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【课堂新坐标】2013届高三数学(理)一轮复习课时知能训练:第8章平面解析几何(共9套


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课时知能训练 1
一、选择题 1.若直线过(-2 3,9),(6 3,-15)两点,则直线的倾斜角为 ( ) A.60° B.120° C.45° D.135° -15-9 =- 3, 6 3+2 3

【解析】 设直线的倾斜角为 α,则 tan α= 又 0° ≤α<180° ,∴α=120° . 【答案】 B

2.已知 A(3,4),B(-1,0),则过 AB 的中点且倾斜角为 120° 的直 线方程是( ) A. 3x-y+2- 3=0 B. 3x-y+1-2 3=0 C. 3x+y-2- 3=0 D. 3x+3y-6- 3=0 【解析】 由题意可知 A、B 两点的中点坐标为(1,2),且所求直 线的斜率 k=tan 120° =- 3 ∴直线方程为 y-2=- 3(x-1),即 3x+y-2- 3=0. 【答案】 C 3. 如果 A· C<0, B· 且 C<0, 那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 由题意知 A· C≠0. B· A C 直线方程变为 y=-Bx-B , ∵A· C<0,B· C<0,∴A· B>0, A C ∴其斜率 k=-B<0,在 y 轴上的截距 b=-B >0, ∴直线过第一、二、四象限. 【答案】 C
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)

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4. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点, 则该定点的坐标是( A.(-2,1) B.(2,1) C.(1,-2) D.(1,2) 【解析】 mx-y+2m+1=0,即 m(x+2)-y+1=0.
?x+2=0 ?x=-2 ? ? ? 令 得? 故定点坐标为(-2,1). ?-y+1=0 ?y=1, ? ?

)

【答案】 A 5.已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),当 x<0 时,f(x)>1,方程 y 1 =ax+a表示的直线是( )

【解析】 由已知得,0<a<1,排除 A、D,和直线 y=x 相比 较知,选 C. 【答案】 C 二、填空题 6.直线 3x-2y+k=0 在两坐标轴上的截距之和为 2,则实数 k 的值是________. k k k 【解析】 令 y=0,得 x=-3;令 x=0,得 y=2,依题意,2- k 3=2,∴k=12. 【答案】 12

图 8-1-2 π π 7.如图 8-1-2,点 A、B 在函数 y=tan(4x-2)的图象上,则直 线 AB 的方程为________.
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【解析】 由图象可知 A(2,0),B(3,1), 由两点式得直线的方程为 【答案】 x-y-2=0 8.(2012· 潮州质检)已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(-1,1) 和 Q(2,2),若直线 l:y=kx-1 与线段 PQ 有交点,则斜率 k 的取值 范围是________. 【解析】 直线 l 过定点 M(0,-1),如图所示: y-1 x-3 = ,整理得 x-y-2=0. 0-1 2-3

2+1 3 1+1 kQM= 2 =2,kPM= =-2, -1 3 ∴当 k≥2或 k≤-2 时,直线 l 与线段 PQ 有交点. 3 【答案】 k≤-2 或 k≥2 三、解答题 9.过点 P(-1,-1)的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点, 若 P 恰为线段 AB 的中点,求直线 l 的斜率和倾斜角. 【解】 设 A(a,0),B(0,b),则

?a+0=-1, 2 ?0+b ? 2 =-1,

? ?a=-2 ∴? . ?b=-2 ?

-2-0 ∴A(-2,0),B(0,-2),∴kAB= =-1, 0-?-2? 故直线 l 的倾斜角为 135° . 10.过点 A(1,4)引一条直线 l,它与 x 轴,y 轴的正半轴交点分别 为(a,0)和(0,b),当 a+b 最小时,求直线 l 的方程.
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【解】 法一 由题意,设直线 l:y-4=k(x-1),k<0, 4 则 a=1-k ,b=4-k. 4 ∴a+b=5+(-k-k)≥5+4=9. 当且仅当 k=-2 时,取“=”. 故得 l 的方程为 y=-2x+6. x y 法二 设 l:a+b=1(a>0,b>0), 由于 l 经过点 A(1,4), 1 4 ∴a+b=1, 1 4 4a b ∴a+b=(a+b)·a+b)=5+ b +a≥9, ( 4a b 当且仅当 b =a时,即 b=2a 时,取“=”. 从而 a=3,b=6. x y ∴直线 l 的方程为3+6=1,即 y=-2x+6. 11.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 【解】 (1)当直线过原点时,在两坐标轴上的截距为零. ∴a=2,方程即为 3x+y=0. 当直线不过原点时,由截距存在且均不为 0, ∴ a-2 =a-2,则 a=0, a+1

∴方程为 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,
? ? ?-?a+1?>0, ?-?a+1?=0, ∴? 或? ?a-2≤0. ?a-2≤0. ? ?
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∴a≤-1. 综上可知 a 的取值范围是 a≤-1.

课时知能训练 2
一、选择题 1.(2012· 阳江模拟)已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称,则直线 l2 的斜率为( ) 1 1 A.2 B.-2 C.2

D.-2

【解析】 点 A(0,3),B(-1,1)在直线 l1 上,则点 A,B 关于直线 y=-x 的对称点 A′(-3,0),B′(-1,1)在直线 l2 上,故直线 l2 的斜 1-0 1 率 k= =2. -1-?-3? 【答案】 A 2.直线 mx+4y-2=0 与 2x-5y+n=0 垂直,垂足为(1,p),则 n 的值为( ) A.-12 B.-2 C.0 D.10 【解析】 由 2m-20=0 得 m=10, 由垂足(1,p)在直线 mx+4y-2=0 上得,10+4p-2=0, ∴p=-2,又垂足(1,-2)在直线 2x-5y+n=0 上, ∴2×1-5×(-2)+n=0,∴n=-12. 【答案】 A 3.若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的 中点坐标为(1,-1),则直线 l 的斜率为( 1 1 A.3 B.-3 C.3 D.-3 【解析】 )

?a+7=2, ? 设点 P(a,1), Q(7, b),则有 ? 解得 ? ?b+1=-2,

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全品高考网 gk.canpoint.cn ?a=-5, ? ? ?b=-3. ?

-3-1 1 故直线 l 的斜率为 =-3. 7+5 【答案】 B 4.光线沿直线 y=2x+1 射到直线 y=x 上,被 y=x 反射后的光 线所在的直线方程为( ) 1 1 1 A.y=2x-1 B.y=2x-2 1 1 1 C.y=2x+2 D.y=2x+1
?y=2x+1, ?x=-1, ? ? 【解析】 由? 得? 即直线过点(-1, -1). ? ? ?y=x. ?y=-1,

又直线 y=2x+1 上一点(0,1)关于直线 y=x 对称的点(1,0)在所求 直线上, ∴所求直线的方程 【答案】 B 5.(2011· 北京高考)已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在函数 y=x2 的图象上,则使得△ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为( A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】 设 C(t,t2),又 A(0,2),B(2,0) 则直线 AB 的方程为 y=-x+2. |t2+t-2| ∴点 C 到直线 AB 的距离 d= . 2 又∵|AB|=2 2, 1 ∴S△ABC=2×|AB|· 2+t-2|. d=|t 令|t2+t-2|=2 得 t2+t-2=± 2, ∴t2+t=0 或 t2+t-4=0,符合题意的 t 值有 4 个,故满足题意
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y-0 x-1 1 1 = ,即 y=2x-2. -1-0 -1-1

)

