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高考数学二轮精品复习资料


专题三 数列(教师版)
【考纲解读】 1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数 列的前几项. 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解答简单的问题. 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解决简单的问题. 【考点预测】 1.等差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题;难度易、中、难三类皆有. 2.数列中 an 与 Sn 之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意: 1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前 n 项和公式等. 2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量 a1、d(或 q) ,掌握好设未知数、列 出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意 q=1 和 q≠1 两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如 an 与 Sn 的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等. 复习时,要及时总结归纳. 5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法,养成良好的学 习习惯,定能达到事半功倍的效果. 7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【要点梳理】 1. 证 明 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 的 两 种 基 本 方 法 : 1 ) 定 义 法 : an ?1 ? an ? d 为 常 数 ; 2 ) 等 差 中 项 法 : ( (

2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2) .
2. 证 明 数 列 ?an ? 是 等 比 数 列 的 两 种 基 本 方 法 : 1 ) 定 义 法 : (

an ?1 ? q (非零常数); 2)等差中项法: ( an

an 2 ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2) .
3.常用性质:(1)等差数列 ?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; (2)等比数列 ?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq . 4.求和:
1

(1)等差等比数列,用其前 n 项和求出; (2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法; (3)掌握等差等比数列前 n 项和的常用性质. 【考点在线】 考点 1 等差等比数列的概念及性质

在等差、等比数列中,已知五个元素 a1 ,a n , n,d 或 q , Sn 中的任意三个,运用方程的思想,便可求出其余两个,即“知 三求二” 。本着化多为少的原则,解题时需抓住首项 a 1 和公差(或公比 q ) 。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例 如 (1)等差数列 ?an ? 中, m ? n ? p ? q ,则 a m ?a n ? a p ?a q ;等比数列 ?a n ? 中,若 m ? n ? p ? q , a ma n ?a pa q 若 则 .

(2)等差数列 ?an ? 中,Sn ,S2n ? Sn ,S3n ? S2n ,?Skn ? Sk? n ?1? ,? 成等差数列。其中 Sn 是等差数列的前 n 项和;等比数列 ?an ? 中 ( q ? ?1 ) S, n2 S,? n3 Sn2, ?nk S ?, ? , S S S n n
k? ? n1

?

? 成等比数列。其中 Sn 是等比数列的前 n 项和;

(3)在等差数列 ?an ? 中,项数 n 成等差的项 a n 也称等差数列. (4)在等差数列 ?an ? 中, S2n ?1 ? ? 2n ? 1? a n ; S2n ? n ? a n ? a n ?1 ? . 在复习时,要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形 结合思想的运用. 例 1. (2011 年高考重庆卷理科 11)在等差数列 ? an ? 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? . 【答案】74【解析】 a2 ? a8 ? a4 ? a6 ? a3 ? a7 ? 37 ,故 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 2 ? 37 ? 74 【名师点睛】本题考查等差数列的性质. 【备考提示】:熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键.

考点 2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时,要对其关系式进行适当的变形 ,转化为常见的类型进行解题。如“逐差法” 若 a n ? a n ?1 ? n, 且 a1 ? 1 ;我们可把各个差列出来进行求和,可得到数列 ?a n ? 的通项.
2

a n ? ? a n ? a n ?1 ? ? ? a n ?1 ? a n ?2 ? ? ? ? ? a 2 ? a1 ? ? a1 ? n ? ? n ? 1? ? ? ? 2 ? 1 ?

n ? n ? 1? 2

.

再看“逐商法”即 a n ?1 ? n ? 1 且 a1 ? 1 ,可把各个商列出来求积。
an an ? a n a n ?1 a ? ? ?? 2 ?a1 ? n ? n ? 1?? n ? 2 ?? 2? ? n! 1 a n ?1 a n ?2 a1

另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与等比数列的性质解决问题. 例 2.(2011 年高考四川卷文科 9)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则 a6=( (A)3 ×4 (C) 4
4 4

)

