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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1抛物线的几何性质(一)


2.3.2(一)

2.3.2 抛物线的几何性质(一)
【学习要求】
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1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 【学法指导】 结合椭圆和双曲线的几何性质,类比抛物线的性质,通过对抛 物线的标准方程的讨论, 进一步理解用代数方法研究几何性质 的优越性,感受坐标法和数形结合的基本思想.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.2(一)

1.抛物线的几何性质
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标准

y2=

y2=-2px (p>0)

x2=2py (p>0)

x2=-2py (p>0)

方程 2px(p>0)

图形

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.2(一)

范围
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x≥0, y∈R

x≤0, y∈R

x∈R, y≥0

x∈R, y≤0

性 质

对称轴 顶点 离心率 焦点 准线

x轴

x轴 (0,0) e=1

y轴

y轴

p ( ,0) 2 p x=- 2

p (- ,0) 2 p x= 2

p (0, ) 2 p y=- 2

p (0,- ) 2 p y= 2

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2(一)

探究点一 抛物线的几何性质 问题 1 类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图象,说出抛物
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线 y2=2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方 程验证?

答案 (1)范围:x≥0,y∈R;
(2)对称性:抛物线 y2=2px (p>0)关于 x 轴对称; (3)顶点:抛物线的顶点是坐标原点;

(4)离心率:抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离 的比叫抛物线的离心率,用 e 表示,由定义可知 e=1.

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2.3.2(一)

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问题 2 通过抛物线的几何性质,怎样探求抛物线的标准方 程?

答案 求抛物线的标准方程,主要利用待定系数法,要根 据已知的几何性质先确定方程的形式,再求参数 p.

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例1

2.3.2(一)

若抛物线 y2=x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点 ( B )

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的距离,则点 P 的坐标为 ?1 ?1 2? 2? ? ? ? A.? ,± ? B.? ,± ? 4? 4? ?4 ?8 ? ?1 ?1 2? 2? ? ? ? C.? , ? D.? , ? 4? 4? ?4 ?8 ?
解析

由题意知, P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的距 点 ?1 ? 离,因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线上,而 F? ,0?,所以 ?4 ? 1 2 P 点的横坐标为 ,代入抛物线方程得 y=± ,故点 P 的坐 8 4 ?1 2? ? 标为? ,± ?,故选 B. 4? ?8 ?

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2.3.2(一)

小结
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(1)注意抛物线各元素间的关系:抛物线的焦点始终在

对称轴上,抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点,抛物 线的准线始终与对称轴垂直,抛物线的准线与对称轴的交点 和焦点关于抛物线的顶点对称. (2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中,通过定义 的运用,实现两个距离之间的转化,简化解题过程.

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2.3.2(一)

跟踪训练 1 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶 点在抛物线 y2=2px (p>0)上,求这个正三角形的边长.


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如图所示,设正三角形 OAB 的顶点 A,B

在抛物线上,且坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 则 y1=2px1,y2=2px2. 2 又|OA|=|OB|,所以 x2+y2=x2+y2, 1 1 2 2 即 x1-x2+2px1-2px2=0, 2

整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.

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∵x1>0,x2>0,2p>0,∴x1=x2,由此可得|y1|=|y2|, 即线段 AB 关于 x 轴对称. 3 由此得∠AOx=30° ,所以 y1= x1,与 y2=2px1 联立, 1 3 解得 y1=2 3p,∴|AB|=2y1=4 3p.

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探究点二
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抛物线的焦点弦问题

例2

已知直线 l 经过抛物线 y2=6x 的焦点 F,且与抛物线相

交于 A、B 两点. (1)若直线 l 的倾斜角为 60° ,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段 AB 的中点 M 到准线的距离.

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(1)因为直线 l 的倾斜角为 60° 所以其斜率 ,

k=tan 60° 3, = ?3 ? 又 F? ,0?. ?2 ?
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所以直线 l 的方程为 y= ?y2=6x, ? ? 联立? 3? ?y= 3?x-2? ? ? ? 9 消去 y 得 x -5x+ =0. 4
2

? 3? 3?x- ?. 2? ?

若设 A(x1,y1),B(x2,y2).则 x1+x2=5, p p 而|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p. 2 2 ∴|AB|=5+3=8.

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(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知 p p |AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ 2 2 =x1+x2+p=x1+x2+3,
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2.3.2(一)

所以 x1+x2=6, 于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3, 又 3 准线方程是 x=- , 2 3 9 所以 M 到准线的距离等于 3+ = . 2 2 小结 (1)解决抛物线的焦点弦问题时, 要注意抛物线定义在其

中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从 而可借助根与系数的关系进行求解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.

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跟踪训练 2 已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的弦长为 36, 求弦所在的直线方程.


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∵过焦点的弦长为 36,

∴弦所在的直线的斜率存在且不为零. 故可设弦所在直线的斜率为 k, 且与抛物线交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.

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∵抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0). ∴直线的方程为 y=k(x-1).
?y=k?x-1? ? 由? 2 ?y =4x ?

2.3.2(一)

整理得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0(k≠0).

