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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(6)


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年高三年级数学模拟试题( 湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(6)
蕲春一中特级教师命制 蕲春一中特级教师命制
(本大题共 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: ( 一项是符合题目要求的) 一项是符合题目要求的) 1.设集合 A = {x | y = lg(1 ? x )} ,集合 B = { y | y = x 2 } ,则 A I B=( ) A. ?∞,1 ) ( B. ( ?∞,1] C.[ 0,1 ] D. [0,1)

2.在 ? ABC 中已知 2 sin A cos B = sin C ,那么 ? ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 3.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修课开三个班,选课结束后,有四位同学要求改修 数学,但每班至多可再接收 2 位同学,那么不同的分配方案有( ) A.72 种 B.54 种 C.36 种 D.18 种

x2 y2 4.方程 + = 1 所表示的曲线是( ) sin(192010 )0 cos(192010 )0
A.双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的椭圆 D.以上答案都不对
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5.已知向量 a = (1, n), b = ( m + n, m)( m > 0, n > 0) ,若 a ? b = 1 ,则 m + n 的最小值为( )
教育博 客

r

r

r r

A. 2

B. 2 ? 1

C. 3 ? 1
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D. 3

6.设直线 x + ky ? 1 = 0 被圆 O: x 2 + y 2 = 2 所截弦的中点的轨迹为 M,则曲线 M 与直线 x-y-1=0 位置关系为( ) A.相离
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B.相切 B. ( ?4, 0)

C.相交

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D.不确定
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7.若关于 x 的方程 x | x ? a |= a 有三个不相同的实根, 则实数 a 的取值范围为( ) A. (0, 4) C. ( ?4, 4)
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D. ( ?∞, ?4) U (4, +∞) )

?x + 3y ? 7 ≤ 0 ? 8.已知实数 x,y 满足约束条件 ? x ≥ 1 则|y-x|的最大值是( ?y ≥1 ?
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A.3

B.4

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C.

3 2 2

D. 2 2

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9.已知复数 z =

2 + 4i 1 的实部与虚部分别是等差数列 {an } 的第二项与第一项, bn = 若 1+ i an ? an +1
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数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn,则 lim Tn =(
n →∞



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A.

1 4

B.

1 2

C.

2 3

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D.1

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10.如图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,M、N 分别在 AD1,BC 上移动,并 始终保持 MN//DCC1D1,设 BN=x,MN=y,则函数 y=f(x)的图象大致是( ) D1 C1
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y

y

y

y A1 B1 M D C N
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O A

x

O B

x

O C
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x

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O D

x A 7 8

B 9 10

题号 答案

1

2

3

4

5

6
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小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分。 填空题: 11. 已 知 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布
教 育 博 客

N ( (1, δ ) , 且 P (ξ ≤ ?2) + P (ξ ≥ 6) = 0.2008 , 则
2

P (?4 ≤ ξ ≤ 4) =



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12.设 α , β 均为钝角, sin α = 13.已知 (1 ? 2 x)
10

5 3 10 , cos β = ? ,则 α + β = 5 10
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= a0 + a1 x + a2 x 2 + ??? + a9 x9 + a10 x10 则 10a1 + 9a2 + ??? + a10 =



14.已知 O 为原点, 从椭图

x2 y2 + = 1 的左焦点 F1 引圆 x 2 + y 2 = 4 的切线 FT 交椭圆于点 1 100 4
教育博客 教育博客

P,切点 T 位于 F1 、 P 之间,M 为线段 F1 P 的中点, 则 | MO | ? | MT | 的值为 15.给出下列命题:
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①函数 f ( x ) = sin x + | sin x | ( x ∈ R ) 的最小正周期是 2π ; ②已知函数 f ( x) = ?

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?a cos x, x ≥ 0
2 ? x ? 1, x < 0

在 x = 0 处连接,则 a = ?1 ;

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③函数 y = f ( x) 与 y = 1 ? f ?1 (1 ? x ) 的图象关于直线 x + y + 1 = 0 对称 ;
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r π π )(ω > 0) 的图象按向量 a = ( , 0) 平移后,与函数 y = tan(ω x + ) 4 6 6 1 的图象重合,则 ω 的最小值为 ,你认为正确的命题有: 。 6
④将函数 y = tan(ω x +
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π

三、解答题(共 75 分) 解答题(

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且 ∠ ∠ ∠ 16.如图, 为 ?APC 的边 AC 上的一点, AB=BC=a, APB = 90 , BPC = 45 , PBA = θ . B
o o
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(1)求 tan θ 的值; (2)求 PA ? PC 的值.
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P

uuu uuu r r

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A

B

C

17.口袋里装有大小相同的 4 个红球和 8 个白球, 甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球,每 次摸出一个,规则如下:①若一方摸出一个红球, 则此人继续进行下一次摸球;若一方摸出 一个白球,则改换为由对方进行下一次摸球;②每一个摸球彼此相互独立,并约定由甲开始 进行第一次摸球,求在前三次的摸球中: ①乙恰好摸到一个红球的概率; ②甲至少摸到一个红球的概率;
教育博客 教育博客 教育博客 教育博客 教育博客

③甲摸到红球的次数 ξ 的分布列及数学期望.