(B)3 × 4 +1 (D)4 +1 ①,所以 an+2 =3Sn+1 ②,
4

4

【答案】A 【解析】由题意,得 a2=3a1=3.当 n ≥1 时,an+1 =3Sn(n ≥1) ②-①得 an+2 = 4an+1 ,故从第二项起数列等比数列,则 a6=3 ×4 . 【名师点睛】 本小题主要考查 a n 与 Sn 的关系:a ? ?S1 ? n
?Sn ? Sn ?1 n ? 2
4

n=1 , 数列前 n 项和 Sn 和通项 a n 是数列中两个重要的量,

在运用它们的关系式 a n ? Sn ? Sn ?1 时,一定要注意条件 n ? 2 ,求通项时一定要验证 a 1 是否适合。解决含 a n 与 Sn 的式子 问题时,通常转化为只含 a n 或者转化为只 Sn 的式子. 【备考提示】 :递推数列也是高考的内容之一,要熟练此类题的解法,这是高考的热点. 练习 2.(2011 年高考辽宁卷文科 5)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( (A)2 (B)4 (C)8 (D)16
2



[Z

【解析】设公比是 q,根据题意 a1a2=16 ①,a2a3=162 ②,②÷①,得 q =16 .因为 a12q=16>0, a12>0,则 q>0,q=4. 考点 3 数列的通项公式 a n 与前 n 项和公式的应用 等差、等比数列的前 n 项和公式要深刻理解,等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数.等比数列的前 n 项和公式
Sn ? a1 ?1 ? q n ? 1? q ? a1 a ? 1 qn ( q 1? q 1? q

,因此可以改写为 Sn ? aq n ? b (a ? b ? 0) 是关于 n 的指数函数,当 q ? 1 时, Sn ? na1 . ? 1)

例 3.(2011 年高考江苏卷 13)设 1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 .
2 3

【答案】 3 3 【解析】由题意: 1 ? a1 ? a2 ? a1q ? a2 ? 1 ? a1q ? a2 ? 2 ? a1q ,

? a2 ? q ? a2 ? 1, a2 ? 1 ? q 2 ? a2 ? 2

3

【答案】A 【解析】通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a 2 ? a 2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入所求式可知答案选 A,本题
3

主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 考点 4. 数列求和 例 4. (山东省济南市 2011 年 2 月高三教学质量调研理科 20 题) 已知 {an } 为等比数列, a1 ? 1, a5 ? 256 ; S n 为等差数列 {bn } 的前 n 项和, b1 ? 2, 5S5 ? 2S8 . (1) 求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2) 设 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ,求 Tn . 【解析】 (1) 设 {an } 的公比为 q ,由 a5 ? a1q ,得 q ? 4. 所以 an ? 4 .
4 n ?1

设 {bn } 的公差为 d ,由 5S5 ? 2S8 得 d ? 所以 bn ? b1 ? n ? 1? d ? 3n ? 1. (2)

3 3 a1 ? ? 2 ? 3 , 2 2

Tn ? 1? 2 ? 4 ? 5 ? 4 ? 8? ? 4n ?1 ? 3n ? 1? ①

4Tn ?

4 ? 2 ? 42 ? 5 ? ? ? 4n ? 3n ? 1? ②

②-①得: 3Tn ? ?2 ? 3 4 ? 4 ? ... ? 4
2

?

n ?1

? ? 4 ?3n ? 1? ? 2 ? ?3n ? 2 ? ? 4 .
n n

所以 Tn ? ? n ?

? ?

2? n 2 ??4 ? . 3? 3

【名师点睛】本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前 n 项和公式、数列求和等基础知识,考查运算能力、综合 分析和解决问题的能力. 【备考提示】 :熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键. 练习 4. (2010 年高考山东卷文科 18)
4

已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

考点 5 等差、等比数列的 综合应用 解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用. 例 5. (2011 年高考浙江卷理科 19)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 ? a ( a ? R ),设数列的前 n 项和为 S n , 且

1 1 1 1 1 1 1 , , 成 等 比 数 列 ( Ⅰ ) 求 数 列 {an } 的 通 项 公 式 及 S n ( Ⅱ ) 记 An ? , ? ? ? ... ? a1 a2 a4 S1 S 2 S 3 Sn
1 1 1 1 ? ? ? ... ? ,当 n ? 2 时,试比较 An 与 Bn 的大小.[ a1 a2 a22 a2n

Bn ?



n?2





5

0 1 2 n 22 ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 1 即 1 ?

