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2011年高考数学专题讲义三角函数的图象与性质


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第十、 第十、十一讲
★★★高考在考什么 高考在考什么 考题回放】 【考题回放】

三角函数的图象与性质
π
4

1.已知函数 f ( x ) = a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ≠ 0 , x ∈ R )在 x = 得最小值,则函数 y = f (

处取

3π ? x) 是( D ) 4 (A)偶函数且它的图象关于点 (π ,0) 对称 3π (B)偶函数且它的图象关于点 ( ,0) 对称 2 3π ,0) 对称 (C)奇函数且它的图象关于点 ( 2 (D)奇函数且它的图象关于点 (π ,0) 对称 2.定义在 R 上的函数 f (x ) 既是偶函数又是周期函数,若 f (x ) 的最小正周期是 π ,且 π 5π 当 x ∈ [0, ] 时, f ( x) = sin x ,则 f ( ) 的值为 ( D ) 2 3 1 1 3 3 ( A) ? (B) (C) ? (D) 2 2 2 2
3.函数 y = -x·cosx 的部分图象是( D )

4.① 存在 α ∈ (0,

π
2

) 使 sin a + cos a =

② 存在区间(a,b)使 y = cos x 为减函数而 sin x <0 ③ y = tan x 在其定义域内为增函数 ④ y = cos 2 x + sin( ⑤ y = sin | 2 x +

1 3

π
2

? x) 既有最大、最小值,又是偶函数

π
6

| 最小正周期为 π

以上命题错误的为____________.①②③⑤ 5.把函数 y=cos(x+ φ 的最小正值为

4π )的图象向右平移 φ 个单位,所得的图象正好关于 y 对称,则 3

π

3
π 时, 12

6.设函数 f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0)的最小正周期为 π,并且当 x= 有最大值 f(
π )=4. 12 (1)求 a、b、ω 的值; (2)若角α、β 的终边不共线,f(α)=f(β)=0,求 tan(α+β)的值.

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ω

=π,ω>0 得 ω=2. ∴f(x)=asin2x+bcos2x.

? a2 + b2 = 4 ?a = 2, ? π ? 由 x= 时,f(x)的最大值为 4,得 ? a ?? 3 12 ?b = 2 3. ? + ? b=4 2 ?2 π π π (2)由(1)得 f(x)=4sin(2x+ ), 依题意 4sin(2α+ )=4sin(2β+ )=0. 3 3 3 π π π ∴sin(2α+ )-sin(2β+ )=0. ∴cos(α+β+ )sin(α-β)=0 3 3 3 ∵α、β 的终边不共线,即 α-β≠kπ(k∈Z) 故 sin(α-β)≠0. Z , ∴α+β=kπ+
π 3 (k∈Z).∴tan(α+β)= . Z 6 3

★★★高考要考什么 ★★★高考要考什么 【考点透视】 考点透视】 本专题主要涉及正弦函数、 余弦函数、 正切函数的图像和性质. 掌握两种作图方法: “五 点法”和变换作图(平移、对称、伸缩) ;三角函数的性质包括定义域、值域(最值) ,单调 性、奇偶性和周期性. 【热点透析】 热点透析】 三角函数的图象和性质是高考的热点, 在复习时要充分运用数形结合的思想, 把图象和 性质结合起来 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 常见题型: 1 考查三角函数的图象和性质的基础题目,此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图 象的基础上要对三角函数的性质灵活运用 2 三角函数与其他知识相结合的综合题目,此类题目要求考生具有较强的分析能力和 逻辑思维能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强 3 三角函数与实际问题的综合应用
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此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力, 要注意数形结合思想在解题中 的应用
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★★★突破重难点 ★★★突破重难点 【范例 1】右图为 y=Asin(ωx+?)的图象的一段,求其解析式。 解析 法 1 以 M 为第一个零点,则 A= 3 ,

