个空位互不相邻的概率为



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能力的飞跃

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【例60】 右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到

信号,否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端 的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则 这五个接收器能同时接收到信号的概率是( )

A.

4 45

B.

1 36

C.

4 15

D.

8 15

【例61】 (2009 四川文)

为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向省外人士 发行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) ,某旅游公司 3 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游, 其中 是省外游客, 其余是省内游客, 4 2 1 在省外游客中有 持金卡,在省内游客中有 持银卡. 3 3 ⑴ 在该团中随即采访 2 名游客,求恰有 1 人持银卡的概率; ⑵ 在该团中随机采访 2 名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.

2, , n? 进行抽样,先将总体分成两个子总 【例62】 ( 08 湖南)对有 n(n ≥ 4) 个元素的总体 ?1, 2, ?1, , m? 和 ?m ? 1, m ? 2, , n? ( m 是给定的正整数,且 2 ≤ m ≤ n ? 2 ) ,再从每个子

总体中各随机抽取 2 个元素组成样本.用 P ij 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率,则
P 1n =

;所有 P ij (1 ≤ i ? j ≤ n) 的和等于



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题型三 结合其他知识的综合题及杂题
【例63】 已知 ?ABC 的三边是 10 以内(不包含 10 )的三个连续的正整数,求 ?ABC 是锐角三角形的

概率.

n) 与向量 b ? (1, ? 1) 的 【例64】 (07 湖北) 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n , 记向量 a = (m ,

π 夹角为 ? ,则 ? ? (0 , ] 的概率是( ) 2 5 1 7 A. B. C. 12 2 12

D.

5 6

【例65】 考虑一元二次方程 x 2 ? mx ? n ? 0 ,其中 m , n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出

现的点数,试求方程有实根的概率.

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【例66】 (07 四川)
1 4, 6, 8 中任取的一个数,b 为 1 , 3, 5, 7 中任 已知一组抛物线 y ? ax2 ? bx ? 1 , 其中 a 为 2 , 2 取的一个数, 从这些抛物线中任意抽取两条, 它们在与直线 x ? 1 交点处的切线相互平行的 概率是( ) 1 7 6 5 A. B. C. D. 12 60 25 16

【例67】 (2009 安徽)

考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任 意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 75 75 75 75

【例68】 从正二十边形的对角线中任取一条,则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为
_____ .

杂题 【例69】 某招呼站,每天均有 3 辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车.某天小曹准备在该 招呼站乘车前往北京办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上

16

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上等车,他将采取如下决策:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上 第三辆. ⑴ 共有多少个基本事件? ⑵ 小曹能乘上上等车的概率为多少?

【例70】 李明手中有五把钥匙,但忘记了开门的是哪一把,只好逐把试开,

⑴ 李明恰在第三次打开房门的概率是多大? ⑵ 李明三次内打开房门的概率是多大?

【例71】 张三和李四玩“棒子、老虎、鸡、虫子”的游戏(棒子打老虎,老虎吃鸡,鸡吃虫子,虫蛀

棒子) ,他们同时报其中一个的名字,如果出现的不是以上相邻的两个(比如出现老虎与 虫子) ,则算平局,求⑴ 出现平局的概率;⑵ 张三赢的概率.

【例72】 某单位一辆交通车载有 8 个职工从单位出发送他们下班回家,途中共有甲、乙、丙 3 个停

车点,如果某停车点无人下车,那么该车在这个点就不停车.假设每个职工在每个停车点 下车的可能性都是相等的,求下列事件的概率: ⑴ 该车在某停车点停车;⑵ 停车的次数不少于 2 次;⑶ 恰好停车 2 次.

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【例73】 (2010 石景山一模) 为援助汶川灾后重建, 对某项工程进行竞标, 共有 6 家企业参与竞标. 其中 A 企业来自辽宁省, B 、 C 两家企业来自福建省, D 、 E 、 F 三家企业来自河南省.此项工程需要两家企业联合 施工,假设每家企业中标的概率相同. ⑴企业 E 中标的概率是多少? ⑵在中标的企业中,至少有一家来自河南省的概率是多少?

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