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2.2.22对数函数及其性质


2.2.2 对数函数及其性质
y

0

x

学习是一件快乐的事情,积极主动的思 考、发言和争论让你我都能感觉到进步!

对数函数及其性质 学习目标
1.理解对数函数的概念,熟悉对数函数的 图象性质规律。 2. 通过观察对数函数的图象,发现并归纳 对数函数的性质。 3.会根据对数函数的性质求对数式函数 的定义域,比较大小

下列函数有哪些共同特点? y = log 2 x ,

解析式是一个对数 式,底数是不等于 1的正常数,真数 是自变量x
5730

y ? log

y ? log 1 x ,
2

1 2

x,

y = log 3 x .

数学模型

y = log a x (a>0,且a≠1)

二.探究新知
对数函数的定义 一般地,我们把函数 y ? loga x (a ? 0,且a ? 1) 叫做对数函数,其中 x是自变量. 函数的定义域是 (0, ?? )

思考 :为什么限制 a ? 0且a ? 1 呢?
y ? loga x ? x ? a y

为什么对数函数的定义域是(0, ?? ) ?

练习:
1.下列函数中,哪些是对数函数. (1)y=log3(x+1); (3)y=log3x-1; (2)y=5log2x; (4)y=logxa(x>0且x≠1);

(5)y=lg x;

(6)y=ln x2.

一个函数为对数函数的条件是: ①系数为1; ②底数为大于0且不等于1的常数; ③真数为单个自变量x.

例1:求下列函数的定义域: (1) y ? log a x 解: 由
2
2

x ?0 得 x?0 ∴函数 y ? log a x 2 的定义域是 ?x | x ? 0? 求解对数函数定义域问题的关键是

要求真数大于零,当真数为某一代 解: 由 4 ? x ? 0 得 x ? 4 数式时,可将其看作一个整体单独 ∴函数 y ? log a (4 ? x) 的定义域是?x | x ? 4? 提出来,求其大于零的解集,即该函 数的定义域.

(2) y ? log a (4 ? x )

(2 )

y ? log( x ?1) (9 ? 3 )
x

?9 ? 3 ? 0 ? ? x ?1 ? 0 ? x ?1 ? 1 ?
x

?

? x?3 ? ? x ? ?1 ? x?0 ?

?

?1 ? x ? 0或0 ? x ? 3.

?该函数的定义域是(? 1, 0)(0, 3)

练习
1.求下列函数的定义域:

1 () 1 y ? log5 (1? x); (2)y ? ; log 2 x
1 (3)y ? log 7 ; (4) y ? log3 x . 1 ? 3x

求函数的定义域应从以下几个方面入手: (1)函数含有分母时,分母不能为0;

(2)函数含有开偶次方运算时,被开方式必须
大于等于0;

(3)0的0次幂没有意义;
(4)函数含有对数运算时,真数必须大于0,

底数大于0且不等于1.

设问:怎样来研究对数函数呢?

研究对数函数的什么? ●主要内容是函数的性质: 定义域、值域、单调性、 奇偶性、最值等
●主要方法:利用图象来辅助研究性质 作图?观察图形特征?得出性质

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质

在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? log2 x和y ? log1 x 的图象。

作图步骤:

2

①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接。

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质
作y=log2x图象

列 表 描 点
连 线

X

1/4

1/2

1

2

4



y=log2x

-2

-1

0

1

2



y 2
1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1 -2

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质

x

列 y ? log2 x … -2 表 y ? log1 x
2



1/4

1/2

1

2

4



-1 1

0 0

1 -1

2 … -2 …



2

描 点 连 线

y 2 1
0
11 42

y ? log2 x

1 2 3

4

x

-1

-2
y ? l og1 x
2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 y 2 探索发现: 11 认真观察函数 4 x 0 1 2 3 4 y=log2x -1 的图象填写下表 -2
1 2

图象特征

代数表述

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是: 增函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

探索发现: 认真观察函数

y 2

y ? log1
2

x

1 11
42

的图象填写下表
图象特征

0 -1 -2

1 2 3 4

x

函数性质

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : 值 域 :

( 0,+∞) R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是:减函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

猜猜: 对数函数 y 2

y ? l og3 x和y ? l og1 x的图象。
3

y ? log2 x

y ? log3 x
11 42

1
0

1 2 3

4

x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

-1 -2

3

三.深层思考,升华认识
y ? loga x (a ? 0,且a ? 1)
a

底 大 图 右

y 2
y=1

y ? log2 x

1
0

y ? log3 x

1 2 3

4

x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

-1 -2

3

对数函数y=logax (a>0,且a≠1) 的图象与性质
a>1 图 象 性
y
x =1
y ? loga x (a ? 1)

0<a<1
y
X
x =1

(1,0)
O

O

(1,0)

y ? loga x (0 ? a ? 1)

X

R 过定点: (1 ,0), 即当x =1时,y=0 增函数 在(0,+∞)上是 减函数 质 在(0,+∞)上是: x ? (0,1) ? y ? 0 x ? (0,1) ? y ? 0 x ? (1,??) ? y ? 0 x ? (1,??) ? y ? 0

定义域 : 值 域 :

( 0,+∞)

例2

比较下列各组数中两个数的大小:

(1)log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解:∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
4

且 3 . 4 <8 . 5

∴ log 2 3 . 4 < log 2 8 . 5

3

2

1

2

3.4

4

6

8.5
8

10

-1

-2

y=log2x

-3

(2)log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7 解:∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数

且 1 . 8 <2 . 7
1.4 1.2 1

∴ log 0 . 3 1 . 8 > log 0 . 3 2 . 7

0.8

0.6

0.4

0.2

1.8
0.5 1 1.5 2

2.7
2.5 3 3.5

-0.5 -0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

y=log0.3x

-1.4

练习:比较下列各题中两个值的大小: < lg8 ⑴ lg6 < ⑵ log0.56 log0.54 > ⑶ log0.10.5 log0.10.6 > ⑷ log1.51.6 log1.51.4

【例3】比较下面各题中两个对数的大小: (1)log34 , log65 解: ( 1) (2)log0.32 , log0.90.2

∵ log34>log33=1, log65 <log66=1,
∴ log34 >log65. ( 2) ∵ log0.32<log0.31=0 , log0.90.2>log0.91=0, ∴log0.32<log0.90.2 .

定义

y ? log a x (a ? 0,且a ? 1)
y
y
x ?1

y ? l oga x (a ? 1)
(1,0)
x ?1

x

o

o

性质

(1,0)

x
y ? l oga x (0 ? a ? 1)

对数函数与指数函数的图像有什么关系?


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