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高一数学教案:集合的概念3


第一章

集合与简易逻辑

第一课时:§1.1 集合的概念
教学目的:①知识目标:掌握集合、子集、全集、空集的概念,熟练运用集合的各种表示方 法及集合与集合、元素与集合的关系符号. ②能力目标:能够将两集合间的关系和方程与不等式相互转化,求解相关问题; ③情感目标:能正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化;学会集合中的分类 思想,学会有条理的分析问题。 教学重点、难点及其突破:集合是高中数学中最基本的概念,也是历年高考的必考点。本节 复习的重点是:(1)集合中元素的确定性、互异性和无序性;(2)表示集合的列举法、描述法和图 示法;(3)集合语言与集合思想的运用。解答集合问题,要正确理解集合的有关概念,对于用描 述法组出的集合 x x ? P ,要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P.熟练掌握 集合的图形表示(即韦恩图或称文氏图)、数轴表示等基本方法,并树立借助韦恩图、数轴解决集 合问题的意识——属于“画图意识”或“数形结合意识”这一大意识.明确集合元素的确定性、 互异性和无序性,并注意此性质在解题中的应用。 教学方法:讲练结合法。 高考要求及学法指导:高考对集合概念考查有两种主要方式:一是直接考查集合概念;二是 以集合为工具考查集合语言和集合思想的运用,小题目综合化是这部分内容的一种命题趋势。解 决的关键是抓住集合中元素的三个特性, 明确元素的本身属性, 正确进行 “集合语言” 和普通 “数 学语言”的相互转化. 知识网络

?

?

教学过程: 一、知识点复习: 1、集合的概念:由一些确定对象的全体形成一个集合,集合里的各个对象叫做这个集合的 元素;含有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集.如果 a 是集合 A 的 元素,就说 a 属于集合 A,记作 a∈A;如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A,记作 a ? A 。 2、集合的表示法: ①列举法:如方程 x ? 1 ? 0 的解集表示为{-1,1}.
2

2 ②描述法:如方程 x ? 1 ? 0 的解集表示为 x x ? 1 ? 0
2

?

?

3、集合的特性: (1)确定性 对于集合 A 和某一对象 x,有一个明确的判断标准是 x ∈A,还是 x ? A ,二者 必居其一,不会模棱两可. (2)互异性 集合中的相同元素只算是一个,如方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的两个等根 x1 ? x2 ? 1 ,
2

用集合记为{1},而不写为{1,1}. (3)无序性 集合中的元素是不排序的如集合{1,2}与{2,1}是同一个集合, (但实际上书写 时还是按一定顺序写,如{-l,0,1,2}而不写成{0,1,-1,2}这样写不方便)其更深刻的含 义是揭示了集合元素的“平等地位” . 思考:{(1,2)}与{(2,1)}表示同一集合吗? 4、子集、交集、并集和补集: (1)子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集,记作 A ? B(或 B ? A),显然 A ? A.规这空集是任何集合的子集.即 ? ? A 如果 A 是 B 的子集,并且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A). (2)集合相等:若 A ? B 且 B ? A,则 A=B (3)交集:由所有属于集合 A,且属于集合 B 的元素组成的集合,叫做 A、B 的交集,记作 A ∩ B ={ x x ? A 且 x ? B } (4)并集:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,叫做 A、B 的并集,记作 A ∪ B,即 A∩B={ x x ? A 或 x ? B } (5)补集:集合 A 是集合 U 的子集,由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 U 中子集 A 的补集,记作①Cu A,即:Cu A={x│x∈U,且 x ? A}

二、例题选讲:
(一)基础知识扫描 1、集合中元素具有_____________性、____________性、___________ 性,集合的表示方法 有___________、____________、____________ ,元素与集合用 ___________________联结,集 合与集合用_____________联结, 2、已知 A= x x ? 2n ? 1, n ? Z ,B= x x ? 4n ? 1, n ? Z ,则下列结论不正确的是( ) A.A ? B B.B ? A C.A=B D.A B

?

?

?

?

3、已知集合 ? x ? Z

? ?

? 6 ? N * ? ,用另一种方法表示为_______________________。 5?m ?

4、若 P ? y y ? x , x ? R , Q ? ( x, y) y ? x , x ? R ,则( )
2 2

?

?

?

?

A.P∩Q= ?