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2k2+4 ∴x1+x2= 2 . k 2k2+4 ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2= 2 +2. k 2k2+4 2 又|AB|=36,∴ 2 +2=36,∴k=± . k 4 2 2 ∴所求直线方程为 y= (x-1)或 y=- (x-1). 4 4

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探究点三 问题
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和抛物线有关的轨迹问题

怎样判断一个动点的轨迹是抛物线?
(1)如果动点满足抛物线的定义,则动点的轨迹是抛

答案

物线; (2)如果动点的轨迹方程是抛物线的方程形式,则该动点的轨 迹是抛物线.

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2.3.2(一)

例 3 已知点 A 在平行于 y 轴的直线 l 上,且 l 与 x 轴的交点为 → → → (4,0).动点 P 满足AP平行于 x 轴,且OA⊥OP,求 P 点的轨 迹方程,并说明轨迹的形状.
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解 设动点 P 的坐标为(x, 则由已知得 A 点坐标为(4, y), y), → → 所以OA=(4,y),OP=(x,y). → → → → 因为OA⊥OP,所以OA· =0, OP 因此 4x+y2=0,即 P 的轨迹方程为 4x+y2=0. 轨迹的形状为抛物线.

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2.3.2(一)

小结

求解圆锥曲线的轨迹方程的方法:一是代数法:建立坐

标系——设点——找限制条件——代入等量关系——化简整 理,简称“建设限代化”;二是几何法:利用曲线的定义、待
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定系数.但要特别注意不要忽视题目中的隐含条件,防止重、 漏解.

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线于 A,B 两点,试求弦 AB 的中点的轨迹方程.


2.3.2(一)

跟踪训练 3 已知抛物线 y2=2x, 过点 Q(2,1)作一条直线交抛物
设弦 AB 的中点为 M,并设 A,B,M 的坐标分别为(x1,

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?y2=2x1,① ? 1 ?y2=2x2,② 2 y1),(x2,y2),(x,y),由题意有? ? x1+x2=2x,③ ?y1+y2=2y,④ ? y1-y2 1 2 2 ①-②得 y1-y2=2(x1-x2),∴ = . x1-x2 y y1-y2 y-1 又 = (k =kMQ), x1-x2 x-2 AB ? y-1 1 1?2 7 2 ?y- ? =x- . ∴ = ,即 y -y=x-2,∴ 2? 4 x-2 y ? ? 1?2 7 ?y- ? =x- . 故弦 AB 的中点的轨迹方程为 2? 4 ?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.3.2(一)

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1.抛物线 y=mx2 (m<0)的焦点坐标是 ( B ) ? ? m? 1 ? A.?0, ? B.?0, ? 4? 4m? ? ? ? ? m? 1 ? C.?0,- ? D.?0,- ? 4? 4m? ? ? 1 2 解析 抛物线的方程可化为 x = y (m<0), 则抛物线的焦 m 1 点在 y 轴的负半轴上,所以 2p=- .所以抛物线的焦点 m ? 1? 坐标是?0,4m?. ? ?

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→ 2.已知 AB 是抛物线 y2=2px (p>0)上的两点,O 为原点,若|OA| → =|OB|, 且抛物线的焦点恰为△AOB 的垂心, 则直线 AB 的方 程是
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( C ) 3 B.x= p 2 D.x=3p

A.x=p 5 C.x= p 2

解析

→ → ∵|OA|=|OB|,∴A、B 关于 x 轴对称,

设 A(x0, 2px0),B(x0,- 2px0), ?p ? ∵AF⊥OB,F?2,0?, ? ? 2px0 ? 5 2px0? ? ? ∴ · =-1,∴x0=2p. p ?- x0 ? ? x0- ? 2

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2.3.2(一)

3.已知点 A(2,0)、B(4,0),动点 P 在抛物线 y2=-4x 上运动, → → 则AP· 取得最小值时的点 P 的坐标是________. BP
2 ? y2 ? ? → ? y 解析 设 P?- ,y?,则AP=?- -2,y?, 4 4 ? ? ? ? 2 ? → → ? y2 ?? y2 ? y4 5 2 → ? y BP=?- -4,y?,AP· =?- -2??- -4?+y2= + y BP 16 2 ? 4 ? ? 4 ?? 4 ?

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+8≥8,当且仅当 y=0 时取等号,此时点 P 的坐标为(0,0).

答案 (0,0)

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2.3.2(一)

4.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,|AF|=2,则|BF|=________.
由 y2=4x,知 p=2,F(1,0), p 由抛物线定义,xA+ 2=|AF|, 解析
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∴xA=2-1=1,因此 AB⊥x 轴,F 为 AB 中点, 从而|BF|=|AF|=2.

答案 2

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2.3.2(一)

1.讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程; 利用几何性质,也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
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2.解决抛物线的轨迹问题,可以利用抛物线的标准方程,结 合抛物线的定义. 3.抛物线 y2=± 2px (p>0)的过焦点的弦长|AB|=x1+x2+p,其 中 x1,x2 分别是点 A,B 横坐标的绝对值;抛物线 x2=± 2py (p>0)的过焦点的弦长|AB|=y1+y2+p,其中 y1,y2 分别是 点 A,B 纵坐标的绝对值.


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