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高中数学竞赛与自主招生专题第十讲 数列与极限(教师版)


zxxk.com 2016 年竞赛与自主招生专题第十讲数列的极限与数列综合 从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后, 政策刚出时, 很多人认为, 是不是要在高考出分后再考自主招生,是否高考考完了,自主招生并不是失去 其意义。自主招生考察了这么多年,使用的题目的难度其实已经很稳定,这个 题目只有出到高考以上,竞赛以下,才能在 这么多省份间拉开差距. 所以,笔试难度基本稳定,维持原自主招生难度,原来自主招生的真题竞 赛真题等,具有参考价值。 在近年自主招生试题中,数列是自主招生必考的一个重要内容之一,数列 考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的 应用等。 一、知识精讲 一.数列极限的定 义:一般地,如果当项数 n 无限增大时,无穷数列 ?an ? 的项 an 无限地趋近于某个常数 a ,那么就说数列 ?an ? 以 a 为极限. 注: a 不一定是 ?an ? 中的项. 二.几个常用的极限: (1) lim C ? C ( C 为常数); n ?? (2) lim n ?? 1 ?0 n (3) lim q n ? 0 ( q <1). n ?? (4) lim n ?? an k ? b a ? ( k ? N * , a、b、c、d ? R 且 c ? 0 ) k cn ? d c ? 1, a ? b a n ? bn ? ? ? 0, a ? b (5) lim n n ?? a ? b n ??1, a ? b ? [来源:学。科。网] 三.数列极限的四则运算法则:设数列 ?an ? 、 ?bn ? ,当 lim an ? a , lim bn ? b 时: n ?? n ?? lim( an ? bn ) ? a ? b n ?? lim( an ? bn ) ? a ? b n ?? lim n ?? an a (b ? 0 ) ? bn b zxxk.com zxxk.com 四. 无穷等比数列: 若无穷等比数列 a1, aq,?, aqn?1 ?有 q ? 1 , 其所有项的和 (各 项的和 )为: S ? lim Sn ? n ?? a1 . 1? q 五.常见的数列极限可以归纳为两大类: 第一类是两个关于自然数 n 的多项式的商的极限: lim n?? ?a ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? ? a1n ? a0 ? ,当l ? k时; ? ?b (k , l ? N * , ak ? 0, bl ? 0) l l ?1 bl n ? bl ?1n ? ? ? b1n ?b 0 ? ?0,当l ? k时. 当 k ? l 时,上述极限不存在. 第二类是关于 n 的指数式的极限: lim q n ?? n ?0,当 | q |? 1时; ?? ?1,当q ? 1时 当 | q |? 1 或 q ? ?1 时,上述极限不存在. ? 1? ? 1? 一.特殊数列的极限: an ? ?1 ? ? , an ? ?1 ? ? ? n? ? n? (1) lim 1 ? 0 (a ? 0, a 是常数) ; n ?? n a n n (2) lim an ? 0 (a ? 0) ; n ?? n ! n [来源:Zxxk.Com] nk (3) lim n ? 0 ( a>1 , k 为常数) ; n ?? a ? 1? (4) lim ?1 ? ? ? e . n ?? ? n? 下面证明第四个公式 1 ?


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