B.P

Q

C.P = Q

D.P

Q

5、下列命题中真命题的个数是( ) ①0∈ ? ;② ? ∈{ ? };③0∈{0};④ ? ? {a} A.1 B.2 6、集合{1,2,3}的子集共有( ) A.7 个 B.8 个 (二)典型例题分析: C.3 C.6 个 D.4 D.5 个

题型 1:集合的基本概念. 此类问题主要有两类, 一是元素和集合之间的关系问题; 二是集合与集合之间的关系问题. 关 键在于化简给定的集合,确定集合的元素,并真正认识集合中元素的属性.然后依据集合的有关 概念,特别是集合中元素的三个性质;对于用描述法给出的集合 x ? A P( x) ,竖线前方的 x 是 代表元素.该集合是使命题 p(x)为真的 A 中诸元素之集合. 例 1 选择题: (1) 已知集合 P ? y ? x 2 ? 1 , Q= y y ? x 2 ? 1 , R= x y ? x 2 ? 1 ,

?

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?

?

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M= ( x, y) y ? x 2 ? 1 ,N= x x ? 1 ,则( ) A.P=M B.Q=R C.R=M D.Q=N

?

?

?

?

(2)定义差集 M ? N ? x x ? M且x ? N ,若 A={1,2,3,4,5},B={2,3,6},则 B-A 等于( ) A.A

?

?

B.B

C.{6}

D.{1,4,5}

解析 (1)集合 P 是用列举法表示,只含有一个元素,即函数 y ? x 2 ? 1 ,集合 Q,R,N 中的 元素全是数,即这三个集合都是数集.集合 Q 是函数 y ? x 2 ? 1 的值域 ? 1 , ? ?? ;集合 N 是不等 式的解集 ? 1 , ? ?? ;而集合 M 的元素是平面上的点,此集合是函数 y ? x 2 ? 1 图象上所有点组成 的集合.∴应选 D. (2)理解 M-N 属于 M 但不属于 N 的元素组成的,所以 B-A 的元素应属于 B,但不属于 A,所 以答案为 C. 点评 解集合问题时,对集合元素的准确识别十分重要,不允许有丰点差错,否则将导致解 题的失败. 明确集合中元素的本身属性是解决集合问题的钥匙. 例2 已知 A ? a ? 2, ?a ? 0? , a 2 ? 3a ? 3 ,若 1∈A,求实数 a 的值.
2 2
2

?

?

分析:∵1∈A.则 a+2, ?a ? 1? , a ? 3a ? 3 都可能为 1,则需分类讨论解决,且必须验 证。 解:①若 a + 2 = 1,则 a = -1,此时 A = {1,0,1}与集合中元素的互异性矛盾, (舍去) ②若

?a ? 1?2 =1,则 a=0 或 a

= - 2.

当 a=0 时,A={2,1,3},满足题意; 当 a=-2 时,A={0,1,1 }与集合中元素的互异性矛盾,(舍去). ③若 a ? 3a ? 3 =1,则 a=-1 或 a=-2 (舍去).
2

综上所述 a = 0. 点评 本例考查了集合中元素的互异性和分类讨论的思想,在解决集合的元素问题时,互异 性至关重要. 题型 2:集合中元素的性质. 集合中元素具有三个特性:确定性、互异性、无序性,其中互异性考查最多,而且考查具有

隐蔽性. 例3 设集合 A ? ?x ? y, x ? y, xy?,B

?x

2

? y 2 , x 2 ? y 2 ,0 ,且 A=B,求实数 x 和 y 的值

?

及集合 A,B. 分析 因为集合中的元素具有确定性、互异性、无序性,解此题时应注意集合的元素满足这 三个性质.由已知条件 A=B,可知 0∈A,然后由此讨论求解. 解:∵A=B,0∈B,∴0∈A 若 x+y=0 或 x-y=0.则 x 2 ? y 2 ? 0 ,这样集合 B 中有重复元素,根据集合元素,与互 异性相抵触,故 x+y≠0 ,x-y≠0

? xy ? 0 ? 2 2 ∴ ?x ? y ? x ? y ?x ? y ? x 2 ? y 2 ?
由①得 ?



? xy ? 0 ? 2 2 或 ?x ? y ? x ? y ?x ? y ? x 2 ? y 2 ?



?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 1 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 1 或? 或? ;由②得 ? 或? 或? ?y ? 0 ?y ? 1 ?y ? 0 ? y ? 0 ? y ? ?1 ? y ? 0

∴ 当 x=0,y=0 时,x-y=0,故舍去 当 x=1,y=0 时,x-y=x+y=1,故也舍去. ∴?