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的点 C 有 4 个. 【答案】 A 二、填空题 6.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是________ 1 【解析】 所求直线的斜率为2, 1 故所求的直线方程为 y=2(x-1),即 x-2y-1=0. 【答案】 x-2y-1=0 7.与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线方程是 ________. 【解析】 设所求直线方程为 2x+3y+m=0(m≠-6), |2-3-6| |2-3+m| 则有 = ,即|m-1|=7,∴m=8 22+32 22+32 故所求直线方程为 2x+3y+8=0. 【答案】 2x+3y+8=0 8.经过直线 3x-2y+1=0 和 x+3y+4=0 的交点,且垂直于直 线 x+3y+4=0 的直线 l 的方程为________. 【解析】
?3x-2y+1=0, ? 解方程组? 得交点坐标(-1,-1). ? ?x+3y+4=0,

又直线 l 的斜率 k=3. 所以 l 的方程为 y+1=3(x+1),即 3x-y+2=0. 【答案】 3x-y+2=0 三、解答题 9.已知直线 l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0 及点 P(3,4). (1)证明直线 l 过某定点,并求该定点的坐标. (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时,求直线 l 的方程. 【解】 (1)证明 l 的方程化为 a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0,
?2x+y+1=0 ?x=-2 ? ? 由? 得? , ? ? ?x+y-1=0, ?y=3
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∴直线 l 恒过定点(-2,3). (2)设直线 l 恒过定点 A(-2,3),当直线 l 垂直于直线 PA 时,点 P 4-3 1 到直线 l 的距离最大,又直线 PA 的斜率 kPA= = , 3+2 5 ∴直线 l 的斜率 kl=-5. 故直线 l 的方程为 y-3=-5(x+2),即 5x+y+7=0. 10.(2012· 宁波模拟)已知直线 l 经过直线 3x+4y-2=0 与直线 2x+y+2=0 的交点 P,且垂直于直线 x-2y-1=0. (1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S. 【解】
?3x+4y-2=0 ?x=-2 ? ? ? (1)由 解得? . ? ? ?2x+y+2=0 ?y=2

由于点 P 的坐标是(-2,2). 所求直线 l 与 x-2y-1=0 垂直, 可设直线 l 的方程为 2x+y+C=0. 把点 P 的坐标代入得 2×(-2)+2+C=0,即 C=2. 所求直线 l 的方程为 2x+y+2=0. (2)又直线 l 的方程 2x+y+2=0 在 x 轴、 轴上的截距分别是-1 y 与-2. 1 则直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积 S=2×1×2=1. 11.在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 P,使得 P 到 A(4,1)和 B(0, 4)的距离之差最大.

【解】 如图所示,设点 B 关于 l 的对称点为 B′,连结 AB′ 并延长交 l 于 P,此时的 P 满足|PA|-|PB|的值最大. 设 B′的坐标为(a,b),
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b-4 则 kBB′·l=-1,即 a · k 3=-1. ∴a+3b-12=0.① a b+4 a 又由于线段 BB′的中点坐标为(2, 2 ), 且在直线 l 上, ∴3×2 b+4 - 2 -1=0,即 3a-b-6=0.② ①②联立,解得 a=3,b=3,∴B′(3,3). 于是 AB′的方程为 即 2x+y-9=0.
? ? ?3x-y-1=0, ?x=2, 解? 得? ?2x+y-9=0, ?y=5, ? ?

y-1 x-4 = , 3-1 3-4

即 l 与 AB′的交点坐标为 P(2,5).

课时知能训练 3
一、选择题 1.(2012· 广州模拟)若圆心在 x 轴上,半径为 5的圆 O 位于 y 轴 左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方程是( A.(x- 5)2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5 B.(x+ 5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5 )

【解析】 设圆心为(a,0)(a<0), 则 r= |a+2×0| = 5,解得 a=-5, 12+22

所以,圆的方程为(x+5)2+y2=5. 【答案】 D 2.已知圆 C:x2+y2+mx-4=0 上存在两点关于直线 x-y+3
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=0 对称,则实数 m 的值为( A.8 B.-4 C.6 D.无法确定

)

【解析】 因为圆上两点 A、B 关于直线 x-y+3=0 对称, m 所以直线 x-y+3=0 过圆心(- 2 ,0), m 从而- 2 +3=0,即 m=6. 【答案】 C 3.已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意 一点,则△ABC 面积的最小值是( A.3- 2 B.3+ 2 3- 2 2 C.3- 2 D. 2 【解析】 圆的标准方程为(x-1)2+y2=1, 直线 AB 的方程为 x-y+2=0, |1-0+2| 3 2 圆心(1,0)到直线 AB 的距离 d= = 2 , 2 3 2 则点 C 到直线 AB 的最短距离为 2 -1,又|AB|=2 2, 1 3 2 S△ABC 的最小值为2×2 2×( 2 -1)=3- 2. 【答案】 A 4.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是 ( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 【解析】 设圆上任一点坐标为(x0,y0), 则 x2+y2=4,连线中点坐标为(x,y), 0 0
? ? ?2x=x0+4, ?x0=2x-4, 则? ?? ?2y=y0-2, ?y0=2y+2, ? ?
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)

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代入

x2+y2=4 0 0

中得(x-2) +(y+1)2=1.

2

【答案】 A 5.(2011· 重庆高考)在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最 长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A.5 2 B.10 2 C.15 2 D.20 2 【解析】 圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=10,则圆心 F(1,3) 半径 r= 10,由题意知 AC⊥BD,且 AC=2 10,|BD|=2 10-5= 2 5, 1 所以四边形 ABCD 的面积为 S=2|AC|· |BD| 1 =-2×2 10×2 5=10 2. 【答案】 B 二、填空题 6. (2012· 潮州模拟)直线 x-2y-2k=0 与 2x-3y-k=0 的交点在 圆 x2+y2=9 的外部,则 k 的范围是________.
?x-2y-2k=0 ?x=-4k ? ? 【解析】 由? ,得? . ? ? ?2x-3y-k=0 ?y=-3k

)

∴(-4k)2+(-3k)2>9,即 25k2>9, 3 3 解得 k>5或 k<-5. 3 3 【答案】 (-∞,-5)∪(5,+∞) 7.圆 C 的圆心在直线 2x-y-7=0 上,且与 y 轴交于点 A(0, -4),B(0,-2),则圆 C 的方程是________. 【解析】 圆心也在直线 y=-3 上,故圆心为(2,-3),半径为 5. ∴所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5. 【答案】 (x-2)2+(y+3)2=5
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8. (2012· 佛山模拟)已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的 交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切.则圆 C 的方程为________. 【解析】 由题意可得圆心(-1,0),圆心到直线 x+y+3=0 的 距离即为圆的半径,故 r= 2 = 2, 2

所以圆的方程为(x+1)2+y2=2. 【答案】 (x+1)2+y2=2 三、解答题 9.(2011· 福建高考改编)已知直线 l:y=x+m,m∈R,若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的 方程. 【解】 法一 依题意,点 P 的坐标为(0,m), 0-m 因为 MP⊥l,所以 ×1=-1, 2-0 解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2), 从而圆的半径 r=|MP|= ?2-0?2+?0-2?2=2 2, 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. 法二 设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2. 依题意,所求圆与直线 l:x-y+m=0 相切于点 P(0,m),

?4+m =r , ? 则?|2-0+m| =r, ? ? 2
2 2

?m=2, ? 解得? ? ?r=2 2.

所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. 10.

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图 8-3-1 如图 8-3-1,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0),边 AB 所在直线的方程为 x-3y-6=0,点 T(-1,1)在边 AD 所在直线 上.求: (1)边 AD 所在直线的方程; (2)矩形 ABCD 外接圆的方程. 【解】 1 (1)∵直线 AB 的斜率为3,AD⊥AB,∴kAD=-3.