1 1 ? 1? n ; n ?1 2

所以当 a ? 0 时, An ? Bn ;当 a ? 0 时, An ? Bn . 【名师点睛】本小题主要考查等差等比数列的通项与前 n 项和等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题 的能力. 【备考提示】 :熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键. 练习 5.(2011 年高考天津卷文科 20)

3 ? (?1) n ?1 已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 bn ?1an ? bn an ?1 ? (?2) ? 1 , bn ? , n ? N ? ,且 a1 ? 2 . 2
n

(Ⅰ)求 a2 , a3 的值; (Ⅱ)设 cn ? a2 n ?1 ? a2 n ?1 , n ? N ? ,证明 ?cn ? 是等比数列; (Ⅲ)设 S n 为 ?an ? 的前 n 项和,证明

S S S1 S2 1 ? ? ? ? 2 n?1 ? 2 n ? n ? (n ? N ? ) . a1 a2 a2 n ?1 a2 n 3

3 ? ( ?1) n ?1 , n ? N ? ,可得 【解析】 (Ⅰ)由 bn ? 2
? 2, n是奇数 n bn ? ? , bn ?1an ? bn an ?1 ? (?2) ? 1 , 1, n是偶数 ?
当 n=1 时, a1 ? 2a2 ? ?1, 由 a1 ? 2 ,得 a2 ? ? 当 n=2 时, 2a2 ? a3 ? 5, 可得 a3 ? 8 . (Ⅱ)证明:对任意 n ? N ? , a2 n ?1 ? 2a2 n ? ?2 ②-①得: a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? 3 ? 2
2 n ?1 2 n ?1

3 ; 2

? 1 --------① 2a2 n ? a2 n ?1 ? 22 n ? 1 ---------------②
,于是

,即 cn ? 3 ? 2

2 n ?1

cn ?1 ? 4 ,所以 ?cn ? 是等比数列. cn

? (Ⅲ)证明: a1 ? 2 ,由(Ⅱ)知,当 k ? N 且 k ? 2 时, a2 k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ?3 )

=2+3(2+ 2 ? 2 ? ? ? 2
3 5

2 k ?3

)=2+ 3 ?

2(1 ? 4k ?1 ) ? 22 k ?1 ,故对任意 k ? N ? , , 1? 4

1 ? 22 k ?1 , k ? N ? , 2 k k ? 1 2 k ?1 因此, S2 k ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ) ? ,于是 S2 k ?1 ? S2 k ? a2 k ? ?2 , 2 2 k ? 1 2 k ?1 k ?2 S S k ? 1 ? 22 k k 1 k 2 ? 2k ? 1? k ? k k 故 2 k ?1 ? 2 k ? 2 2 k ?1 = , ? 2k 1 2 k ?1 2 2 ?1 a2 k ?1 a2 k 4 4 (4 ? 1) 2 ?2 2
由①得 2
2 k ?1

? 2a2 k ? ?22 k ?1 ? 1, 所以 a2 k ?

6

所以

S S S1 S2 1 ? ? ? ? 2 n?1 ? 2 n ? n ? (n ? N ? ) . a1 a2 a2 n ?1 a2 n 3

【易错专区】 问题:已知 S n ,求 an 时,易忽视 n ? 1 的情况 例. (2010 年高考上海卷文科 21)
* 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N

(1)证明: ?an ? 1? 是等比数列; (2)求数列 ? S n ? 的通项公式,并求出使得 Sn ?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .

【考题回放】 1.(2011 年高考安徽卷文科 7)若数列 an ? 的通项公式是 an ? (??)g(?n ? ?) ,则 a? ? a? ? L a?? ? ( (A) 15 (B) 12 (C )

?



???

(D) ???

