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初高中衔接第二讲 《数与式的运算》


第二讲
基础知识呈现
1、乘法公式: (1)平方差公式 (2)完全平方公式 (3)立方和公式 (4)立方差公式 (5)三数和平方公式 (6)两数和立方公式 (7)两数差立方公式 例题讲解(一) 例 1、计算: (1) ( 4 ? m )( 16 ? 4 m ? m )
2

数与式的运算(一) 姓名

例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , a b ? b c ? a c ? 4 ,求 a ? b ? c 的值.
2 2 2

( a ? b )( a ? b ) ? a ? b ;
2 2

(a ? b) ? a ? 2ab ? b .
2 2 2

( a ? b )( a ? a b ? b ) ? a ? b ;
2 2 3 3

( a ? b )( a ? a b ? b ) ? a ? b ;
2 2 3 3

例 3、已知 x ? 3 x ? 1 ? 0 ,求 x ?
2

3

1 x
3

的值.

(a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? 2(ab ? bc ? ac ) ;
2 2 2 2

(a ? b ) ? a ? 3a b ? 3ab ? b ;
3 3 2 2 3

(a ? b ) ? a ? 3a b ? 3ab ? b .
3 3 2 2 3

(2) ( m ?
5

1

1 2

n )(

1 25

m

2

?

1 10

mn ?

1 4

n )

2

例 4、已知 a ? b ? c ? 0 ,求

a(

1 b

?

1 c

) ? b(

1 c

?

1 a

) ? c(

1 a

?

1 b

)

的值.

(3) ( a ? 2 )( a ? 2 )( a ? 4 a ? 16 )
4 2

(4) ( x ? 2 xy ? y )( x ? xy ? y )
2 2 2 2

2

巩固练习(1) 1、计算:(1) ( x ? 3 y ? 4 z )
1
2

2

(5) ( x ? 1)( x ? 1)( x ? x ? 1)( x ? x ? 1) .
2 2

(6) ( x ?
2

2x ?

1 3

(2) ( a ? 4 b )( a ? 4 b ? a b )
2

)

2

4
2 2 (3) ? a ? b ??a ? ab ? b ? ? ? a ? b ? 3

2、 已知 a ?

1 20

x ? 20, b ?

1 20

x ? 19, c ?

1 20

x ? 21 , 求代数式 a ? b ? c ? a b ? b c ? a c 的值.
2 2 2

2 (7) ( a ? 2 b ? c ) ? ? a ? 2 b ? c ?

2

(8) ? x ? 2 y ? ? ( x ? 2 y )
3

3

3、已知 x ? y ? 10 , x ? y ? 100 , 求 x ? y 的值。
3 3 2 2

第二讲
1、分式 (1)分式的意义 形如
A B

数与式的运算(二)姓名

(4)
x ?

x 1? x x ? 1 x

的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称

A B

为分式. 例 2、 (1)试证:
1 n ( n ? 1) ? 1 n ? 1 n ?1

(2)分式的基本性质. 当 M≠0 时: (3) .繁分式
a

(其中 n 是正整数) ;

A B

?

A?M B?M



A B

?

A?M B ?M





m ?n? p b , 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2m c?d n? p

(2)计算:

1 1? 2

?

1 2?3

?? ?

1 9 ? 10



例题讲解(二) 例1、 计算 (1)
x ? y
3 3 2

x

2

? y

? (x ? y)

(3)证明:对任意大于 1 的正整数 n, 有
? x2 ? x ?1 ?x
2 3 x ?1 ? 1 ? 2 3 ? ? x ? 1? ? x ? 2 x ? 1

1 2?3

?

1 3? 4

?? ?

1 n ( n ? 1)

?

1 2



(2) ?

? 2x ? 1

?

(4)试证:对任意的正整数 n,有
1 ? ? 1 b 1 b

1 1? 2 ? 3

?

1 2?3?4

?? ?

1 n ( n ? 1)( n ? 2 )



1 . 4

(3) a 1
a

例 3、 (1)若

5x ? 4 x( x ? 2)

?