∵T(-1,1)在边 AD 所在直线上, ∴直线 AD 的方程为 y-1=-3(x+1),即 3x+y+2=0. (2)∵点 A 为直线 AB,AD 的交点,
?3x+y+2=0, ? ∴点 A 坐标为方程组? 的解, ? ?x-3y-6=0 ?x=0, ? 解之得? ∴A(0,-2). ? ?y=-2,

∵矩形的对角线的交点即为其外接圆的圆心, ∴所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. 11.已知以点 P 为圆心的圆过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的 垂直平分线交圆 P 于点 C、D,且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程; (3)设点 Q 在圆 P 上, 试探究使△QAB 的面积为 8 的点 Q 共有几 个?证明你的结论. 【解】 (1)∵kAB=1,AB 的中点坐标为(1,2), ∴直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1),即 x+y-3=0. (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0,① 又直径|CD|=4 10,∴|PA|=2 10, ∴(a+1)2+b2=40,② ①代入②消去 a 得 b2-4b-12=0,解得 b=6 或 b=-2.
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当 b=6 时,a=-3,当 b=-2 时,a=5. ∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2), ∴圆 P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40 或(x-5)2+(y+2)2=40. (3)∵|AB|= 42+42=4 2, ∴当△QAB 面积为 8 时,点 Q 到直线 AB 的距离为 2 2. 又圆心到直线 AB 的距离为 ?2 10?2-?2 2?2=4 2, 圆 P 的半径 r=2 10, 4 2+2 2>2 10, 且 故点 Q 不在劣弧 AB 上, ∴圆上共有两个点 Q,使△QAB 的面积为 8.

课时知能训练 4
一、选择题 1.(2012· 清远质检)已知直线 l:y=k(x-1)- 3与圆 x2+y2=1 相切,则直线 l 的倾斜角为( ) π π A.6 B.2 2π 5 C. 3 D.6π |k+ 3| 3 【解析】 由题意知, 2 =1,∴k=- 3 , k +1 5 ∴直线 l 的倾斜角为6π. 【答案】 D 2.过点(1,1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9 相交于 A,B 两点, 则|AB|的最小值为( A.2 3 B.4
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)

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C.2 5 D.5 【解析】 由圆的几何性质可知,当点(1,1)为弦 AB 的中点时, |AB|的值最小,此时|AB|=2 r2-d2=2 9-5=4. 【答案】 B 3.过点(-4,0)作直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y-20=0 交于 A、B 两点,如果|AB|=8,则直线 l 的方程为( ) A.5x+12y+20=0 B.5x+12y+20=0 或 x+4=0 C.5x-12y+20=0 D.5x-12y+20=0 或 x+4=0 【解析】 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25,由|AB|=8 知, 圆心(-1,2)到直线 l 的距离 d=3,当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 的方程为 x=-4 时,符合题意,当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+4),即 kx-y+4k=0. 则有 =0. 【答案】 B 4.设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2)2+y2=3 的圆心,且圆上有一 y → CM → 点 M(x,y)满足OM· =0,则x=( ) 3 3 3 A. 3 B. 3 或- 3 C. 3 D. 3或- 3 → CM → 【解析】 ∵OM· =0, ∴OM⊥CM,∴OM 是圆的切线. 设 OM 的方程为 y=kx, |2k| y 由 2 = 3,得 k=± 3,即x=± 3. k +1 【答案】 D 5.(2012· 广州模拟)若直线 l:ax+by+1=0(a>0,b>0)始终平分
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|3k-2| 5 =3,∴k=-12,此时直线 l 的方程为 5x+12y+20 2 k +1

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1 4 圆 M:x2+y2+8x+2y+1=0 的周长,则a+b的最小值为( A.8 B.16 C.1 D.20 【解析】 由圆 M 化为(x+4)2+(y+1)2=16, ∴圆 M 的圆心 M(-4,-1). 依题意,直线 l 过圆心 M(-4,-1), ∴-4a-b+1=0,即 4a+b=1, 1 4 1 4 从而(a+b)=(a+b)(4a+b) b 16a =8+a+ b ≥8+2 16=16, b 16a 1 1 当且仅当a= b ,即 b=2,a=8时,取等号, 1 4 ∴a+b的最小值为 16. 【答案】 B 二、填空题

)

6.直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于 A,B 两点, 若弦 AB 的中点 C 为(-2,3),则直线 l 的方程为________. 【解析】 (1)圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5-a. 由圆的几何性质可知圆心(-1,2)与点 C(-2,3)的连线必垂直于 l, 又 kAB=- -1+2 =1,∴l 的方程为 x-y+5=0. 2-3

【答案】 x-y+5=0 7.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=________. 1 【解析】 公共弦所在的直线方程为 y=a,由已知得,圆心(0,0) 1 到公共弦的距离为 1,∴a=1,∴a=1. 【答案】 1
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8. 已知圆 O 的方程为 x +y =2, M 的方程为(x-1)2+(y-3)2 圆 =1,过圆 M 上任一点 P 作圆 O 的切线 PA,若直线 PA 与圆 M 的另 一交点为 Q,则当弦 PQ 的长度最大时,直线 PA 的斜率是________. 【解析】 由题意知直线 PQ 过圆 M 的圆心(1,3),故设 PQ 方程 为 y-3=k(x-1),即 kx-y+3-k=0,由 PQ 与圆 O 相切得, |3-k| = 2,即 k2+6k-7=0,解得 k=1 或 k=-7. 2 k +1 【答案】 1 或-7 三、解答题 9.已知曲线 C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0. (1)求证:不论 m 取何实数,曲线 C 恒过一定点; (2)求证: m≠2 时, 当 曲线 C 是一个圆, 且圆心在一条定直线上. 【证明】 (1)曲线 C 的方程为 x2+y2-20+m(-4x+2y+20)=0, 故其经过圆 x2+y2-20=0 与直线-4x+2y+20=0 的交点. 又因为直线-4x+2y+20=0 与圆 x2+y2-20=0 相切于点(4, - 2), 所以不论 m 取何实数,曲线 C 恒过定点(4,-2). (2)曲线 C 的方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5m2-20m+20= 5(m-2)2. 当 m≠2 时,5(m-2)2>0. 所以曲线 C 表示一个圆,且圆心 P(2m,-m)在定直线 x+2y=0 上. 10.(2012· 揭阳调研)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二 象限,半径为 2 2的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O. (1)求圆 C 的方程; (2)试探求 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到定点 F(4,0)的 距离等于线段 OF 的长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请 说明理由. 【解】
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2

2

(1)设圆心为 C(a,b),由 OC 与直线 y=x 垂直,知 O,
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b C 两点的斜率 kOC=a=-1,故 b=-a, 则|OC|=2 2,即 a2+b2=2 2,
?a=-2 ?a=2 ? ? 可解得? 或? , ? ? ?b=2 ?b=-2 ?a=-2 ? 结合点 C(a,b)位于第二象限知? . ? ?b=2

故圆 C 的方程为(x+2)2+(y-2)2=8. (2)假设存在 Q(m,n)符合题意,

??m-4? +n =4 ? 2 2 则?m +n ≠0 ??m+2?2+?n-2?2=8 ?
2 2 2

?m=4 ? 5 ,解得? 12 ?n= 5 ?

.

