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2015届高三理科数学寒假作业


2015 届高三理科数学寒假作业 湖北省黄冈市重点中学 2014 学年第一学期 12 月月考

高三理科数学试卷
选择题部分(共 50 分)

2014.12

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求.
x 1.已知集合 A ? { x y ? 2 } , B ? {y | y ?

x2 ? 6x ? 8} ,则 A ? B ? (

)

A. {x x ? 0}

B. {x x ≥ 0}

C. {x x ≤ 2或x ≥ 4}

D. {x 0 ? x ≤ 2或x ≥ 4}

2.已知函数 f ? x ? ? ? A. ? ?1,1?

? x2 ? 2 x, x ? 0
2 ? x ? 2 x, x ? 0

.若 f (?a) ? f ? a ? ? 0 ,则 a 的取值范围是( C. ? 0, 2? D. ? ?2, 2?
1

)

B. [?2, 0]

3.已知某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体 的体积是(
3 A.1 cm

)
1

3 3 3 B.3 cm C.5 cm D.7 cm 3 4.已知条件 p : k ? ,条件 q :直线 y ? k ? x ? 2? ? 1 与圆 4

正视图
1

侧视图

x 2 ? y 2 ? 4 相切,则 p 是 q 的(
A.充分不必要条件

) C .充要条件
2 俯视图

1

B .必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件 5.将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位后得到的函数对应的表 4

开始

2 达式为 y ? 2cos x ,则函数 f ( x) 的表达式可以是(

C. sin 2 x D. cos 2 x 1 1 1 1 6. 如图所示的程序框图, 若执行运算 1? ? ? ? , 则在空白的执行框中, 2 3 4 5 应该填入( ) B. T ? T ? i D. T ? T ?
1 i

A. 2 sin x

B. 2 cos x

T ? 1, i ? 1

A. T ? T ? (i ? 1) C. T ? T ?
1 i ?1

i ? i ?1
i>4? 是 输出 T 结束 否

7.从 6 名教师中选 4 名开发 A、B、C、D 四门课程,要求每门课程有一名 教师开发, 每名教师只开发一门课程, 且这 6 名中甲、 乙两人不开发 A 课程,

1

则不同的选择方案共有( ) A.300 种 B.240 种

C.144 种

D.96 种 )

8.在△ABC 中, ( AB ? 3AC ) ? CB ,则角 A 的最大值为( A.

??? ?

??? ?

??? ?

? ? D. 3 2 2 2 9.已知点 O(0, 0), A(?1,1) ,若 F 为双曲线 x ? y ? 1 的右焦点, P 是该双曲线上且在第 ??? ? ??? ? 一象限的动点,则 OA ? FP 的取值范围为( )
B. C. A. ( 2 ?1,1) B. ( 2 ?1, 2) C. (1, 2) D. ( 2, ??)

? 6

? 4

10.如图,矩形 ABCD 中,E 为边 AD 上的动点,将 △ABE 沿直线 BE 翻转成△A1BE, 使平面 A1BE ? 平面 ABCD,则点 A1 的轨迹是( A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 )

A1 E A

D C

D.以上答案都不是

B
第10题图

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
2 8 11.二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是________.

1 x

12.已知 x, y 是实数,且 x ? (2i-2) x ? 1 ? yi ? 0 (其中 i 是虚数单位),则 | x ? yi | =_____.
2

13.甲、乙两人将参加某项测试,他们能达标的概率都是 0.8,设随机变量 ? 为两人中能达 标的人数,则 ? 的数学期望 E? 为 14.数列 ?an ? 满足 a1 ? . . .

1 3

15.已知函数 f ( x) ? f '( ) sin x ? cos x, 则 f ( ) 的值为

?

1 1 a ? ? ? n an ? 3n ? 1, n ? N * ,则 an ? 2 2 3 3

?

6 6 ? y ? x ?1 x2 ? 16.已知实数 x, y 满足 ? x ? 3 ,则 的最小值是 y ?x ? 5 y ? 4 ?

.

17 .设 m 为不小于 2 的正整数 , 对任意 n ? Z , 若 n ? qm ? r (其中 q , r ? Z , 且

0≤r ? m ) ,则记 fm (n) ? r ,如 f 2 (3) ? 1 , f3 (8) ? 2 .下列关于该映射 f m : Z ? Z 的
命题中,正确的是 .