【答案】A【解析】法一:分别求出前 10 项相加即可得出结论; 法二: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a9 ? a10 ? 3 ,故 a? ? a? ? L a?? ? ??? ? ?? .故选 A. 2. (2011 年高考江西卷文科 5)设{ an }为等差数列,公差 d = -2, S n 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( A.18 B.20 C.22 D.24 . )

【答案】B 【解析】

? S10 ? S11 ,? a11 ? 0 a11 ? a1 ? 10 d ,? a1 ? 20

3. (2011 年高考江西卷理科 5)已知数列{ an }的前 n 项和 S n 满足: Sn ? Sm ? Sn ? m ,且 a1 =1.那么 a10 =( A.1 B.9 C.10 D.55



【答案】A【解析】因为 Sn ? Sm ? Sn ? m ,所以令 n ? m ? 1 ,可得 S2 ? 2S1 ? 2 ;令 n ? 1, m ? 2 ,可得 S3 ? S1 ? S2 ? 3 ;
7

同理可得 S4 ? 2S2 ? 4 , S5 ? S2 ? S3 ? 5 , S9 ? S4 ? S5 ? 9 ,

S10 ? 2S5 ? 10 ,所以 a10 = S10 ? S9 ? 1 ,故选 A.
4. (2011 年高考四川卷理科 8)数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an ?1 ? an (n ? N *) .若则 b3 ? ?2 ,

b10 ? 12 ,则 a8 ? (
(A)0 【 答 案 (B)3 】 B

) (C)8 【 解 析 】 (D)11 由 已 知 知

bn ? 2 ? 4

n ? 8 ?1 n, a 0 ? ? .2

?

n

a ? 2由 n ? 8 叠 a1 6 ? ? 0

, 加 ?



(a2 ?

a1 ) ?

(a3 ?? a2 ) ?

? (a8

? a7 )

? 6?

? 2?

a84 ?

? 3


5. 2010 年高考全国Ⅰ卷文科 4)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8 a9 =10,则 ( (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2
3 2 3 8

a4a5a6 =(

a a 【答案】A【解析】由等比数列的性质知 a1a2 a3 ? (a1a3 )? 2 ? a ? 5 , a7 a8 a9 ? (a7 a9 )? 8 ? a ? 10,所以 a2 a8 ? 50 ,
3 所以 a4 a5 a6 ? (a4 a6 )? 5 ? a5 ? ( a2 a8 )3 ? (50 6 )3 ? 5 2 . a 1

1 3

6. (2010 年高考全国卷Ⅱ文科 6)如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +??+ a7 =( ? (A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35



【答案】C【解析】∵

a3 ? a4 ? a5 ? 12

1 a4 ? 4 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? 2 ? 7 ? (a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 ,∴

7.(2009 年高考安徽卷理科第 5 题)已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 S n 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大值的 n 是 (
高.



【解析】 设公比为 q ,由已知

8

得 a1q ? a1q ? 2 a1q
2 8

?

4

? ,即 q

2

? 2 ,因为等比数列 {a n } 的公比为正数,所以 q ? 2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ? ? ,选 B q 2 2
)

9. (2009 年高考湖南卷文科第 3 题)设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S 7 等于( A.13 B.35 C.49 D. 63

【答案】C【解析】 S7 ? 或由 ?

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2

?a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) ?? 1 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. 所以 S7 ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 ?a6 ? a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2
)

10. (2009 年高考福建卷理科第 3 题)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于( A.1 B

5 3

C.- 2

D3

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C 2 n? 2 2 n? 11.2009 年高考江西卷理科第 8 题) ( 数列 {an } 的通项 an ? n (cos 其前 则 ? sin 2 ) , n 项和为 S n , S30 为( 3 3
【答案】C【解析】∵ S3 ? 6 ? A. 470 B. 490
2

)

C. 495

D. 510

【答案】A【解析】由于 {cos

n? n? ? sin 2 } 以 3 为周期,故 3 3

S30 ? (?
? ? [?
k ?1 10

12 ? 22 4 2 ? 52 282 ? 292 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? 302 ) 2 2 2

10 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1)2 5 9 ?10 ?11 ? (3k ) 2 ] ? ? [9k ? ] ? ? 25 ? 470 故选 A 2 2 2 k ?1

12.(2011 年高考湖北卷文科 9)《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自下而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为( A. 1 升 B.
67 升 66

) D.
37 升 33

C.

47 升 44

【答案】D 【解析】设 9 节竹子的容积从上往下依次为 a1,a2,??a9,公差为 d,则有 a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即 4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得: a5 ?
67 ,所以选 B. 66

13. (2011 年高考湖南卷理科 12)设 S n 是等差数列 ?an ? n ? N 【答案】25【解析】 因为 a1

?