4 12 故圆 C 上存在异于原点的点 Q(5, 5 )符合题意. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2-12x+32=0 的圆 心为 Q, 过点 P(0,2), 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、 B. (1)求 k 的取值范围; → → → (2)是否存在常数 k,使得向量OA+OB与PQ共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 【解】 (1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4, 所以圆心为 Q(6,0). 过 P(0,2)且斜率为 k 的直线方程为 y=kx+2,代入圆的方程得 x2+(kx+ 2)2-12x+32=0,整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A、 等价于 Δ=[4(k-3)]2-4×36(1 B 3 3 +k2)=42(-8k2-6k)>0,解得-4<k<0,即 k 的取值范围为(-4, 0). → → (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则OA+OB=(x1+x2,y1+y2),由方
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程①,x1+x2=-

4?k-3? .② 1+k2

又 y1+y2=k(x1+x2)+4.③ → → → → 因 P(0,2)、Q(6,0),PQ=(6,-2).所以OA+OB与PQ共线等价 3 于-2(x1+x2)=6(y1+y2),将②③代入上式,解得 k=-4.而由(1)知 3 k∈(-4,0),故没有符合题意的常数 k.

课时知能训练 5
一、选择题 1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0 的曲线是( A.一条直线和一条双曲线 B.两条直线 C.两个点 D.4 条直线 【解析】
?x-y=0 ? 由(x-y) +(xy-1) =0 得? ?xy-1=0, ?
2 2

)

? ? ?x=1 ?x=-1 ∴? 或? , ?y=1 ?y=-1 ? ?

即方程表示两个点(1,1)和(-1,-1). 【答案】 C 2.已知椭圆的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一个动点,如果 M 是线段 F1P 的中点,则动点 M 的轨迹是( A.圆 C.双曲线的一支
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)

B.椭圆 D.抛物线
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【解析】 设椭圆的中心为 O,则 OM 是△PF1F2 的中位线, ∴|MO|+|MF1|=a>c, ∴动点 M 的轨迹是以点 F1,O 为焦点的椭圆. 【答案】 B 3.已知点 A(-1,0),B(2,4),△ABC 的面积为 10,则动点 C 的 轨迹方程是( ) A.4x-3y-16=0 或 4x-3y+16=0 B.4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0 C.4x-3y+16=0 或 4x-3y+24=0 D.4x-3y+16=0 或 4x-3y-24=0 【解析】 ∵AB 的方程为 4x-3y+4=0,又|AB|=5, 设点 C(x,y)由题意可知 |4x-3y+4| 1 ×5× =10, 2 5 ∴4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0. 【答案】 B 4. (2012· 杭州模拟)设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点, P 作 x 轴的 过 → → 垂线,垂足为 Q,若PM=λMQ(其中 λ 为正常数),则点 M 的轨迹为 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【解析】 设 M(x,y),P(x0,y0),则 Q(x0,0),
? → → ?x-x0=λ?x0-x? (λ>0). 由PM=λMQ得? ?y-y0=-λy ? ?x0=x ? ∴? ? ?y0=?λ+1?y

由于 x2+y2=1,∴x2+(λ+1)2y2=1, 0 0 ∴点 M 的轨迹是椭圆. 【答案】 B
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5.设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为 圆周上任一点,线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( ) 4x2 4y2 4x2 4y2 A. 21 - 25 =1 B. 21 + 25 =1 4x2 4y2 4x2 4y2 C. 25 - 21 =1 D. 25 + 21 =1

2

2

【解析】 M 为 AQ 垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|, ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ| =|CQ|=5, 5 21 ∴a=2,c=1,则 b2=a2-c2= 4 , 4x2 4y2 ∴椭圆的标准方程为 25 + 21 =1. 【答案】 D 二、填空题 6.(2012· 汕头模拟)已知 A,B 是圆 O:x2+y2=16 上的两点,且 |AB|=6,若以 AB 的长为直径的圆 M 恰好经过点 C(1,-1),则圆心 M 的轨迹方程是________. 【解析】 由题意△ABC 是以点 C 为直角顶点的三角形. ∴|MC|=3, 故圆心 M 的轨迹是以点 C(1,-1)为圆心,以 3 为半径的圆, 其轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=9. 【答案】 (x-1)2+(y+1)2=9 7.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),圆 C 与直线 MN 切于点 B, 过 M,N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为 ________.
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【解析】 依题意,设 PM,PN 与圆的切点为 C,D,则|PM|- |PN|=(|PC|+|MC|)-(|PD|+|DN|)=|MB|-|NB|=2,∴点 P 的轨迹是 以 M,N 为焦点的双曲线(与 x 轴的交点除外)的右支,c=3,a=1, b2=8, y2 轨迹方程为 x - 8 =1(y≠0,x>0).
2

y2 【答案】 x - 8 =1(y≠0,x>0)
2

8.△ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是________.

【解析】 如图,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双 x2 y2 曲线的右支,方程为 9 -16=1(x>3). x2 y2 【答案】 9 -16=1(x>3) 三、解答题 9.已知直线 l:y=kx+1 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 相交于 A、 B 两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 【解】 直线 l 与 y 轴的交点为 N(0,1),圆心 C(2,3),设 M(x,y),∵MN 与 MC 所在直线垂直, y-1 y-3 ∴ x · =-1,(x≠0 且 x≠2), x-2 当 x=0 时不符合题意,当 x=2 时,y=3 符合题意, ∴AB 中点的轨迹方程为:
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x2+y2-2x-4y+3=0,

7- 7 7+ 7 <x< 4 . 4

图 8-5-4 10.(2011· 陕西高考)如图 8-5-4,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动 4 点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|=5|PD|. (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被 C 所截线段的长度. 【解】 (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

?xP=x, 由已知得? 5 yP=4y, ?
∵P 在圆上, 5 2 x2 y 2 2 ∴x +(4y) =25,即轨迹 C 的方程为25+16=1. 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为 y=5(x-3), 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y=5(x-3)代入 C 的方程,得 x2 ?x-3? 2 25+ 25 =1,即 x -3x-8=0.
2

∴x1=

3- 41 3+ 41 ,x2= 2 . 2 AB 的 长 度 为 |AB| = 41 41 ×41= 5 . 25
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∴ 线 段

?x1-x2?2+?y1-y2?2 =

16 ?1+25??x1-x2?2=
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11.已知点 A(2,0),B(-2,0),P 是平面内一动点,直线 PA、PB 3 斜率之积为-4. (1)求动点 P 的轨迹方程; 1 (2)过点(2,0)作直线 l,与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中 点为 M,求直线 MA 的斜率 k 的取值范围. 【解】 (1)设 P 点的坐标为(x,y),依题意得 y y 3 · =-4 x-2 x+2

x2 y2 (x≠± 2),化简并整理得 4 + 3 =1(x≠± 2). x2 y2 ∴动点 P 的轨迹 C 的方程是 4 + 3 =1(x≠± 2). 1 (2)依题意得,直线 l 过点(2,0),且斜率不为零,故可设其方程 1 为 x=my+2.

?x=my+1 ? 2 由? 2 2 x y ? 4 + 3 =1 ?

,消去 x 得

4(3m2+4)y2+12my-45=0, 设 E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0), ∴y1+y2=- ∴y0= 3m , 3m2+4

y1+y2 3m =- , 2 2?3m2+4? 2 , 3m +4
2

1 ∴x0=my0+2=

y0 m ∴k= = 2 , x0-2 4m +4 ①当 m=0 时,k=0,
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②当 m≠0 时,k=

4, 4m+m

1

4 4 又|4m+m|=4|m|+|m|≥8, 1 1 1 ∴0<|k|≤8,∴-8≤k≤8,且 k≠0, 1 1 综合①②,直线 AM 的斜率 k 的取值范围为[-8,8].

