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1.2独立性检验的基本思想及其初步应用导学案 文


1 .2
一、 学习目标

独立性检验的基本思想及其初步应用

知识与技能:通过本节知识的学习,了解独立性检验的基本思想和初步应用,能对两个分 类变量是否有关做出明确的判断.明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤, 会对具体问题作出独立性检验. 过程与方法: 在本节知识的学习中, 应从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性, 树立学好本节知识的信心,在此基础上学习三维柱形图和二维柱形图,并认识它们的基本作 用和存在的不足,从而为学习下面作好铺垫,进而介绍 K 的平方的计算公式和 K 的平方的观 测值 R 的求法,以及它们的实际意义.从中得出判断“X 与 Y 有关系”的一般步骤及利用独立 性检验来考察两个分类变量是否有关系,并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法 和可信程度的大小.最后介绍了独立性检验思想的综合运用. 情感、态度与价值观:通过本节知识的学习,首先了解对两个分类的变量进行独立性检 验的必要性和作用,并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别,从而去探索新知识, 用全面的观点和辨证地分析问题,不为假想所迷惑,寻求问题的内在联系,培养我们学习数 学、应用数学的良好的数学品质.加强与现实生活相联系,从对实际问题的分析中学会利用 图形分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联系,学习用图形、数据来正确 描述两个变量的关系.明确数学在现实生活中的重要作用和实际价值.在学习中,我们应该 多自主学习、独立探究、合作交流.养成严谨的学习态度及实事求是的分析问题、解决问题 的科学世界观,并会用所学到的知识来解决实际问题. 二、学习重点难点 重点:理解独立性检验的基本思想;独立性检验的步骤. 难点:1.理解独立性检验的基本思想; 2.了解随机变量 ? 的含义;
2

3.独立性检验的步骤. 三、学习过程: 例 1.为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了 339 名 50 岁以上的人,调查结果 如下表: 患慢性气管炎 吸烟 43 未患慢性气管炎 162 合计 205
-1-

不吸烟 合计

13 56

121 283

134 339

试问:50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗? 分析:例 1 中给出的表称为 2 ? 2 列联表,意思是问题中要考虑 50 岁以上的人的两种状 态:是否吸烟,是否患慢性气管炎.表中排成两行两列的数据是调查得来的结果,希望根据 这 4 个数据来检验上述两种状态是否有关.这一检查问题就称为 2 ? 2 列联表的独立性检验. 下面进一步分析独立性检验的含义. 为了把问题讨论清楚,并便于向一般情况推广,我们用字母来代替 2 ? 2 列联表中的事件 和数据,得到一张用字母来表示的 2 ? 2 列联表,如下表所示: 患慢性气管炎 未患慢性气管炎 合计

(B)
吸烟 ( A) 不吸烟 ( A ) 合计

?B ?
n12 n22
n? 2

n11

n1?
n2?

n21 n?1

n

(1)首先,当吸烟(A)与患慢性气管炎(B)无关时,用概率方法进行推理,看看会出 现什么结果. 上面的话的意思是指事件 A 与 B 独立,这时应该有 P( AB) ? P( A) P( B) 成立.我们用字 母 H 0 表示上式,即 H 0 : P( AB) ? P( A) P( B) 并 称 之 为 统 计 假 设 , 当 H0 成 立 时 , 下 面 的 三 个 式 子 也 都 成 立 :

P( A B) ? P( A) P( B), P( AB ) ? P( A) P( B ), P( A B ) ? P( A) P( B ).
根据概率的统计定义,上面提到的众多事件的概率都可用相应的频率来估计.例如,

P( AB) 的估计为

n11 n n , P ( A) 的估计为 1? , P ( B ) 的估计为 1? ?? n n n

于是

n n n11 n1? n ?1 n ? 与 应该很接近, 12 与 1? ? ? 2 应该很接近?? n n n n n n
n11 n1? n?1 2 n n n n n n n n n ? ? ) , ( 12 ? 1? ? ?2 ) 2 , ( 21 ? 2? ? ?1 ) 2 , ( 22 ? 2 ? ? ?2 ) 2 n n n n n n n n n n n n

或者说, (

应该比较小,从而
-2-

(

n11 n1? n?1 2 n n n n n n n n n ? ? ) ( 12 ? 1? ? ?2 ) 2 ( 21 ? 2? ? ?1 ) 2 ( 22 ? 2? ? ?2 ) 2 n n n ? n n n ? n n n ? n n n ① n1? n?1 n1? n?2 n2? n?1 n2? n?2 ? ? ? ? n n n n n n n n

也应该比较小. (2)上面的表达式①就是统计中非常有用的 ? 2 (读作“卡方” )统计量,它可以化简为

?2 ?

n(n11n22 ? n12 n21 )2 ,用它的大小可以确定是否拒绝原来的统计假设 H 0 .如果计算出的 n1? n2? n?1n?2

,从而认为它们有关. ? 2 值较大,就拒绝 H 0 ,即拒绝“事件 A 与 B 无关” (3)两个临界值:3.841 与 6.635 通过对 ? 2 统计量分布的研究,已经得到了两个临界值:3.841 与 6.635,当根据具体 的数据算出的 ? 2 ? 3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关;当 ? 2 ? 6.635 时,有 99%的 把握说事件 A 与 B 有关.当 ? 2 ? 3.841 时,认为事件 A 与 B 是无关的. 对于例 1,最理想的解决办法是向所有 50 岁以上的人做调查,然后对所得数据进行统计 处理,但这花费的代价太大,实际上是行不通的,而且由于抽样的随机性,结果也不唯一, 即我们用部分对全体做出推断,推断的结论可能正确,可能错误.我们有 95%(或 99%)的把 握说事件 A 与 B 有关,是指推断错误的可能性为 5%(或 1%) ,这与常说的“以 95%(或 99%) 的概率” ,其含义是一样的. 解:由公式②,

339 ? (43 ?121 ? 162 ?13)2 ? ? ? 7.649 205 ?134 ? 56 ? 283
2

因为 7.649 ? 6.635 ,所以我们有 99%的把握说:50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯 有关.

-3-

例 2. 对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行 3 年跟踪 研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示:

又发作过心脏病 心脏搭桥手术 血管清障手术 合计 39 29 68

未发作过心脏病 157 167 324

合计 196 196 392

试根据上述数据比较两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别.

四、 课堂小结 1.知识梳理

2.规律小结 (1)独立性检验的基本思想 (2)独立性检验的一般方法 五、 课后反思:

-4-


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