?

? 的前 n 项和,且 a

1

? 1 , a4 ? 7 ,则 S 5 ?

.

? 1 , a4 ? 7 ,所以 d ? 2 ,则 S 5 ? 5a1 ?

5? 4 ? d ? 25 .故填 25 2
.

14. (2011 年高考广东卷理科 11)等差数列 ?an ? 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则 k ?

4?3 ? 9?8 d ? 4? d 1 ?9 ? ?d ? ? 【答案】10【解析】由题得 ? 2 2 6 ?1 ? (k ? 1)d ? 1 ? 3d ? 0 ?

k ? 10 .

9

【解析】 an ? n(n ? 4)( )

2 3

n

2 (n ? 1)(n ? 5)( ) n ?1 a 2(n ? 1)(n ? 5) 3 则 n ?1 ? ? 2 an 3n(n ? 4) n(n ? 4)( ) n 3
于 是 2 (n ? 1) ( ? 5) n n ? n ? 3 (

4? ?n ? 令0?n2 ? 10 ? 0 得 ? 10 ? n ? 10 , 则 ) 2 1

an ?1 ?1 , n ? 4 时递增,令 an

?n2 ?10 ? 0得 n ? 10 ,则

an ?1 ? 1 , n ? 4 时递减,故 n ? 4 是最大项,即 k ? 4 . an

17. (2011 年高考江西卷文科 21) (本小题满分 14 分) (1)已知两个等比数列 ?an ?, ?bn ? ,满足 a1 ? a?a ? 0?, b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2, b3 ? a3 ? 3 , 若数列 ?a n ?唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列 ?an ?, ?bn ? ,使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差 不 为 0
?

的等差数列?若存在,求 ?an ?, ?bn ? 的通项公式;若 不 存在,说明理由.
?

【 解 析 】( 1 )
2

?a n ?

要 唯 一 , ? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 由 b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a2 , b3 ? 3 ? a3 且

b2 ? b1b3 ? ?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a ? 3 ? aq12 ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,

?

?

? a ? 0 ,? aq1 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 最少有一个根(有两个根时,保证仅有一个正根)
2

? ?4a ? ? 4a ?3a ? 1? ? 0 ? 4a ?a ? 1? ? 0 ,此时满足条件的 a 有无数多个,不符合。
2

? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 等 比 数 列 ?a n ? 首 项 为 a , 其 余 各 项 均 为 常 数 0 , 唯 一 , 此 时 由

?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a ??3 ? aq12 ? ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,可推得 3a ? 1 ? 0, a ? 1 符合
3
综上: a ?

1 。 3
10

, , ( 2 ) 假 设 存 在 这 样 的 等 比 数 列 ?an ? ?bn ? 公比分别为q1,q 2 , 则 由 等 差 数 列 的 性 质 可 得 :

?b2 ? a2 ? ? ?b3 ? a3 ? ? ?b1 ? a1 ? ? ?b4 ? a4 ? ,整理得: ?b1 ? b3 ??q2 ? 1? ? ?a1 ? a3 ??q1 ? 1?
要使该式成立,则 q2 ? 1 = q1 ? 1 ? 0 ? q1 ? q2 ? 1 或 b1 ? b3 ? a1 ? a3 ? 0 此时数列 b2 ? a2 , b3 ? a3 公差为 0 与题意

, 不符,所以不存在这样的等比数列 ?a n ? ?bn ?.

18. (2011 年高考福建卷文科 17)(本小题满分 12 分)
已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式; (II)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 【解析】 (I)设等差数列{an}的公差为 d ,则 an ? a1 ? (n ? 1)d ,由 a1 ? 1 , a3 ? ?3 可得 1 ? 2d ? ?3 ,解得

d ? ?2 ,从而 an ? 1 ? (n ? 1) ? (?2) ? 3 ? 2n .
(II)由(I)可知 an ? 3 ? 2n ,所以 Sn ?
2

n[1 ? (3 ? 2n)] ? 2n ? n2 ,由 Sk=-35,可得 2k ? k 2 ? ?35 , 2
?