课时知能训练 6
一、选择题 x2 y2 1.(2012· 广州模拟)已知椭圆a2+b2=1 的左焦点 F1,右顶点 A, 上顶点 B 且∠F1BA=90° ,则椭圆的离心率是( A. 5-1 2 B. 1 D.2 3-1 2 )

3 C. 2 |AF1|=a+c, ∴a2+a2+b2=(a+c)2, ∴a2-ac-c2=0.

【解析】 由题意知|F1B|=a,|AB|= a2+b2,

∴1-e-e2=0,即 e2+e-1=0, -1+ 5 又 0<e<1,∴e= . 2 【答案】 A
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2.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍, 则 m 的值为( 1 A.4 C.2 ) 1 B.2 D.4

2

2

1 【解析】 由题意知 a2=m,b2=1,且 a=2b, 1 ∴m=4, 1 ∴m=4. 【答案】 A x2 y2 3.已知椭圆: + =1 的焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2 A.4 B.8 C.4 或 8 D.以上均不对
?10-m>0 ? 【解析】 由? ,得 2<m<10, ? ?m-2>0

)

由题意知(10-m)-(m-2)=4 或(m-2)-(10-m)=4, 解得 m=4 或 m=8. 【答案】 C 4. 若椭圆上存在点 P, 使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2∶1, 则此椭圆离心率的取值范围是( 1 1 1 1 A.[4,3] B.[3,2] 1 1 C.(3,1) D.[3,1) 【解析】 设 P 到两个焦点的距离分别是 2k,k,根据椭圆的定 义可知 3k=2a,又椭圆上的点到两焦点距离之差的最大值为 2c,即 1 k≤2c,∴2a≤6c,∴e≥3. 【答案】 D
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)

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x2 y2 5.(2012· 汕尾质检)已知 P 为椭圆25+16=1 上的一点,M、N 分 别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 上的点,则|PM|+|PN|的最 小值为( A.5 ) B.7

C.13 D.15 【解析】 由题意知椭圆的两个焦点 F1、F2 分别是两圆的圆心, 且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1- 2=7. 【答案】 B 二、填空题 1 6.已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心率是2,焦 距是 8,则该椭圆的方程为________. c 1 【解析】 由题意知a=2,c=4, ∴a=8,∴b2=a2-c2=64-16=48, y2 x2 ∴椭圆方程为64+48=1. y2 x2 【答案】 64+48=1 x2 y2 7.在△ABC 中,|AB|=|AC|,顶点 A、B 在椭圆a2+b2=1(a>b >0)上,顶点 C 为椭圆的左焦点,线段 AB 过椭圆的右焦点 F 且垂直 于长轴,则该椭圆的离心率为________. 【解析】

如图所示,由椭圆的对称性可知|AC|=|CB|,
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又|AB|=|AC|, ∴△ABC 为等边三角形, ∵AB 过点 F 且垂直于 x 轴, b2 ∴|AF|= a , b2 ∴在 Rt△AFC 中|CF|= 3|AF|= 3· =2c, a ∴ 3b2=2ac 整理得, 3e2+2e- 3=0 3 解得 e= 3 或 e=- 3(舍). 【答案】 3 3

8.(2012· 福建四校联考)已知两定点 M(-1,0),N(1,0),若直线上 存在点 P,使|PM|+|PN|=4,则该直线为“A 型直线”.给出下列直 线,其中是“A 型直线”的是________(填序号). ①y=x+1;②y=2;③y=-x+3;④y=-2x+3. x2 y2 【解析】 以 M、 为焦点, N 长轴长为 4 的椭圆方程为 4 + 3 =1, 则“A 型直线”和该椭圆有交点.容易验证直线①、④经过椭圆 内一点,故直线①④是“A 型直线”,直线②和椭圆没有交点,故直 线②不是“A 型直线”.

?y=-x+3 对于直线③,由?x2 y2 ? 4 + 3 =1
【答案】 ①④ 三、解答题

得 7x2-24x+24=0,此方程无解,

从而直线③和椭圆无交点,故不是“A 型直线”.

x2 y2 9.(2011· 陕西高考)设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)过点(0,4),离 3 心率为5. (1)求 C 的方程;
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4 (2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被 C 所截线段的中点坐标. 【解】 16 (1)将(0,4)代入 C 的方程得 b2 =1,∴b=4.

a2-b2 9 c 3 又由 e=a=5,得 a2 =25, 16 9 x2 y2 即 1- a2 =25,∴a=5,∴C 的方程为25+16=1. 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为 y=5(x-3). 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y=5(x-3)代入 C 的方程,得 x2 ?x-3? 2 25+ 25 =1,即 x -3x-8=0,
2

3- 41 3+ 41 解得 x1= 2 ,x2= 2 . 设线段 AB 的中点坐标为(x′,y′),则 x′= y′= y1+y2 2 6 =5(x1+x2-6)=-5, 2 x1+x2 3 2 =2,

3 6 即中点坐标为(2,-5).

图 8-6-2 x2 y2 10.如图 8-6-2 所示,点 A,B 分别是椭圆36+20=1 长轴的 左、 右端点, F 是椭圆的右焦点, P 在椭圆上, 点 点 且位于 x 轴上方, PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点, 到直线 AP 的距离等于|MB|, M
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求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值. 【解】 (1) 由已知可知点 A(-6,0),F(4,0), 设点 P 的坐标为(x,y),则 → → AP=(x+6,y),FP=(x-4,y),且 y>0,

? x + y =1, 由已知得?36 20 ??x+6??x-4?+y2=0.
即 2x2+9x-18=0, 3 5 3 解得 x=2,y= 2 , 3 5 ∴点 P 的坐标为(2,2 3). (2)直线 AP 的方程为 x- 3y+6=0, 设点 M 的坐标为(m,0),由题意可知 |m+6| 2 =|m-6|, 又-6≤m≤6, ∴m=2, 5 4 9 ∴d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-9x2=9(x-2)2+15. 9 ∴当 x=2时,d 取得最小值 15.

2

2

图 8-6-3 11.(2011· 江苏高考)如图 8-6-3,在平面直角坐标系 xOy 中, x2 y2 M,N 分别是椭圆 4 + 2 =1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P, A 两点,其中点 P 在第一象限.过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连结
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AC 并延长,交椭圆于点 B.设直线 PA 的斜率为 k. (1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意的 k>0,求证:PA⊥PB. 【解】 (1)由题设知, a=2,b= 2, M(-2,0) ,N(0, 2), 故 - 2 所以线段 MN 中点的坐标为(-1, 2 ). - 由于直线 PA 平分线段 MN, 2 -2 故直线 PA 过线段 MN 的中点, 又直线 PA 过坐标原点, 所以 k= -1 2 =2. x2 4x2 (2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 4 + 2 =1, 2 2 4 2 4 解得 x=± ,因此 P(3,3),A(-3,-3). 3 4 0+3 2 于是 C(3,0),直线 AC 的斜率为2 2=1, 3+3 2 故直线 AB 的方程为 x-y-3=0. 2 4 2 |3-3-3| 2 2 因此,d= = 3 . 12+12 (3)证明 x2 y2 法一 将直线 PA 的方程 y=kx 代入 4 + 2 =1, 2 . 1+2k2

解得 x=± 记 μ=

2 ,则 P(μ,μk),A(-μ,-μk),于是 C(μ,0). 1+2k2

0+μk k k 故直线 AB 的斜率为 =2,其方程为 y=2(x-μ), μ+μ
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代入椭圆方程得(2+k )x -2μk x-μ2(3k2+2)=0, μ?3k2+2? μ?3k2+2? μk3 解得 x= 或 x=-μ.因此 B( , ). 2+k2 2+k2 2+k2 μk3 -μk 2+k2 k3-k?2+k2? 1 于是直线 PB 的斜率 k1= = 2 2 2 =- .因 k μ?3k +2? 3k +2-?2+k ? 2 -μ 2+k 此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 法二 设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2, A(-x1,-y1),C(x1,0). 设直线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2. 因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= 0-?-y1? y1 k = = . x1-?-x1? 2x1 2

2

2

2

y2-y1 y2-?-y1? 从而 k1k+1=2k1k2+1=2· · +1 x2-x1 x2-?-x1?
2 2 2 2y2-2y1 ?x2+2y2?-?x1+2y2? 4-4 2 2 1 = 2 2 +1= = 2 2=0. 2 2 x2-x1 x2-x1 x2-x1

因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB.

