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利用向量解高考题


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数 学 通 讯               2001 年第 5 期

利用向量解高考题
— — — 谈谈培养学生应用向量的意识 龚晓洛
( 丰城二中 , 江西   331100)

中图分类号 :O12 - 44      文献标识码 :A      文章编号 :0488 - 7395 ( 2001) 05 - 0026 - 02

   今年两省一市第一批接受新课程方案试验的学 生已参加了高考 . 新教材增添了 《平面向量》 的内容 . 这一章知识容易被学生理解和掌握 . 由于大纲中要 求不高 , 所以高考中关于向量的题难度不大 . 但向量 是个很好的工具 , 应用非常广泛 . 如果能在平时教学 中注重培养学生应用向量的意识 , 对训练学生分析 问题和解决问题的能力 , 提高创新意识和整体素质 都是大有益处的 . 下面针对几道高考题中向量的应用谈点体会 . 例 1  ( 2000 年北京 、 安徽春季高校招生试题) 如图 1 , 设点 A 和 B 为 抛物线 y2 = 4 px ( p > 0 ) 上 原 点 以 外 的 两 动 点. 已 知 OA ⊥ OB , OM ⊥A B . 求点 M 的轨迹方程 , 并说明它表 示什么曲线 . 注 :  学生见到此题基 本上用的都是解析几何 中 图1  例1图 的常规解法 , 这是无可非议 的 . 但老师在学生得出正确解法后 , 又提出思考问 题“ : 能否用向量方法来解答此题呢 ? ” 这样让学生积 极思考 , 主动参与教学过程 . 通过变式教学 , 使一题 多用 , 从不同角度揭示各知识点之间的内在联系 . 给 学生以新鲜感 , 激发其学习兴趣 , 培养学生应用向量 的意识 . 学生积极开动脑筋联想 , 从而想到要设置点 的坐标 , 题中各线段要用向量表示 , 想到把向量的数 量积与直线的垂直关系联系起来 , 用向量共线的充 要条件找出等量关系 . 在老师的引导下 , 充分发挥学 生的主体作用 , 最后得出此题的向量解法 . 解  因 点 A , B 在 抛 物 线 y2 = 4 px 上 , 设
A( yA yB ,y ) ,B( , y ) , M ( x , y) , 4p A 4p B
2 2

∵ OA ⊥OB , ∴ OA ? OB = 0 , 即
yA yB ? + yA ? yB = 0 . 4p 4p ∵ yA ? yB ≠ 0,
2 2





→ →



yA ? yB = - 16 p

2

( 1)

又由已知 OM ⊥A B , ∴ OM ? A B = 0. 而 OM = ( x , y ) , A B = (
2 2





→ →
2 2





yB - yA , yB - y A ) , 4p

yB - yA ? x + ( yB - y A ) y = 0 . 4p 依题意显然 y A ≠yB , ∴ yB - y A ≠ 0, yB + y A ∴ x + y = 0. 4p 4 py 即 yB + y A = x



( 2)

又由 A M = ( x MB = (



yA , y - yA ) , 4p

2



y2 B - x , yB - y ) , 4p

且 A M 与 MB 共线 ,
( y - yA ) = 0 . - x) ? 4p ( y A + yB ) yA ? yB y? ( 3) ∴ x+ =0 4p 4p 将 ( 1) , ( 2) 代入 ( 3) 并化简得 : x 2 + y 2 - 4 px = 0 . ∵ A , B 是原点以外的两点 , ∴ x ≠ 0. 故 M 点的轨迹是以 ( 2 p , 0 ) 为圆心 , 以 2 p 为半 径的圆 , 去掉点 ( 0 , 0 ) . 通过对上面例题向量解法的 讨论 , 加深了学生对向量的认识 , 提高了学生应用向 量解题的能力 , 使不同的学生都在解决问题的过程 中得到锻练和发展 . 此时 , 老师又趁热打铁 , 给出下 面的第二道题 . 例 2  ( 1999 年全国高考题 ) 如图 2 , 给出定点





∴(x -

y2 A

4p

)? ( yB - y) - (

y2 B

则 OA = (



yA

2

4p

, y A ) , OB = (



yB

2

4p

, yB ) .

收稿日期 :2000 - 10 - 27 ) , 男 , 湖南溆浦人 , 江西丰城二中高级教师 . 作者简介 :龚晓洛 ( 1958 — ? 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

2001 年第 5 期               数学通讯
A ( a , 0) ( a > 0) 和 直 线 l : x = - 1 . B 是直线 l 上的动 点 , ∠B OA 的 角 平 分 线 交 A B 于点 C. 求点 C 的轨迹 方程 , 并讨论方程表示的曲 线类型与 a 值的关系 . ( 老师同样要求同学们

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用常规解法和向量解法 两 图2  例2图 种办法解此题 . 由于有了前 一道题的铺垫 , 同学们很快用向量的方法解出了此 题. ) 解  依题意 , 设 B ( - 1 , b) ( b ∈ R ) , C ( x , y) , 则 0 ≤x < a.
OA = ( a , 0) , OB = ( - 1 , b) , OC = ( x , y) , 由 OC 平分 ∠A OB , 得 cos ∠A OC = cos ∠B OC. 1) 当 b ≠ 0 时, y ≠ 0 , 0 < x < a , 此时有 : OA ? OC

上 , 老师又加以归纳引伸 , 向同学们展示了另一道高 考题的向量解法 . 例 3  ( 1997 年全国高考题) 如图 3 , 在正方体 A B CD2 A 1 B 1 C1 D 1 中 , E , F 分 别 是 BB 1 , CD 的中点 , 1) 证明 : A D ⊥D1 F; 2) 求 A E 与 D1 F 所成的 角; 3 ) 证 明 : 面 A ED ⊥面
A 1 FD 1 ;







4) 设 A A 1 = 2 , 求三棱锥 F - A 1 ED 1 的体积 V F - A 1 ED 1 .