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∠ 18.如图, 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, BAC = 90 ,AB=a,AC=2,AA1=1,点 D 在棱 B1C1 上且 B1D:
o
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DC1=1:3 (1)证明:无论 a 为任何正数,均有 BD ⊥ A1C; (2)当 a 为何值时,二面角 B—A1D—B1 为 60
o
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A1
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C1 D

B1 A

C

B 19.设函数 f ( x) = ? x3 ? 2mx 2 ? m 2 x + 1 ? m (其中 m > ?2 )的图象在 x=2 处的切线与直线
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y=-5x+12 平行.

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(1)求 m 的值;

(2)求函数 f ( x) 在区间[0,1]的最小值;

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(3)若 a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 且 a + b + c = 1 , 试根据上述(1) (2)的结论证明
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a b c 9 + + ≤ 2 2 2 1 + a 1 + b 1 + c 10

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20.在直角坐标平面中, ?ABC 的两个顶点的坐标分别为 A( ? 两动点 M、N 满足 MA + MB + MC = 0,| NC |= (1)求 ?ABC 的顶点 C 的轨迹方程;
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7 7 a, 0), B ( a, 0)(a > 0) , 7 7
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uuur uuur uuuu r

r uuur

uuuu uuu r uuu r uuu r r 7 | NA |= 7 | NB | , 向量 MN 与 AB 共线.
uuu uuu r r

(2)若过点 P(0,a)的直线与(1) 的轨迹相交于 E、 F 两点 ,求 PE ? PF 的取值范围.
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(3)若 G(-a,0) ,H(2a,0) θ 为 C 点的轨迹在第一象限内的任意一点,则是否存在常数 λ , (λ > 0) ,使得 ∠QHG = λ∠QGH 恒成立?若存在,求出 λ 的值;若不存在,请说明理由.

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21.已知数列 {an } 满足 a1 = (1)求 a2 、 a3 、 a4 ;

(n + 1)(2an ? n) 1 , an +1 = (n ∈ N + ) 2 an + 4 n

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(2) 是否存在实数 t, 使得数列 ? 请说明理由; (3)记 bn =

?an + tn ? ? 是公差为 ?1 的等差数列,若存在求出 t 的值,否则, ?an + n ?
2 3 +1 . 12

1 3
n+2 2

? an + 2

(n ∈ N + ) 数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn, 求证: S n > ?
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届高考数学试题参考答案( 2010 届高考数学试题参考答案(理)
1—10 DBBCC CDABC 12.
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11.0.7992

7π 4

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13. ?20

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14. 10 ? 2 23

15.①②

16.(1)Q ∠APB = 90o , AB = a, ∠PBA = θ ,

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∴ PB = a cos θ .
又在 ? BPC 中,BC=a, ∠BPC = 45 ,∴∠BCP = θ ? 45 ,
o o
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a PB a a cos θ = ,∴ = , o o o sin 45 sin(θ ? 45 ) sin 45 sin(θ ? 45o )
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∴ sin 45o cos θ = sin(θ ? 45o ) .

∴ sin θ = 2 cos θ . tan θ = 2. ………………………………………(6 分)
教育博客

(2)由(1)知 sin θ = 2 cos θ ,又 sin θ + cos θ = 1 ,
2 2

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∴ sin θ =

2 5 5 , cos θ = . 5 5 2 5a 5a , PB = a cos θ = . 5 5 5a , 5

∴ PA = a sin θ =

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在 ?BPC 中, BC = a, PB =

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∴ PC 2 = a 2 + ( uuu uuu r r

5a 2 5a 8a 2 2 10a ) ? 2a ? cos(π ? θ ) = ,∴ PC = . 5 5 5 5 uuu r uuu r
o

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从而 PA ? PC =| PA | ? | PC | cos135 =

2 5a 2 10a 2 4a 2 ? ? (? )=? .……………… (10 分) 5 5 2 5

17. 解 : 记 “ 甲 摸 球 一 次 摸 出 红 球 ” 为 事 件 A “ 乙 摸 球 一 次 摸 出 红 球 ” 为 事 件 B , 则

P ( A) = P ( B ) =

4 1 2 = , P ( A) = P ( B ) = 且 A,B 相互独立.……………………(2 分) 4+8 3 3

(1)乙恰好摸到一个红球的概率为

1 2 1 2 1 2 2 P = P ( A ? A ? B ) + P ( A ? B ? B ) = × × + × × = (4 分) 1 3 3 3 3 3 3 9
(2)因为甲在前三次摸球中,没有摸到红球的概率为

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2 1 2 14 P = P ( A ? B ) + P ( A ? B ? A) = × + ( )3 = ,所以甲至少摸到一个红球的概率为 3 3 3 27
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P2 = 1 ? P = 1 ?