课时知能训练 7
一、选择题 x2 y2 1. 已知双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程是 y= 3 x, 它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上, 则双曲线的方程为( 2 2 2 2 x y x y A.36-108=1 B. 9 -27=1 x2 y2 C.108-36=1 x2 y2 D.27- 9 =1 )

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b 【解析】 由题意知a= 3,抛物线的准线方程为 x=-6,
2 2 2 2 c2 2 c2 b2 则 c=6,由{b =3a ? =a +b ? =36 ,得{a =9? =27 , x2 y2 ∴双曲线方程为 9 -27=1.

【答案】 B y2 x2 5 2.若双曲线 5 -m=1 的渐近线方程为 y=± 3 x,则双曲线焦点 F 到渐近线的距离为( A.2 B.3 ) C.4 D.5

5 【解析】 由双曲线的渐近线方程为 y=± 3 x 可知 m=9. 5 |3 14| ∴F(0,± 14),其到 y=± 3 x 的距离 d= =3. 14 【答案】 B x2 y2 3.(2012· 惠州调研)已知双曲线a2-b2=1 与直线 y=2x 有交点, 则双曲线离心率的取值范围为( A.(1, 5) B.(1, 5] )

C.( 5,+∞) D.[ 5,+∞) b b 【解析】 双曲线的渐近线方程为 y=ax,由题意a>2. c ∴e=a= 【答案】 C 5 4.设椭圆 C1 的离心率为13,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲 线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲 线 C2 的标准方程为( ) x2 y 2 x2 y2 A.42-32=1 B.132-52=1 b 1+?a?2> 1+4= 5.

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x y x y C.32-42=1 D.132-122=1 【解析】 由题意知曲线 C2 是以椭圆 C1 的焦点为焦点的双曲线, 且 2a=8,即 a=4, c 5 由椭圆的离心率知13=13,∴c=5, ∴b2=c2-a2=25-16=9, x 2 y2 ∴曲线 C2 的标准方程为16- 9 =1. 【答案】 A 5.已知双曲线的两个焦点为 F1(- 10,0)、F2( 10,0),M 是 → MF → |MF 此双曲线上的一点,且满足MF1·→ 2=0,|MF1|· → 2| =2,则该双曲 线的方程是( ) x2 2 y2 2 A. 9 -y =1 B.x - 9 =1 x2 y 2 x2 y2 C. 9 -19=1 D.19- 9 =1 → MF 【解析】 ∵MF1·→ 2=0, → → → → ∴MF1⊥MF2?|MF1|2+|MF2|2=(2 10)2=40. → |MF 又|MF1|· → 2|=2, → → ∴(|MF1|-|MF2|)2=40-4=36, ∴2a=6?a=3, ∴a2=9,b2=c2-a2=1. x2 2 ∴方程为 9 -y =1. 【答案】 A 二、填空题 x2 y2 6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 4 -12=1 上一点 M 的横坐标为 3,则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为________.
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2

2

2

2

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【解析】 由题意知,M 点的坐标为 M(3,± 15),双曲线的右 焦点坐标为(4,0), 由两点间的距离公式得 d= ?3-4?2+?± 15-0?2= 4. 【答案】 4 7.(2012· 揭阳模拟)中心在原点焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐 近线经过点(4,-2),则它的离心率为________. 1 b 1 【解析】 双曲线的渐近线方程为 y=± x,则a=2, 2 c ∴离心率 e=a= 【答案】 5 2 b 5 1+?a?2= 2 .

x2 y 2 8.已知 F 是双曲线 4 -12=1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右 支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________. 【解析】 设双曲线的右焦点为 Q,则 Q(4,0),|PF|-|FQ|=4, ∴|PF|+|PA|=4+|PQ|+|PA|, ∴当 P、Q、A 三点共线时|PF|+|PA|有最小值, ∵|AQ|= ?4-1?2+?0-4?2=5, ∴|PF|+|PA|的最小值为 4+5=9. 【答案】 9 三、解答题 9.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率 为 2,且过点(4,- 10).点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程; → MF (2)求证:MF1·→ 2=0; (3)求△F1MF2 面积. 【解】 (1)∵e= 2, ∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ. ∵过点(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6.
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∴双曲线方程为 x -y =6. (2)证明 → ∵MF1=(-3-2 3,-m),

2

2

→ MF2=(2 3-3,-m). → MF ∴MF1·→ 2=(3+2 3)×(3-2 3)+m2=-3+m2, ∵M 点在双曲线上, ∴9-m2=6,即 m2-3=0, → MF ∴MF1·→ 2=0. (3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3. 由(2)知 m=± 3. ∴△F1MF2 的高 h=|m|= 3, ∴S△F1MF2=6. x2 y2 10.双曲线a2-b2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和 4 (0, b)且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥5c, 求双曲线的离心率 e 的取值范围. x y 【解】 直线 l 的方程为a+b=1,即 bx+ay-ab=0, 由 a>1,得点(1,0)到直线 l 的距离 d1= b?a-1? . a2+b2 b?a+1? , a2+b2

同理可得点(-1,0)到直线 l 的距离 d2= ∴s=d1+d2= 2ab 2ab 2 2= c . a +b

4 2ab 4 又 s≥5c,得 c ≥5c,即 5a· c2-a2≥2c2. 于是得 5 e2-1≥2e2,即 4e4-25e2+25≤0. 5 解之得4≤e2≤5,又 e>1,

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5 ∴e 的范围是 e∈[ 2 , 5]. 11.(2011· 广东高考)设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x- 5)2+ y2=4 中的一个内切,另一个外切. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; 3 5 4 5 (2)已知点 M( 5 , 5 ),F( 5,0),且 P 为 L 上动点,求||MP| -|FP||的最大值及此时点 P 的坐标. 【解】 (1)设圆 C 的圆心坐标为(x,y),半径为 r. 圆(x+ 5)2+y2=4 的圆心为 F1(- 5,0),半径为 2, 圆(x- 5)2+y2=4 的圆心为 F( 5,0),半径为 2. 由 题 意 得

{|CF1|=r+2?|CF|=r-2



{|CF1|=r-2,?|CF|=r+2,
∴||CF1|-|CF||=4. ∵|F1F|=2 5>4, ∴圆 C 的圆心轨迹是以 F1(- 5,0),F( 5,0)为焦点的双曲线, x2 2 其方程为 4 -y =1.

(2)由图知,||MP|-|FP||≤|MF|, ∴当 M,P,F 三点共线,且点 P 在 MF 延长线上时,|MP|-|FP| 取得最大值|MF|,且|MF|= 3 5 4 5 ? 5 - 5?2+? 5 -0?2=2.

直线 MF 的方程为 y=-2x+2 5,与双曲线方程联立得 x ? ?y=-2x+2 5,? -y2=1, 整理得 15x2-32 5x+84=0. 4 ? 14 5 6 5 解得 x1= 15 (舍去),x2= 5 .
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此时 y=

-2 5 5 .

6 5 2 5 ∴当||MP|-|FP||取得最大值 2 时,点 P 的坐标为( 5 ,- 5 ).