ω = 2 所求解析式为 y = 3 sin(2 x + ? ) π 2π 点 M( ,0) 在图象上,由此求得 ? = ? 3 3 ∴ 所求解析式为 y = 3 sin(2 x ? 2π ) 3 法 2. 由题意 A= 3 , ω = 2 ,则 y = 3 sin(2 x + ? ) 7 7 Q 图像过点 ( π , 3) ∴ 3 = 3 sin( π + ? ) 12 6 7 7 π 2π 2π ∴ 3 = 3 sin( π + ? ) 即 π + ? = + 2kπ . ∴ ? = ? + 2 kπ . 取 ? = ? . 6 6 2 3 3
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岁月无痕官方网站 岁月无痕丰胸精油 都岁月无痕 成都岁月无痕有限公司 2π ∴ 所求解析式为 y = 3 sin(2 x ? ) 3

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【点晴】1. 由图象求解析式时,”第一零点”的确定很重要,尽量使 A 取正值. 点晴】 2. 由图象求解析式 y = A sin(ωx + ? ) + k 或由代数条件确定解析式时,应注意: (1) 振幅 A=

1 ( y max ? y min ) 2 1 T , 由此推出 ω 的 2

(2) 相邻两个最值对应的横坐标之差,或一个单调区间的长度为 值. (3) 确定 ? 值,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定.

【范例 2】已知函数 f ( x ) = log 1 (sin x ? cos x ) ,
2

(1)求它的定义域和值域;(2)求它的单调区间;(3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期。 解析 (1)由题意得 sinx-cosx>0 即 2 sin( x ? 从而得 2kπ < x ?

π
4

) > 0,

π
4

< 2kπ + π ,

∴函数的定义域为 2kπ + ( ∵ 0 < sin( x ?

π
4

,kπ + 2

1 ) ≤ 1 ,故 0<sinx-cosx≤ 2 ,所有函数 f(x)的值域是 [? ,+∞) 。 4 2 3π 5π (2)单调递增区间是 [ 2kπ + ,kπ + 2 ) ∈Z k 4 4 π 3π 单调递减区间是 2kπ + ,kπ + ( 2 ) ∈Z , k 4 4
(3)因为 f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称,故 f(x)是非奇非偶函数。 (4)∵ f ( x + 2π ) = log 1 [sin( x + 2π ) ? cos( x + 2π )] = f ( x)
2

π

5π ) ∈Z , k 4

∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π。 点睛】 【点睛】此题主要是考察对数函数与三角函数复合而成的复合函数的性质 ( 设函数 f ( x ) = a b , · 其中向量 a = (m, 2 x) , = (1 + sin 2 x, , ∈ R , cos b 1) x 【范例 3】陕西理 17) 且 y = f ( x ) 的图象经过点 ? ,? . 2 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合.

?π ?4

? ?

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解:(Ⅰ) f ( x ) = a b = m(1 + sin 2 x ) + cos 2 x ,

由已知 f ?

π? π ?π? ? ? = m ?1 + sin ? + cos = 2 ,得 m = 1 . 2? 2 ?4? ? ? ? π? ?, 4?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) = 1 + sin 2 x + cos 2 x = 1 + 2 sin ? 2 x +

π? ? ∴ 当 sin ? 2 x + ? = ?1 时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?
由 sin ? 2 x +

? ?

? 3π ? π? ? = ?1 ,得 x 值的集合为 ? x x = kπ ? ,k ∈ Z ? . 8 4? ? ?
2

【范例 4】设函数 f ( x ) = ? cos x ? 4t sin

x x cos + 4t 3 + t 2 ? 3t + 4 , x ∈ R , 2 2

其中 t ≤ 1 ,将 f ( x ) 的最小值记为 g (t ) . (I)求 g (t ) 的表达式; (II)讨论 g (t ) 在区间 ( ?11) 内的单调性并求极值. , 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数 的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题 的综合能力.本小题满分 14 分. 解:(I)我们有

x x f ( x) = ? cos 2 x ? 4t sin cos + 4t 3 + t 2 ? 3t + 4 2 2 = sin 2 x ? 1 ? 2t sin + 4t 2 + t 2 ? 3t + 4 = sin 2 x ? 2t sin x + t 2 + 4t 3 ? 3t + 3 = (sin x ? t ) 2 + 4t 3 ? 3t + 3 .
由于 (sin x ? t ) 2 ≥ 0 , t ≤ 1 ,故当 sin x = t 时, f ( x ) 达到其最小值 g (t ) ,即

g (t ) = 4t 3 ? 3t + 3 .
(II)我们有 g ′(t ) = 12t 2 ? 3 = 3(2t + 1)(2t ? 1), < t < 1 . ?1 列表如下:

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g ′(t ) g (t )

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? 1 1? ?? , ? ? 2 2?
1 2
0
极小值 g ?