①若 a , b ? Z ,则 f m (a ? b) ? f m (a) ? f m (b)

2

②若 a , b , k ? Z ,且 f m (a) ? f m (b) ,则 f m (ka) ? f m (kb) ③若 a ,b ,c ,d ? Z ,且 f m (a) ? f m (b ) , f m (c) ? f m (d ) ,则 f m (a ? c) ? f m ( b?d ) ④若 a , b , c , d ? Z ,且 f m (a) ? f m (b) , f m (c) ? f m (d ) ,则 f m (ac) ? f m (bd ) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

19. (本题满分 14 分)已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ,

1 ,3a 2 成等差数列, 2

1 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列. 3
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)已知 bn ? log3

1 ,记 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , an

Tn ? 1 ?

1 1 ,求证: T2014 ? 1013. ??? 1 1 1 1 1 1 1? 1? ? 1? ? ??? 3 3 6 3 6 Sn ?

1

3

20. (本题满分 14 分)四棱锥 P ? ABCD 底面是菱形, PA ? 平面ABCD ,

?ABC ? 60? , E , F 分别是 BC, PC 的中点.
(Ⅰ)求证: 平面 AEF ⊥平面 PAD ; (Ⅱ) H 是 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成的最大角为 45 ,求二面角
?

E ? AF ? C 的正切值.

21.(本题满分 15 分)抛物线 C : x2 ? 4 y ,直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F ,交 x 轴于点 P . (Ⅰ)求证: PF ? PA ? PB ;
2

(Ⅱ)过 P 作抛物线 C 的切线,切点为 D (异于原点) , (i) kDA , kDF , kDB 是否恒成等差数列,请说明理由; (ii) ?ABD 重心的轨迹是什么图形,请说明理由.

4

22. (本题满分 15 分)已知 f ( x) ? ( x3 ? ax)ln( x2 ? 1 ? a) ( a ? R ) (Ⅰ)若方程 f ( x) ? 0 有 3 个不同的根,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的条件下, 是否存在实数 a , 使得 f ( x ) 在 (0,1) 上恰有两个极值点 x1 , x2 , 且满足 x2 ? 2 x1 ,若存在,求实数 a 的值,若不存在,说明理由.

天门市 2014 年高三年级四月调研考试
5

数学试题(理科)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。把答案填在答题卡上对应题号后的框内,答在试卷上无效。 1.设集合 M ? { y | y ?| cos2 x ? sin2 x |, x ? R} , N ? {x || 则 M∩N 为 A. (0,1) B. (0,1] C.[0,1) D.[0,1]

2x |? 1 ,i 为虚数单位,x ? R} , 1 ? 3i

2.已知 2 ? a ? 2 ,则函数 f ( x) ? a2 ? x2 ? | x | ?2 的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D. 4

??? ? ??? ? 3.圆 O 中,弦 PQ 满足|PQ|=2,则 PQ?PO =

A.2

B.1

C.

1 2

D. 4

x 4.函数 f ( x) ? ( 1 ) ? x 的零点所在区间为 3

A. (0, 1 ) 3

B. (1 ,1 ) 2 3

C. ( 1 ,1) 2

D. (1,2)

5.设 p : f ( x) ? x3 ? 2x2 ? mx ? 1 在( ??, ?? )上单调递增; q : m ≥ 4 ,则 p 是 q 的 3 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.以上都不对

6.将正三棱柱截去三个角(如图(1)所示 A、B、C 分别 是△GHI 三边的中点)得到几何体如图(2) ,则该几何 体按图(2)所示方向的侧视图(或称左视图)为

A

B

C

D

?0 ≤ x ≤ 2 , ? 7. 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ≤ 2, 给定. 若 M ( x, y ) 为 D 上的 ? ?x ≤ 2 y
???? ? ??? ? OA 的最大值为 动点,点 A 的坐标为 ( 2 ,1) ,则 z ? OM ?