课时知能训练 8
一、选择题 1.(2012· 湛江调研)以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆 x2+ y2-2x+6y+9=0 圆心的抛物线方程是( A.y=3x2 或 y=-3x2 C.y2=-9x 或 y=3x2 【解析】 (1,-3), 设抛物线方程为 y2=2p1x 或 x2=-2p2y, 则(-3)2=2p1 或 1=6p2, 1 ∴2p1=9 或 2p2=3, 1 ∴抛物线方程为 y2=9x 或 x2=-3y, 则 y2=9x 或 y=-3x2. 【答案】 D 2.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛 物线焦点的距离是( A.4 【解析】 ) C.8 D.12 B.6 B.y=3x2 D.y=-3x2 或 y2=9x )

圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=1,故圆心坐标为

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如图,抛物线的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2,过抛物线上一点 P 作准线的垂线 PE,连结 PF,由抛物线的定义知:|PF|=|PE|=4+2 =6. 【答案】 B 3.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距 离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时, P 的坐标为( 点 1 1 A.(4,-1) B.(4,1) C.(1,2) 【解析】 D.(1,-2) )

如图,∵点 Q(2,-1)在抛物线的内部,由抛物线的定义,|PF| 等于点 P 到准线 x=-1 的距离. 过 Q 作 x=-1 的垂线 QH 交抛物线于点 K,则点 K 为取最小值 时的所求点. 1 当 y=-1 时,由 1=4x 得 x=4. 1 所以点 P 的坐标为(4,-1). 【答案】 A 4.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点, PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=( A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 )

【解析】 由题意,直线 l 的方程为 x=-2,焦点 F 为(2,0), n-0 设 A 点的坐标为(-2,n),则 =- 3,解得 n=4 3, -2-2 又 PA⊥l,由(4 3)2=8x,得 x=6.
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∴P(6,4 3), ∴|PF|= ?6-2?2+?4 3-0?2=8. 【答案】 B 5.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛 物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的 准线方程为( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 【解析】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为 A、B 两点在抛物线上,
?y2=2px1, ? 1 ∴? 2 ?y2=2px2, ?

① ②

①-②得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2), 又线段 AB 的中点的纵坐标为 2,∴y1+y2=4, 又直线的斜率为 1,∴ y1-y2 =1,∴2p=4,p=2, x1-x2

p ∴抛物线的准线方程为 x=-2=-1. 【答案】 B 二、填空题 6. 抛物线 y2=-ax 的准线方程为 x=-2, a 的值为________. 则 a 【解析】 由题意知4=-2,∴a=-8. 【答案】 -8 x2 16y2 7.双曲线 3 - p2 =1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p 的值为________. 【解析】 双曲线的左焦点坐标为(- p2 3+16,0),抛物线的

p 准线方程为 x=-2,
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∴-

p p 3+16=-2,∴p2=16,

2

又 p>0,∴p=4. 【答案】 4 8.(2012· 广州模拟)若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3) 的距离小 2,则点 P 的轨迹方程是________. 【解析】 由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3) 的距离,故点 P 的轨迹是以点(0,3)为焦点,以 y=-3 为准线的抛物 线,且 p=6,所以其标准方程为 x2=12y. 【答案】 x2=12y 三、解答题

图 8-8-1 9.已知如图 8-8-1,抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 在抛 物线上,其横坐标为 4,且位于 x 轴上方,A 到抛物线准线的距离等 于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标. 【解】 p (1)抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为 x=-2,于是 4

p +2=5,∴p=2. ∴抛物线的标准方程为 y2=4x. (2)由(1)得点 A 的坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2), 4 ∵F(1,0),∴kFA=3.
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3 ∵MN⊥FA,∴kMN=-4. 4 则 FA 所在直线的方程为 y=3(x-1). 3 MN 所在直线的方程为 y-2=-4x.

?y=4?x-1? ? 3 解方程组? 3 ?y-2=-4x ?
8 4 ∴N(5,5).

?x=8 ? 5 ,得? 4 ?y=5 ?

.

10.给定抛物线 C:y2=4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点. (1)设 l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; → → (2)若FA=2BF,求直线 l 的方程. 【解】 (1)由题意可知,F(1,0).∵直线 l 的斜率为 1, ∴直线 l 的方程为 y=x-1,
?y2=4x ? 联立? ,消去 y 得 x2-6x+1=0 ? ?y=x-1

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4, x1+x2 ∴所求圆的圆心坐标为(3,2),半径 r= 2 +1=4, 所以圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 (2)由题意可知直线 l 的斜率必存在, 设为 k, 则直线 l 的方程为 y =k(x-1).
?y=k?x-1?, ? 由? 2 得 ky2-4y-4k=0. ? ?y =4x,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),
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?y1+y2=4, k 则? ?y1·2=-4, y
∴y1=-2y2③

① ②

→ → 由FA=2BF,得(x1-1,y1)=2(1-x2,-y2) 由①②③得 k2=8,k=± 2 2 ∴直线 l 的方程为 y=± 2(x-1). 2 11.(2012· 洛阳模拟)已知抛物线 C:x2=2py(p>0),O 为坐标原 点,F 为抛物线的焦点,直线 y=x 与抛物线 C 相交于不同的两点 O、 N,且|ON|=4 2. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 l 过点 F 交抛物线于不同的两点 A,B,交 x 轴于点 M, → → → → 且MA=aAF,MB=bBF,对任意的直线 l,a+b 是否为定值?若是, 求出 a+b 的值;否则,说明理由. 【解】
?y=x ? (1)联立方程 ? 2 得 x2 -2px=0,故 O(0,0), ? ?x =2py

N(2p,2p),∴|ON|= 4p2+4p2=2 2p, 由 2 2p=4 2得 p=2,∴抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)显然直线 l 的斜率一定存在且不等于零, 设其方程为 y=kx+1, 1 则直线 l 与 x 轴交点为 M(-k,0),记点 A(x1,y1),B(x2,y2),
?y=kx+1 ? 由? 2 得 x2-4kx-4=0, ?x =4y ?

∴Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0, ∴x1+x2=4k,x1·2=-4. x 1 → → 由MA=aAF,得(x1+k,y1)=a(-x1,1-y1), ∴a= kx1+1 kx2+1 y1 =- kx ,同理可得 b=- kx , 1-y1 1 2
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kx1+1 kx2+1 x2+x1 ∴a+b=-( kx + kx )=-(2+ kx x )=-1, 1 2 1 2 ∴对任意的直线 l,a+b 为定值-1.

课时知能训练 9
一、选择题 1.(2012· 清远模拟)过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有 一个公共点,这样的直线有( A.1 条 B.2 条 ) C.3 条 D.4 条

【解析】 设过点(0,1)斜率为 k 的直线方程为 y=kx+1.
?y=kx+1 ? 由? 2 得 k2x2+(2k-4)x+1=0,(*) ? ?y =4x

当 k=0 时,方程(*)只有一根, 当 k≠0 时,Δ=(2k-4)2-4k2=-16k+16, 由 Δ=0,即-16k+16=0 得 k=1, ∴k=0,或 k=1 时,直线与抛物线只有一个公共点, 又直线 x=0 和抛物线只有一个公共点,故选 C. 【答案】 C 2.直线 y=x+1 截抛物线 y2=2px 所得弦长为 2 6,此抛物线方 程为( ) B.y2=6x
?y=x+1 ? 由? 2 得 x2+(2-2p)x+1=0. ?y =2px ?