A x

?

B x?2

,求常数 A , B 的值.

巩固练习(二) 1、计算:
a? a 1 a? 1 a

(2)求方程

x?3 x ?1

? y ? 0 的整数解。

2、解方程:

x x ?1

?

x ?1 x?2

?

x? 2 x ?1

?

x?3 x?4

(3)解方程:

5 x ? 96 x ? 19

?

x?8 x?9

?

4 x ? 19 x?6

?

2 x ? 21 x?8

3、设 e ?

c a

,且 e>1,2c2-5ac+2a2=0,求 e 的值.

4、计算:

1 1? 3

?

1 2?4

?

1 3? 5

?? ?

1 9 ? 11

(4)解方程:

2 x ? 13 2 x ? 11

?

2 x ? 17 2 x ? 15

?

2 x ? 19 2 x ? 17

?

2 x ? 11 2x ? 9

第二讲
1、二次根式 (1)二次根式 a 的意义
a
2

数与式的运算(三)姓名

(4)

8 ? 2 15 ? 5 ?

10 ? 3 ? 2

6

(5)

11 ? 5 7 ? 4 6 7? 77 ? 66 ? 42

2

? a ? ?

?a,

a ? 0,

? ? a, a ? 0.

(2)分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引 入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就 说 这 两个 代 数式 互 为 有理 化 因式 , 例如
2 与 2 ,3 a 与
x , a a , 3? 6 与

3?

6 , x ?b

例 2、试比较下列各组数的大小: (1) 1 2 ? 1 1 和 1 1 ? 1 0 ; (2)
2 6 ?4

2 3 ? 3 2 与2 3 ? 3 2 , a 等等. 一般地,

x 与

x ?b

y 与a

x ?b

y ,a

和 2 2- 6 .

与a

x ? b 互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分 子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程。 (3)形如
m ? 2 a ? n 的 化 简 , 只 要 我 们 找 两 个 数 a , b , 使 a ? b ? m , ab ? n , 使 得 b ? n ,那么便有:

? a? ? ? b?
2

2

? m,

m ? 2

n ?

?

a ?

b

?

2

?

a ?

b ?a ? b ?

例题讲解(三) 例 1、计算: (1) 2
2 3 ? 2 ? (2 ? 5)
2

例 3、化简: (1) x ?
2

1 x
2

? 2 ( 0 ? x ? 1) ;

(2) (1 ? x ) 2 ?

(2 ? x)

2

( x ? 1)

?

1 5 ? 2

(2)

x

x ? x xy ? y
2

y

?

x? x

xy ? y x ? y y

(3) 9 ? 4 5 (3) ( a ?
b? a ? ab b )?( a ab ? b ? b ab ? a ? a ?b ab )

(4) 6 ?

35 ?

6?

35

例 4、设 x ?

2? 2?

3 3

,y ?

2 ? 2?

3 3

,求 x 3 ? y 3 的值.

2、比较大小: a ?

2012 ?

2011 , b ?

2011 ?

2010 , c ?

2010 ?

2009 。

例 5、设 x ? 值。

n ?1 ? n ?1 ?

n n

,y ?

n ?1 ? n ?1 ?

n n

3、已知 x ? ,且 19 x ? 123 xy ? 19 y ? 1985 ,试求整数 n 的
2 2

3? 3?

2 2

,y ?

3 ? 3 ?

2 2

,求 3 x ? 5 xy ? 3 y 的值 .
2 2

4、计算: (1) 2 3 ? 2 2 ?
17 ? 12 2

(2)

3?

5 ?

3?

5

例 6、若 x ?

19 ? 8 3 ,试计算

x

4

? 6x ? 2x
3

2

? 18 x ? 23

x

2

? 8 x ? 15

的值。

5、已知 m ? 0 , n ? 0 ,且 m ? m ?

n ? 3 n

?

?

m ? 5 n ,求

?

8m ?

mn ? 3 n

2 m ? 3 mn ? n

的值。

巩固练习(三) 1、计算:
x? y x ? y ? x? y ? 2 x ? y xy



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