A.3

B.4

C. 3 2

D. 4 2

6

8.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,在 x ? ? 时取得极值,则函数 y ? f ( 3? ? x) 是 4 4 A.偶函数且图象关于点( ? ,0)对称 C.奇函数且图象关于点( 3 ? ,0)对称 2 B.偶函数且图象关于点( 3 ? ,0)对称 2 D.奇函数且图象关于点( ? ,0)对称

9.设平面向量 am ? (m,1) , bn ? (2, n) ,其中 m, n ? {1, 2, 3, 4}.记“使得 am ? (am ? bn ) 成立的
( m , n ) ”为事件 A,则事件 A 发生的概率为

A. 1 2

B. 1 4

C. 1 8

D. 1 16

10.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 80? 立方米,且 l ≥ 2r . 假设该容 3 器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平 方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造 费用为 22 千元. 设该容器的建造费用为 y 千元. 当 该容器建造费用最小时,r 的值为 A. 1 2 B.1 C. 3 2 D.2

二、填空题:本大题 共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案 填在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 (一)必考题(11-14 题) 11.设函数 f ( x) 的图象与直线 x ? a, x ? b及x 轴所围成的图形的面积称为 f ( x) 在 ? a, b? 上的
? ?? 面积,则函数 y ? sin(nx)(n ? 0)在 ?0, ? 上的面积为 ? n?



12.已知

?

3

x 2 ? 3x 2

? 展开式各项的系数和比各项的二次式系数和大 992,则展开式中系数
n

最大的项是第

项.

2 2 2 2 13.若实数 a,b,c,d 满足 a ? b ? c ? d ? 3 , a ? 2b ? 3c ? 6d ? 5 ,

则 a 的最大值为



14 .在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为 [k ] ,即
[k ] ? {5n ? k , n ?Z },k ? 0,1, 2, 3,. 4 给出如下四个结论:

①2011∈[1];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数 a,b 属于同一 ‘类’ ”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确的结论的个数是 .

7

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结果计分。 ) 15.如图,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P, PD ? 2a , ?OAP ? 30? ,则 CP= 3 .

16.已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ? ) ? 2 ,则极点到这条 4 2 直线的距离是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 17. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? cos( x ? 2 ? ) ? 2cos2 x , x ? R . 3 2 (1)求 f ( x) 的值域; (2)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 f (B) ? 1, b ? 1, c ? 3 ,求 a 的 值.

18.(本题满分 12 分)数列 {an } 中各项为正数, S n 为其前 n 项和,对任意 n ? N ? ,总有
2 an , Sn , an 成等差数列.(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)是否存在最大正整数 p,使得

命题“ ?n ? N ? , ln( p ? an ) ? 2an ”是真命题?若存在,求出 p;若不存在,请说明理由.

8

19. (本题满分 12 分) “根据《中华人民共和国道路交 通安全法》 规定: 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~ 80 mg/100ml(不含 80)之间,属于酒后驾车,血 液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉 酒驾车. ” 某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车
0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0

频率/ 组距

图甲
酒精含量
20 30 40 50 60 70 80 90

(单位:mg/100m

开始 S=0 i =1 输入m i,fi S=S+m i×f i i >=7? 是 输出S 结束 否 i =i+1

辆进行抽查,经过一晚的抽查,共查出酒后驾车者 60 名,图甲是 用酒精测试仪对这 60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后 依所得结果画出的频率分布直方图. (1)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代 表, 图乙的程序框图是对这 60 名酒后驾车者血液的酒精浓度做进 一步的统计,求出图乙输出的 S 的值,并说明 S 的统计意义; (图乙中数据 mi 与 f i 分别表示图甲中各组的组中值及频率)

图乙

(2) 本次行动中, 吴、 李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于 70~90 mg /100ml 的范围,但他俩坚称没喝那么多,是测试仪不准,交警大队队长决定在被酒精测试 仪测得酒精浓度属于 70~90 mg /100ml 范围的酒后驾车者中随机抽出 2 人抽血检 验,设 ? 为吴、李两位先生被抽中的人数,求 ? 的分布列,并求吴、李两位先生至 少有 1 人被抽中的概率;

9

20. (本题满分 12 分)如图,四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线
AC ? 2, BD ? 2. AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2.