1? ? ? ? ?1, ? 2? ?

?

1 2

?1 ? 1? ? , ?2 ?

+

0
极大值 g ? ?

?
? 1? ? ? 2?

+
?1? ? ?2?

1? ?1 ? ? 1 1? 1? ? 和 ? , 单调增加,在区间 ? ? , ? 单调减小,极小值为 2? ?2 ? ? 2 2? ?1? ? 1? g ? ? = 2 ,极大值为 g ? ? ? = 4 . ?2? ? 2? r 【范例 5】已知二次函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(1-x)= f(1+x)成立,设向量 a = (sinx, r r u r 1 2), b = (2sinx, ), c = (cos2x,1), d = (1,2),当 x∈ [0, π ]时,求不等 2 r r r u r 式 f( a ? b )>f( c ? d )的解集. 解析: 解析: 设 f(x)的二次项系数为 m,其图象上两点为(1-x, y1 )、B(1+x, y2 )因为 (1 ? x) + (1 + x) = 1 , f (1 ? x) = f (1 + x) ,所以 y1 = y2 ,由 x 的任意性得 f(x)的图象关 2
由此可见, g (t ) 在区间 ? ?1, ? 于直线 x=1 对称,若 m>0,则 x≥1 时,f(x)是增函数,若 m<0,则 x≥1 时,f(x)是 减函数.

? ?

r r r u r 1 a ? b = (sin x , 2) ? (2 sin x , ) = 2 sin 2 x + 1 ≥ 1 , c ? d = (cos 2x , 1) ? (1 , 2) 2 = cos 2 x + 2 ≥ 1 , r r r u r ∴ 当 m > 0 时, f (a ? b) > f (c ? d ) ? f (2sin 2 x + 1) > f (cos 2 x + 1)


? 2 sin 2 x + 1 > cos 2 x + 2 ? 1 ? cos 2 x + 1 > cos 2 x + 2 ? 2 cos 2 x < 0 π 3π ? cos 2 x < 0 ? 2kπ + < 2 x < 2kπ + ,k ∈Z. 2 2 π 3π ∵ 0≤ x≤π, ∴ <x< . 4 4 π 3π 当 m < 0 时,同理可得 0 ≤ x < 或 < x≤ π. 4 4 r r r u r π 3π 综上 f (a ? b) > f (c ? d ) 的解集是当 m > 0 时,为 {x | < x < }; 4 4 π 3π 当 m < 0 时,为 {x | 0 ≤ x < ,或 < x ≤ π} . 4 4
【点晴 此题是三角函数与平面向量的综合问题。 点晴】 利用函数的单调性解不等式是该题的 点晴 重点和难点. 【变式】试判断方程 sinx= 变式】 解析 方程 sinx=

x 实数解的个数. 100π

x x 实数解的个数等于函数 y=sinx 与 y= 的图象交点个数 100π 100π

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岁月无痕官方网站 岁月无痕丰胸精油 丰胸产品排名 丰胸产品排行榜 成 都岁月无痕 成都岁月无痕有限公司 www.7pp.com.cn www.txiong.com x ∵|sinx|≤1∴| |≤1, |x|≤100л 100π
当 x≥0 时,如右图,此时两线共有 100 个交点,因 y=sinx 与 y= 100л

x 都是奇函数,由对称性知当 x≥0 时,也有 100 个交 100π

点,原点是重复计数的所以只有 199 个交点。 点睛】 【点睛】 此题主要考察数形结合解题的能力。该题在统计根的个数时,要注意原点的 特殊性.

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