即 k ? 2k ? 35 ? 0 ,解得 k ? 7 或 k ? ?5 ,又 k ? N ,故 k ? 7 . 19. (2011 年高考湖南卷文科 20)(本题满分 13 分) 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (II)设 An ?

a1 ? a2 ? ? ? an , 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新,证明:须在第 9 n

年初对 M 更新. 【解析】 (I)当 n ? 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

11

3 3 3 Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( ) n ?6 ] ? 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 4 4 3 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 An ? . n
因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,又

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 所以须在第 9 年初对 M 更新. 8 64 9 96
20. (2011 年高考四川卷文科 20)(本小题共 12 分) 已知﹛ an ﹜是以 a 为首项,q 为公比的等比数列, S n 为它的前 n 项和. (Ⅰ)当 S1 , S3 , S4 成等差数列时,求 q 的值; (Ⅱ)当 S m , S n , S i 成等差数列时,求证:对任意自然数 k , am? k , an? k , ai ? k 也成等差数列. 【解析】 (Ⅰ)当 q ? 1 时, S1 ? a, S3 ? 3a, S4 ? 4a ,因为 S1 , S3 , S4 成等差数列,所以 2 ? 3a ? a ? 4a ,解得 a ? 0 , 因为 a ? 0 ,故 q ? 1 ; 当 q ? 1 时 , S1 ? a, S3 ?

a(1 ? q 3 ) a(1 ? q 4 ) 2a(1 ? q 3 ) a(1 ? q 4 ) , S4 ? ?a? , 由 S1 , S 3, S 4 成 等 差 数 列 得 ,得 1? q 1? q 1? q 1? q
1? 5 . 2

q3 ? 2q 2 ? 1 ? 0 ,即 ? q ? 1? ? q 2 ? q ? 1? ? 0 ,? q ?

21. (2010 年高考天津卷文 科 22) (本小题满分 14 分) 在数列 ?a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k ? N , a 2k ?1 , a 2k , a 2k+1 成等差数列,其公差为 2k.
*

(Ⅰ)证明 a 4 , a 5 , a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式;

12

(Ⅲ)记 Tn ?

22 32 n2 3 ? ? ? ?? ,证明 ? 2n ? Tn ? (n ? 2) ? . 2 a2 a3 an 2

【解析】 证明: (I) 由题设可知,a2 ? a1 ? 2 ? 2 ,a3 ? a2 ? 2 ? 4 ,a4 ? a3 ? 4 ? 8 ,a5 ? a4 ? 4 ? 12 ,a6 ? a5 ? 6 ? 18 . 从而

a6 a5 3 ? ? ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列. a5 a4 2

(II)解:由题设可得 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 4k , k ? N * 所以 a2 k ?1 ? a1 ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?3 ? ? ... ? a3 ? a1 ?

? 4k ? 4 ? k ? 1? ? ... ? 4 ?1 ? 2k ? k ? 1? , k ? N * .
2 由 a1 ? 0 ,得 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? ,从而 a2 k ? a2 k ?1 ? 2k ? 2k .

? n2 ? 1 n , n为奇数 ? n 2 ? ?1? ? 1 ? 2 ? 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 2 或写为 an ? , n ? N *。 2 4 n ? , n为偶数 ?2 ?
2 (III)证明:由(II)可知 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? , a2 k ? 2k ,

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m ? m ? N *? 若 m ? 1,则 2n ? 若 m ? 2 ,则
m ? 2k ? ? m?1 ? 2k ? 1? ? m 4k 2 ? m ?1 4k 2 ? 4k ? 1 k2 ?? ? a k ?1 a ? a ? 2k 2 ? 2k ? k ? 1? k ?2 k k ?1 k ?1 k ?1 2k 2 k ?1 n 2 2 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? 2 k ? k ? 1? k ?1 ? ? m ?1

k2 ? a ? 2, k ?2 k
n

1? 1? 3 1 ? 2m ? 2? m ? ? ? ? ? ? ? n2 ? . 1 1 ? 2? m? 2 n
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ? ? ,从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 4, 6,8,.... ?a 2 n 2 k ?2 k k ? 2 ak n

(2) 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1? m ? N *? 。

? 2m ? 1? k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? 3 1 ? 4m ? ? ? ?a ??a ? a 2 2m 2m ? m ? 1? k ?2 k k ?2 k 2 m ?1
n 2 2