(1)求二面角 B-AF-D 的大小; (2)求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F ABCD 公共部分的体积.
-

10

21. (本题满分 13 分)已知椭圆 且直线 y ? x ?

x2 y 2 5 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 a b 3

b 是抛物线 y 2 ? 4 x 的一条切线. 2

(1)求椭圆的方程; (2)点 P ( x 0 , y 0 ) 为椭圆上一点,直线 l : 出理由; (3) 过椭圆上一点 P 作椭圆的切线交直线 x ?

x 0x y 0 y ? ? 1 ,判断 l 与椭圆的位置关系并给 9 4

9 5 于点 A, 试判断线段 AP 为直径的圆是 5

否恒过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

11

22. (本题满分 14 分)定义:若

f ( x) 在 ? k , ??) 上为增函数,则称 f ( x) 为“k 次比增函数” , xk

其中 (k ? N? ) . 已知 f ( x) ? eax ,其中 e 为自然对数的底数. (1)若 f ( x) 是“1 次比增函数” ,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ?

1 f ( x) 时,求函数 g ( x) ? 在 ? m, m ? 1? (m ? 0) 上的最小值; 2 x
n

(3)求证: ?
i ?1

i? e

? ?

1

i

?

7 . 2e

12

武汉市部分学校 2014 届高三 12 月联考

数学(理工科)
本试题卷共 8 页,六大题 21 小题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方 框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上 无效。 3. 非选择题的作答: 用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,选出正确选项填在答题卡相应位置) 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a 2 } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是 A.1 B.0 C.-1 D.1 或-1 )

2. 投掷两颗骰子, 其向上的点数分别为 m 和 n , 则复数 (m ? ni) 2 为纯虚数的概率为 ( A.
1 3

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 12

3.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 3) x 的导函数为 f ?( x ) ,且 f ?( x ) 是偶函数,则 曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程为( ) A. y ? 3 x ? 1 C. y ? ?3x ? 1 B. y ? ?3x D. y ? 3 x ? 3 D.55

4.阅读右面的程序框图,则输出的 S = A.14 B.30 C.20

5.在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施 6 个程序,其中 程序 A 只能出现在第一或最后一步, 程序 B 和 C 在实施时必 须相邻,则实验顺序的编排方法共有( A. 34 种 B. 48 种 C. 96 种 ) D. 144 种

6.设 a、b、c 表示三条直线, ?、? 表示两个平面,则下列命题中 不正确的是( )

13

c ? ?? A. ??c ? ? ? // ? ?
b // c ? ? C. b ? ? ? ? c // ? c ??? ?

a? b B. b ? ?

? ? ? ? b?c c是a在?内的射影 ? ?

D.

a // ? ? ??b ?? b ? a?
?

7 .已知两点 A(1,0), B(1, 3), O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且 ?AOC ? 120 ,设

???? ??? ? ??? ? OC ? ?2 OA ? ? OB , (? ?R ),则 ? 等于
A. ? 1 B.2 C .1 D. ? 2

8.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A, B 两点,它们到直线 x ? ?2 的距 离之和等于 5,则这样的直线 A.有且仅有一条 B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

9.某学生四次模拟考试时,其英语作文的减分情况如下表: 考试次数 x 1 2 3 4 4.5 4 3 2.5 所减分数 y 显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系,则其线性回归方程为 A. y ? 0.7 x ? 5.25 B. y ? ?0.6 x ? 5.25 C. y ? ?0.7 x ? 6.25 D. y ? ?0.7 x ? 5.25

10. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) ,f (?2) ? ?3 , 数列 ?an ? 满 足 a1 ? ?1 , 且

3 2

Sn a ? 2 ? n ? 1 ,( 其 中 S n 为 ?an ? 的 前 n 项 和 )。 则 n n
) C. 3 D. 2

f (a5 ) ? f (a6 ) ? (
A. ? 3

B. ? 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知把向量 a﹦(1,1)向右平移两个单位,再向下平移一

个单位得到向量 b,则 b 的坐标为
12.若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的表 面积是 cm .
2

?x ? y ? 4 ? 2 2 13.已知点 P 的坐标 ( x, y )满足 ? y ? x ,过点 P 的直线 l 与圆 C : x ? y ? 14 ?x ? 1 ?
相交于 A、B 两点,则 AB 的最小值为 .

14

14.设二次函数 f ( x ) ? ax 2 ? 4 x ? c( x ? R) 的值域为 [0, ?? ) ,则 为 15. ( (1) 、 (2)小题选做一题) (1)如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4,过点 C 作圆的切线 l,过点 A 作直线 l 的垂线 AD,D 为垂足,AD 与圆 O 交于点 E,则线段 AE 的长为 .