14 13 = ……………………………………………………………………(6 分) 27 27
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(3)根据题意, ξ 的可能取值为 0,1,2,3,其中

2 1 2 14 P (ξ = 0) = P ( A ? B ) + P ( A ? B ? A) = × + ( )3 = , 3 3 3 27 1 2 2 1 10 P (ξ = 1) = P ( A ? A) + P ( A ? B ? A) = × + ( )2 × = , 3 3 3 3 27 1 2 2 1 3 1 P (ξ = 2) = P ( A ? A ? A) = ( ) 2 × = , P (ξ = 3) = P ( A ? A ? A) = ( ) = . 3 3 27 3 27
教育博客 教育博客

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故 ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

3

14 27

10 27

2 27

1 27
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………………………………………………………………………… ………………(9 分)

数学期望 Eξ = 0 × 分)

14 10 2 1 17 + 1× + 2 × + 3 × = .……………………………………(10 27 27 27 27 27

18. ( 1 ) 以 A 为 坐 标 原 点 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A — xyz ( 如 图 ), 则

uuu r uuur 3 1 a 1 D( a, ,1), A1 (0, 0,1), B (a, 0, 0), C (0, 2, 0), BD = (? , ,1), A1C = (0, 2, ?1) , 4 2 4 2 uuu uuur r a 1 Q BD ? A1C = (? , ,1) ? (0, 2, ?1) = 0 , 4 2 uuu uuur r ∴ BD ⊥ A1C ,即 BD ⊥ A1C.…………………………… ……………………………(5 分)
教育博客 教育博客

故无论 a 为任何正数,均有 BD ⊥ A1C.………………… ………………………(6 分)
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uuuu r 3 1 uuur (2) A1 D = ( a, , 0), A1 B = ( a, 0, ?1) , 4 2

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r 1 ? r uuuu 3 r r uuuu r uuur r ?n ? A1 D = ax + y = 0 4 2 设平面 A1BD 的一个法向量为 n =(x,y,z),则 n ⊥ A1 D , n ⊥ A1 B ,故 ? , r uuur ?n ? A B = ax ? z = 0 ? 1
3 ? r 1 3 ? y = ? ax 即? 2 ,取 n = ( , ? ,1) . a 2 ? z = ax ?
ur

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又平面 A1B1D 的一个法向量为 m = (0, 0,1) …………… ……………………………(8 分)
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ur r ur r m?n ∴ cos m, n = ur r = | m|?| n |
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1 1 3 ( ) 2 + (? ) 2 + 1 2 a

=

1 1 13 + a2 4



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结合图形知 m, n 与二面角 B—A1D—B1 相等,即 m, n = 60 ,∴
o

ur r

ur r

1 1 13 + a2 4

=

1 , 2

解得 a =

2 3 , 3

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故当 a =

2 3 o 时,二面角 B—A1D—B1 为 60 .…………… …………………………(12 分) 3
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19.(1)因为 f ′( x ) = ?3 x 2 ? 4mx ? m 2 ,所以 f ′(2) = ?12 ? 8m ? m 2 = ?5 , 解得 m = ?1 或 m = ?7 (舍) ,即 m = ?1 . (2)由 f ′( x ) = ?3 x + 4 x ? 1 = 0 ,解得 x1 = 1, x2 =
2

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1 . 3

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列表如下:

x
f ′( x) f ( x)

0

(0, —

1 ) 3

1 3
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1 ,1) 3
+

1

2

最小值

50 27
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2

所以,函数 f ( x ) 在区间[0,1]的最小值为 f ( ) =

1 3

50 . 27

(3)因为 f ( x ) = ? x3 + 2 x 2 ? x + 2 = (1 + x 2 )(2 ? x ) ,由(2)知,当 x ∈ [0,1] 时,有不等式

(1 + x 2 )(2 ? x) ≥

50 1 27 x 27 ,所以 ≤ (2 ? x), 即 ≤ (2 x ? x 2 ). 2 2 27 1+ x 50 1+ x 50

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当 a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ,且 a + b + c = 1 时, 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1, 0 ≤ c ≤ 1 , 所以

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a b c 27 27 + + ≤ [2(a + b + c) ? (a 2 + b 2 + c 2 )] = [2 ? (a 2 + b 2 + c 2 )]. 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 50 50