A.y2=2x

C.y2=-2x 或 y2=6x D.以上都不对 【解析】

x1+x2=2p-2,x1x2=1.
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∴2 6= 1+12· ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· ?2p-2?2-4. 解得 p=-1 或 p=3, ∴抛物线方程为 y2=-2x 或 y2=6x. 【答案】 C x2 y2 3.双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦 点 F,且斜率为 k,则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要 条件是( ) b B.k<a b b D.-a<k<a b A.k>-a b b C.k>a或 k<-a

b b 【解析】 由双曲线渐近线的几何意义知-a<k<a. 【答案】 D x2 2 4.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 4 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB| 的最大值为( A.2 ) 4 5 B. 5

4 10 8 10 C. 5 D. 5 【解析】 设椭圆与直线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
?x2+4y2=4, ? 由? 消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0. ? ?y=x+t.

4?t2-1? 8 则有 x1+x2=-5t,x1x2= 5 . ∴|AB|= 1+k2|x1-x2| 4?t2-1? 4 2 8 2 = 2· ?-5t? -4× 5 = 5 5-t2,
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4 10 当 t=0 时,|AB|max= 5 . 【答案】 C 5.抛物线 y=2x2 上两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线 y=x+m 1 对称,且 x1·2=-2,则 m 等于( x ) 3 A.2 B.2 5 C.2 D.3

y2-y1 2 【解析】 kAB= =-1,且 y2-y1=2(x2-x2), 1 x2-x1 x2+x1 y2+y1 1 得 x2+x1=-2,又( 2 , 2 )在直线 y=x+m 上, ∴ y2+y1 x2+x1 2 = 2 +m,y2+y1=x2+x1+2m.

2 2 2(x2+x1)=x2+x1+2m,

3 ∴2[(x2+x1)2-2x2x1]=x2+x1+2m,2m=3,m=2. 【答案】 A 二、填空题 x2 y2 6.已知(4,2)是直线 l 被椭圆36+ 9 =1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是________. 【解析】 设直线 l 与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2). 2 2 x2 y1 x2 y2 1 2 则36+ 9 =1,且36+ 9 =1, y1-y2 x1+x2 两式相减得 =- , x1-x2 4?y1+y2? 又 x1+x2=8,y1+y2=4, ∴ 8=0. 【答案】 x+2y-8=0
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y1-y2 1 1 =-2,故直线 l 的方程为 y-2=-2(x-4),即 x+2y- x1-x2

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x y 7.直线 y=kx+1 与椭圆 5 +m=1 恒有公共点,则 m 的取值范 围是________. 【解析】 直线 y=kx+1 过定点(0,1),由题意,点(0,1)在椭圆内 或椭圆上. ∴m≥1,且 m≠5. 【答案】 m≥1,且 m≠5 8. (2012· 惠州调研)已知点 P 在直线 x+y+5=0 上, Q 在抛物 点 线 y2=2x 上,则|PQ|的最小值等于________. 【解析】 设直线 l′平行于直线 x+y+5=0, 且与抛物线相切,
?y=-x+m ? 设 l′:y=-x+m,由? 2 得 y2+2y-2m=0, ? ?y =2x

2

2

1 由 Δ=4+8m=0 得 m=-2. 1 |5-2| 9 2 9 2 则两直线距离 d= = 4 ,即|PQ|min= 4 . 2 【答案】 9 2 4

三、解答题

图 8-9-3 x2 y2 9.如图 8-9-3,过椭圆16+ 4 =1 内一点 M(1,1)的弦 AB. (1)若点 M 恰为弦 AB 的中点,求直线 AB 的方程; (2)求过点 M 的弦的中点的轨迹方程. 【解】 k(x-1), (1)设直线 AB 的斜率为 k,则 AB 的方程可设为 y-1=

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?y=k?x-1?+1, 由? x2 y2 ?16+ 4 =1,
消去 y 得(1+4k2)x+8k(1-k)x+4(1-k)2-16=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= x1+x2 又 M(1,1)是 AB 中点,则 2 =1. 8k?k-1? 1 综上,得 2 =2,解得 k=- . 4 1+4k 1 ∴直线 AB 的方程为 y-1=-4(x-1), 即 x+4y-5=0. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 的中点为 P(x,y), 8k?k-1? , 1+4k2

? x1 +y1=1, ?16 4 则? 2 x2 y2 ?16+ 42=1, ?

2

2

① ②

1 x1+x2 y-1 由①-②得(-4)· = , y1+y2 x-1 而 x1+x2=2x,y1+y2=2y. 1 2x y-1 ∴(-4)· = 2y x-1. 整理,得轨迹方程为 x2+4y2-x-4y=0. 10.(2012· 佛山模拟)已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点,焦点在 x 1 轴上,且经过点 A(0,2 3),离心率为2. (1)求椭圆 P 的方程; (2)是否存在过点 E(0,-4)的直线 l 交椭圆 P 于点 R,T,且满足 → OT 16 → OR· = 7 .若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
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【解】

x y2 (1)设椭圆 P 的方程为a2+b2=1(a>b>0),

2

c 1 由题意得 b=2 3,e=a=2, ∴a=2c,b2=a2-c2=3c2,c2=4,c=2,a=4, x2 y2 ∴椭圆 P 的方程为16+12=1. (2)假设存在满足题意的直线 l. → OT → 易知当直线 l 的斜率不存在时,OR· <0 不满足题意. 故可设直线 l 的方程为 y=kx-4, R(x1,y1),T(x2,y2). 16 → OT 16 → ∵OR· = 7 ,∴x1x2+y1y2= 7 .

?y=kx-4 由? x2 y2 ?16+12=1

,得(3+4k2)x2-32kx+16=0,

由 Δ>0 得,(-32k)2-4(3+4k2)×16>0, 1 解得 k2>4.① ∴x1+x2= 32k 16 , 2,x1x2= 3+4k 3+4k2

∴y1y2=(kx1-4)(kx2-4) =k2x1x2-4k(x1+x2)+16, 16 16k2 128k2 16 故 x1x2+y1y2= 2+ 2- 2+16= 7, 3+4k 3+4k 3+4k 解得 k2=1,② 由①②解得 k=± 1, ∴直线 l 的方程为 y=± x-4. 故存在直线 l:x+y+4=0 或 x-y-4=0 满足题意. 11.(2012· 青岛模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, a2 点 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,在直线 x= c (a、c 分别为椭圆
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的长半轴和半焦距的长)上的点 P(2, 3),满足线段 PF1 的中垂线过 点 F2.过原点 O 且斜率均存在的直线 l1、l2 互相垂直,且截椭圆所得 的弦长分别为 d1、d2. (1)求椭圆 C 的方程;
2 (2)求 d2+d2的最小值及取得最小值时直线 l1、l2 的方程. 1 x2 y2 【解】 (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0),

?a =2, 依题意有|PF2|=|F1F2|=2c,所以? c ??2c?2-?2-c?2=3,
?c=1, ? x2 2 解得? 所以,b=1,所求椭圆方程为 2 +y =1. ? ?a= 2,

2

1 (2)设 kl1=k,则 kl2=-k, x2 2 2 直线 l1:y=kx 与椭圆 2 +y =1,联立得:x2= , 1+2k2 2k2 y= , 1+2k2
2

4?2+2k2? 2 2 2 所以,d1=4(x +y )= 2 =4+ 1+2k 8 2 同理可得:d2=8- , 2+k2
2 所以,d2+d2=12+ 1

4 , 1+2k2

-12k2 12k2 =12- 4 ?1+2k2??2+k2? 2k +5k2+2

=12-

12 4 32 ≥12-3= 3 , 2 2k2+k2+5

2 当且仅当 2k2=k2,即 k=± 时等号成立, 1 32 2 ∴d1+d2的最小值为 3 ,此时直线 l1 与 l2 的方程分别为 y=± x. 2
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