1 9 ? 的最大值 c ?1 a ? 9

? x ? 2t ? 2a ? x ? 2sin ? (2) 在平面直角坐标系下, 曲线 C1 : ? (t 为参数) , , 曲线 C2 : ? (? ? y ? ?t ? y ? 1 ? 2cos?
为参数) ,若曲线 C1、C2 有公共点,则实数 a 的取值范围为 .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, q=( 2 a ,1) ,p=( 2b ? c ,

cos C )且 p // q .求:
(I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

17. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)若存在 n ? N ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值.
*

n ?1 an ?1 (n ? N * ). 2

15

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 ABCD-PGFE 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC, ∠ABC=45o,DC=1,AB=2,PA=1. (Ⅰ)求 PD 与 BC 所成角的大小; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 PAC; (Ⅲ)求二面角 A-PC-D 的大小.

19. (本小题满分 12 分) 英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习 3 个英语单词; 每周五对一周内所学单词 随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同) (Ⅰ)英语老师随机抽了 4 个单词进行检测,求至少有 3 个是后两天学习过的单词的概 率; (Ⅱ)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 每个能默写对的概率为

4 ,对前两天所学过的单词 5

3 .若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测,求 5

该学生能默写对的单词的个数 ξ 的分布列和期望.

16

20. (本大题满分 13 分)

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半 2 2 a b 径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相
已知椭圆 C : 交于 A、B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

17

21. (本题满分 14 分) (1)证明不等式: ln(1 ? x) ?

x ( x ? 0) 1? x

ax 在 (0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围。 a?x x 1 ? x ? 1 在 [0, ??) 上恒成立,求实数 b 的最大值。 (3)若关于 x 的不等式 1 ? bx e
(2)已知函数 f ( x ) ? ln(1 ? x) ?

湖北省武穴中学 2015 届高三年级第一次模拟
18

数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合 A ? {1, 2 }, B ? {a, b}, 若 A ? B ? ? ? ,则 A ? B 为.(
a

?1 ? ?2?

)

A. { ,1, b}

1 2

B. {?1, }

1 2

C. {1, }

1 2

D. {?1, ,1} )

1 2

2.设 i 是虚数单位,若复数 a ? A. ?3 B. ?1

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为( 3?i
C. 1 D.3 )

3. 设 ? , ? , ? 为平面, m, n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( A. ? ? ? ,? ? ? ? n, m ? n C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ? B. ? ? ? ? m,? ? ? , ? ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ?

4.运行如图所示的算法框图,则输出的结果 S 为( ) A. ? 1 B.1 C. ? 2 D.2 5.若三角形 ABC 中,sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,…,18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( ) A.

1 51

B.

1 408

C.

1 306

D.

1 68

7.已知函数 f ( x) ? ? 围是( A. [0,1) )

?0, x ? 0
x ?e , x ? 0

,则使函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 有零点的实数 m 的取值范

B. (??,1) D. (??,1] ? (2,??)

4

3

C. (??,0] ? (1,??)

5 正视图 3 俯视图 (8 题图) 侧视图

8.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 则该棱锥的体积等于( ) A.10 cm3 C.30 cm3
2

B.20 cm3 D.40 cm3

9. 若抛物线 y ? 4 x 的焦点是 F,准线是 l ,点 M(4,4)是抛物线上一点,则经过点 F、

19

M 且与 l 相切的圆共有( A.0 个

) C.2 个 D.4 个

10.

bn S n 的最小值为( A. ? 3

?1? n an ? ? (2 x ? 1)dx ,数列 ? ? 的前项和为 S n ,数列 ?bn ?的通项公式为 bn ? n ? 8 ,则 0 ? an ?
) B. ? 4 C. 3 D. 4

B.1 个

11.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 2,直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两 点,线段 AB 中点 M 在第一象限,并且在抛物线 y ? 2 px? p ? 0 ? 上,且 M 到抛物线焦点
2

的距离为 p ,则直线 l 的斜率为( A. 1 12.把曲线 C: y ? sin( B. 2

) C.

3 2

D.