图3  例3图

→ → →
=

OC? OB

→ → →
.

解  如图 3 , 以 D 为原点 , 分别以 DA , DC , DD1 所在直线为 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 建立空间直角坐标系 O2xyz . 设正方体棱长为 2 . 则 D ( 0 , 0 , 0) , A ( 2 , 0 , 0) , F ( 0 , 1 , 0 ) , D 1 ( 0 , 0 , 2) , A 1 ( 2 , 0 , 2) , E ( 2 , 2 , 1 ) .
1) ∵ A D = ( - 2 , 0 , 0 ) , D1 F = ( 0 , 1 , - 2 ) , 且
A D? D1 F = - 2 × 0+0× 1 + 0 ×( - 2) = 0 ,

| OA | ? | OC| | OC| ? | OB | ax + 0? y - x + by ∴ = . 2 2 2 | a| ? x 2 + y 2 x + y ? 1+ b ∵ a>0, by - x ∴ x= 1 + b2









→ →

∴ A D ⊥D 1 F , 即 A D ⊥D1 F.
( 1)





2) A E = ( 0 , 2 , 1 ) , D1 F = ( 0 , 1 , - 2 ) , 设 A E 与
D 1 F的夹角为 θ, 则有







又 A C与 CB 共线 , 且
A C = ( x - a , y ) , CB = ( - 1 - x , b - y ) . ∴ ( x - a) ( b - y ) - y ( - 1 - x ) = 0 , ∴ ( x - a) b + ( 1 + a) y = 0 , ∵ x - a ≠ 0, ( 1 + a) y ∴ b= a- x 将 ( 2) 式代入 ( 1) 式得 x
2











θ= cos
=

A E? D1 F

→ →

| A E| ? | D1 F| 0× 0+2× 1 + 1 ×( - 2)





( 2)

2 ( 1 + a) 2 ? y2 ( 1 + a) y2 = - x , 2 ( x - a) a- x 整理得 ( 1 - a) x 2 - 2 ax + ( 1 + a) y2 = 0 ( 0 < x < a) . 2) 当 b = 0 时 , ∠A OB =π, ∴ 点 C 坐标为 ( 0 , 0) , 也适合上式 . 综合 1) , 2) 得 C 点轨迹方程是 ( 1 - a) x 2 - 2 ax + ( 1 + a) y 2 = 0 ( 0 ≤x < a) . 当 a = 1 时 , 轨迹方程为 y 2 = x ( 0 ≤x < 1) , 表示 抛物线弧段 ; a 2 (x) 1- a y2 当 a≠ 1 时 , 方程化为 + =1 2 a 2 a ( ) 2 1- a 1- a ( 0 ≤x < a) . ∴ 0 < a < 1 时 , 方程表示椭圆弧段 ; a > 1 时 , 方程表示双曲线一支的弧段 . 通过上面两道高考题的向量解法 , 培养了学生 应用向量的意识 . 在掌握现有知识和常规解法的基 础上 , 鼓励学生大胆设想 , 积极创新 , 寻找新的解题 途径 . 提高了解题技能 , 训练了创造思维 . 在此基础

02 + 22 + 12 ? 02 + 12 + ( - 2) 2 ∴θ= 90° , 即 A E 与 D1 F 所成的角为直角 .

=0,

1+

3) 由 1) 知 A D ⊥D1 F , 由 2) 知 A E ⊥D1 F. ∴ D1 F ⊥ 平面 A ED , 又 D1 F < 面 A 1 FD 1 , ∴面 A ED ⊥ 面 A 1 FD 1 . 4) 设 A B 的中点为 G , 连结 GE , GD1 , ∵ FG ∥A 1 D1 , ∴ FG ∥ 面 A 1 ED 1 , ∴ V F - A 1 ED1 = V G - A 1 ED 1 = V D 1 - A 1 GE ,









∵ A A 1 = 2 , ∴ S △A 1 GE = S
3 - S △B EG = , 2

ABB A 1 1

- 2 S △A 1 A G

∴ V FS △A 1 GE =

A ED 1 1

= V D1 -

A GE 1

=

1 3

× A 1 D1 ×

1 3 × 2 × = 1. 3 2 通过用向量方法解以上几道高考题 , 激发了学 生学习向量的兴趣 , 使他们感到很新颖 , 强化了应用 向量知识解决几何问题的意识 , 从而达到提高探索 和创新能力的目的 .

? 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

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