又因为 ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ,

1 . 3 a b c 27 1 9 故 + + ≤ (2 ? ) = . 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 50 3 10 1 当且仅当 a = b = c = 时,取等号. 3
所以 a + b + c ≥
2 2 2
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20.(1)设 C(x,y) ,由 MA + MB + MC = 0 知,∴ M 是 ?ABC 的重心,∴ M ( , ). 又 | NA |=| NB | 且向量 MN 与 AB 共线,∴ N 在边 AB 的中垂线上,∴ N (0, ). 而 | NC |=

uuur uuur uuuu r
uuu r

uuu r

uuu r

uuuu r

x y 3 3

y 3

uuur

uuu r 4 a2 y 2 y2 7 | NA | ,∴ x 2 + y 2 = 7( + ) ,即 x 2 ? = a2 . 9 7 9 3
2

(2)设 E( x1 , y1 ) 、F( x2 , y2 ) ,过点 P( 0, a )的直线方程为 y = kx + a ,代入 x ? 得 (3 ? k ) x ? 2akx ? 4a = 0 ,∴? = 4a k + 16a (3 ? k ) > 0 ,即 k < 4.
2 2 2 2 2 2 2
2

y2 = a2 3

∴ k 2 ? 3 < 1,∴ ∴ x1 + x2 =

4 4 > 4或 2 < 0. k ?3 k ?3
2

2ak ?4a 2 , x1 x2 = . 3? k2 3? k2

uuu uuu r r ?4a 2 (1 + k 2 ) ∴ PE ? PF = ( x1 , y1 ? a ) ? ( x2 , y2 ? a ) = x1 x2 + kx1 ? kx2 = (1 + k 2 ) x1 x2 = 3? k2
= 4a 2 (1 + 4 ) ∈ (?∞, 4a 2 ) U (20a 2 , +∞). k ?3
2 2 2 y0 2 2 2 = a 2 ,即 y0 = 3( x0 ? a0 ). 3

(3)设 Q ( x0 , y0 )( x0 > 0, y0 > 0) ,则 x0 ?

当 QH ⊥ x 轴时, x0 = 2a, y0 = 3a,∴∠ QGH= 当 QH 不垂直 x 轴时, tan ∠ QHG = ?

π
4

,即 ∠ QHG=2QGH,故猜想 λ = 2.

y0 y , tan ∠ QGH= 0 , x0 ? 2a x0 + a

2 y0 x0 + a y0 2 tan ∠QGH ∴ tan 2∠ QGH= = =? = tan ∠QHG. 1 ? tan 2∠QGH 1 ? ( y0 ) 2 x0 ? 2a x0 + a
又 2 ∠ QGH 与 ∠ QHG 同在 (0,

π

故存在 λ = 2 ,使 2 ∠ QGH= ∠ QHG 恒成立.

) U ( , π ) 内,∴ 2 ∠ QGH= ∠ QHG. 2 2

π

21. (1)Q a1 =

(n + 1)(2an ? n) 1 , an +1 = , 2 an + 4 n

3 8 ∴ a2 = 0, a3 = ? , a4 = ? .………………………………………………………………(3 分) 4 5
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(n + 1)(2an ? n) + t (n + 1) an +1 + t (n + 1) an + tn an + 4 n a + tn (2) ? = ? n (n + 1)(2an ? n) an +1 + n + 1 an + n an + n + n +1 an + 4n
= (t + 2)an + (4t ? 1)n an + tn t ? 1 ? = , 3an + 3n an + n 3

? a + tn ? t ?1 ∴ 数列 ? n 的等差数列. ? 是公差为 3 ? an + n ?
由题意,知

t ?1 = ?1 ,得 t = ?2. …………… …………………………………(7 分) 3
教育博客

(3)由(2)知

an ? 2n a1 ? 2 = + (n ? 1) × (?1) = ? n , an + n a1 + 1

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所以 an =

? n 2 + 2n , ………………………… …………………………(9 分) n +1
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此时 bn =

3

n+ 2 2

1 ?n ? 3 1 1 1 = = [ ? ], 2 n+2 n+2 ?(n + 2) + 2(n + 2) ( 3) (n + 2)n 2 ( 3) (n + 2) ( 3) n n ? n+3

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1 1 1 1 1 ∴ Sn = [ ? + ? + 3 4 2 ( 3) × 3 3 ( 3) × 4 ( 3) 2 × 2

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1 1 1 1 ? + ??? + ? ] 5 3 n+ 2 ( 3) × 5 ( 3) × 3 ( 3) × (n + 2) ( 3)n × n

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1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 +1 = [? ? + + ] > × (? ? )=? . 2 12 3 6 ( 3) n +1 × (n + 1) ( 3) n + 2 × (n + 2) 2 3 6
故 Sn > ? 分)

2 3 +1 . ………………………………………………………………………………(14 12

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