5 2

7? ? ? x) ? cos( x ? ) 的图像向右平移 a (a ? 0) 个单位,得到曲线 C ? 8 8 ? 2b ? 1 3b ? 2 的图像, 且曲线 C ? 的图像关于直线 x ? 对称, 当 x ?[ 时, ?, ? ]( b 为正整数) 4 8 8
过曲线 C ? 上任意两点的斜率恒大于零,则 b 的值为( A.1 B. 2 C.3 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. ( x ? ) D.4

1 6 ) 的展开式的常数项为 x



? x≥1 ? 1 ? 14.设 x,y 满足约束条件 ? y≥ x ,向量 a ? ( y ? 2 x,m), b ? (1 , ? 1) ,且 a∥b, 2 ? C1 D1 ? ?2 x ? y≤10

则 m 的最小值为

. A1 ·O B1

15.如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 . A

D B

C

16. 设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在正实数 k,使对任意 x ? D,都有 x+k ? D,且 f(x+k)>f(x) 恒成立,则称函数 f(x)为 D 上的“k 型增函数”。已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x>0 时, f ( x) ? x ? a ? 2a ,若 f(x)为 R 上的“2014 型增函数”,则实数 a 的取值范围是 _____.

三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

20

17.(本小题满分 12 分)已知 {a n } 是单调递增的等差数列,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n , 数列 {bn } 是等比数列,其中 b1 ? 1, 且a 2 b2 ? 12, S 3 ? b2 ? 20. (1)求 {a n }和{bn } 的通项公式; (2)令 cn ? S n cos(

an ? )(n ? N ? ), 求 {cn } 的前 20 项和 T20 。 3

18.(本题满分 12 分) 前不久,省社科院发布了 2013 年度“城市居民幸福排行榜”,某市成为 本年度城市最“幸福城”.随后,某校学生会组织部分同学, 用“10 分制”随机调查“阳光”社区人 们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名, 如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以 小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶): (1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人, 至多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人, 记 ? 表示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

19.(本题满分 12 分)
21

如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB//CD,AB=AD= 点 M 在线段 EC 上且不与 E、C 重合。 (1)当点 M 是 EC 中点时,求证:BM//平面 ADEF; (2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为

1 CD ? 2 , 2

6 时,求三棱锥 M—BDE 的体积. 6

20.(本题满分 12 分)

3 1 x2 y2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) , 离心率 e ? , 直线 l 的方程为 x ? 4 . 2 2 a b (1)求椭圆 C 的方程;
22

(2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与 l 相交于点 M,记 PA,PB,PM 的 斜率分别为 k1 , k 2 , k3 ,问:是否存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ?k3 ?若存在,求出 ? 的值,若 不存在,说明理由. y P M O F A B x l

21 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 总 有 导 函 数 f ?( x) , 定 义

F ( x) ? e x f ( x), G ( x) ?

f ( x) . x ? R, e ? 2.71828 一是自然对数的底数. ex
23

(1)若 f ( x) ? 0 ,且 f ( x) ? f ?( x) ? 0 ,试分别判断函数 F ( x) 和 G ( x) 的单调性: (2)若 f ( x) ? x ? 3 x ? 3, x ? R .
2

①当 x ? [?2, t ](t ? 1) 时,求函数 F ( x) 的最小值;
x ②设 g ( x) ? F ( x) ? ( x ? 2)e ,是否存在 [a, b] ? (1,??) ,使得 g ( x) x ? [a, b] ? [a, b] ?若存

?

?

在,请求出一组 a, b 的值:若不存在,请说明理由。

请考生在题 (22) (23) (24) 中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的的第一题计分. 做 题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本题满分 10 分)选修 4—1 几何证明选讲: 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D,DE⊥AC,交 AC 的延 长线于点 E,OE 交 AD 于点 F。 (I)求证:DE 是⊙O 的切线; (II)若

AC 2 AF 的值. ? ,求 AB 5 DF

23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

24

在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程;

? x ? 1 ? cos ? .以 O 为极点,x 轴的 (? 为参数) ? y ? sin ?

(Ⅱ) 直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 , 射线 OM : ? ? 点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

?
3

与圆 C 的交

24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?| x ? a | 。 (1)若 f ( x ) ? m 的解集为 { x | ?1 ? x ? 5} ,求实数 a , m 的值。 (2)当 a ? 2 且 0 ? t ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ( x ) ? t ? f ( x ? 2) 。

25


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