?x ? 0 ?x ? 0 或? ∴A=B={0,1,-1 } ? y ? 1 ? y ? ?1

点评 两个集合相等则它们的对应元素相等。如果是数集,则它们元素的和与积也相等. 题型 3:子集的问题. 此类题以集合为背景,求子集的个数、集合中元素个数等,常用的解法是:①子集个数公式; ②图示法等. 例 4 (1)已知集合 A 满足{1, 2} ? A{1, 2, 3, 4, 5}, 则所有满足条件的集合 A 的个数_____ (2)已知集合 M 满足{2,5} ? M {1,2,3,4,5} 则不同的 M 的个数是____________

(3)设① A ? {1,2,3,4,5,6,7};②当 a ? A 时,必有 8 ? a ? A ,则同时满足条件①, ②的非空集合 A 的个数为___________。 解析 (1)A 中必须含有 1,2 两个元素,也可以含有 3,4,5 中的全部或部分元素,∴满足 条件的 A 有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2, 4,5},{1,2,3,4,5} (2)记 A={1,2},B={1,2,3,4,5},B ={1,3,4},则 A∩B =Φ ,A∪B =B,.满足条件 A ? M
/ / /

B

的每一个集合 M, 对应着 的一个真子集. 所以符合题意的集合 M 的个数等于集合 的真子集的个 数.而 的真子集共有 2 -1=7 个个.所以,满足 A ? M
3

B 的集合 M 共有 7 个.
4

(3)将元素配对: (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4), 以这些元素对为元素, 共有非空子集 2 ? 1 ? 15 个. 点评 : 一般地含有 n 个元素的集合,有 2 个子集, 2 -1 个真子集, 2 -1 个非空子集, 2 -2
n n n n

个非空真子集. 例 5 已知集合 A ? x ax2 ? 3x ? 2 ? 0, a ? R

?

?

(1)若 A 是空集,求 a 的取值范围. (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值并把这个元素写出来. (3)若 A 中至多有一个元素,求 a 的范围. 分析 讨论方程 ax ? 3x ? 2 ? 0
2

实数根的情况,从中确定 a 的取值范围,由题意,方程

ax2 ? 3x ? 2 ? 0 有一个实根、两个相等实根或无实根.

2 (1)若 A 为空集,则方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 无实数解,∴ ? ? 9 ? 8a ? 0 , a ?

9 8

2 9 ,符合题意;当 a≠0 时, ? ? 9 ? 8a ? 0 , a ? 3 8 9 2 4 所求实数 a=0 或 a ? 时,A 中只有一个元素,为 或 8 3 3 9 (3)综合(1)(2)得,若 A 至多有一个元素,则 a=0 或 a ? 8
(2)当 a=0 时, x ? 点评 “a=0”这种情况容易被忽视,对于方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 有两种情况,一是 a=0,它
2

是一元一次方程;二是 a≠0,它是一元二次方程,只有在这种情况下,才存在判别式△. 题型 4:应用性问题 例6 为配合教育形式,某地一学校组织高一学生对本地农户进行抽样调查,结果如下: 电冰箱拥有率为 49%,电视机拥有率为 85%,洗衣机拥有率为 44%,至少拥有上述三种电器中 两种以上的占 63%, 三种电器齐全的为 25%, 那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为( ) A.10% B.12% C.15% D.27% 分析 这是一个小型应用题.把各种人群看作集合,本题就是已知全集元素个数,求其某个 子集的元素个数,可借助文氏图解法. 解 不妨设调查了 100 户农户, U={被调查的 100 户农户}, A={100 户中拥有电冰箱的农户}, B={100 户中拥有电视机的农户},C={100 户中拥有洗衣机的农户}, 由右图知。A∪B∪C 的元素个 数为 49+85+44-63-25=90. ∴Cu(A∪B∪C)的元素个数为 100-90=10.故选 A. 三、本节所涉及的数学思想·规律·方法 1、要掌握数集与点集,解题中灵活运用. 2、掌握集合中元素的确定性、互异性、无序性,它是正确解决有关集合问题的重要一环. 3、若集合中含有 n 个元素,则它的子集有 个,真子集有 个;讨论子集不要忽略空集. 4、对于已知某两集合间的关系,求其满足的条件,应将集合化简并转化为方程或不等式的 问题求解. 四、作业: 《威州中学数学课时作业》 。 五、课后记:



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