13

? 4m ?
n

1 1 3 1 ? ? 2n ? ? 2 2 ? m ? 1? 2 n ?1

所以 2n ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? ? 2, n ? 3,5, 7,.... ,从而 ? 2n ? ? ? a 2 n ?1 2 k ?2 k k ? 2 ak

综合(1)和(2)可知,对任意 n ? 2, n ? N *, 有

3 ? 2n ? Tn ? 2. 2

22.(2010 年高考北京卷文科 16)(本小题共 13 分) 已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。

23.(2010 年高考江西卷文 科 22)(本小题满分 14 分) 正实数数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 5 ,且 an

? ? 成等差数列.
2

(1)证明数列 ?an ? 中有无穷多项为无理数; (2)当 n 为何值时, an 为整数,并求出使 an<200 的所有整数项的和.
2 【解析】证明: (1)由已知有: an ? 1 ? 24(n ? 1) ,从而 an ? 1 ? 24(n ? 1) ,

方法一:取 n ? 1 ? 24

2 k ?1

2k * ,则 an ? 1 ? 24 ( k ? N ) .

用反证法证明这些 an 都是无理数.
2k k 假设 an ? 1 ? 24 为有理数,则 an 必为正整数,且 an ? 24 ,

14

故 an ? 24 ? 1 . an ? 24 ? 1 ,与 (an ? 24 )(an ? 24 ) ? 1 矛盾,
k k k k
2k * 所以 an ? 1 ? 24 ( k ? N ) 都是无理数,即数列 ?an ? 中有无穷多项为无理数;

方法二:因为 an ?1 ? 1 ? 24n(n ? N ) ,当 n 得末位数字是 3,4,8,9 时, 1 ? 24n 的末位数字是 3 和 7,
2

它不是整数的平方,也不是既约分数的平方,故此时 an ?1 ? 1 ? 24n 不是有理数,因这种 n 有无穷 多,故这种无理项 an ?1 也有无穷多. (2)要使 an 为整数,由 (an ? 1)(an ? 1) ? 24(n ? 1) 可知: an ? 1, an ? 1 同为偶数,且其中一个必为 3 的 倍 数 , 所 以 有

an ? 1 ? 6m



an ? 1 ? 6m



an ? 6m ? 1 时 , 有

2 an ? 36m2 ? 12m ? 1 ? 1 ? 12m(3m ? 1)(m ? N ) 又 m(3m ? 1)

必 为 偶 数 , 所 以

an ? 6m ? 1(m ? N ) 满足
2 an ? 1 ? 24(n ? 1) 即 n ?

m(3m ? 1) ? 1(m ? N ) 时, an 为整数;同理 an ? 6m ? 1(m ? N * ) 有 2

2 an ? 36m2 ? 12m ? 1 ? 1 ? 12m(3m ? 1)(m ? N * ) 也满足
2 an ? 1 ? 24(n ? 1) 即 n ?

m(3m ? 1) ? 1(m ? N * ) 时, an 为整数;显然 an ? 6m ? 1(m ? N * ) 和 2 m(3m ? 1) an ? 6m ? 1(m ? N ) 是 数 列 中 的 不 同 项 ; 所 以 当 n ? ? 1(m ? N ) 和 2 m(3m ? 1) n? ? 1(m ? N * ) 时, an 为整数;由 an ? 6m ? 1 ? 200(m ? N ) 有 0 ? m ? 33 , 2
*

由 an ? 6m ? 1 ? 200(m ? N ) 有 1 ? m ? 33 . 设 an 中满足 an ? 200 的所有整数项的和为 S ,则

S ? (5 ? 11 ? ??? ? 197) ? (1 ? 7 ? 13 ? ??? ? 199) ?

5 ? 197 1 ? 199 ? 33 ? ? 34 ? 6733 . 2 2

24. (2010 年高考浙江卷文科 19)(本题满分 14 分)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn,满足 S 5 S 6 +15=0. (Ⅰ)若 S 5 =5,求 S 6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)解:由题意知 S6=

-15 =-3, S5

A6=S6-S5=-8 所以 ?

?5a1 ? 10 d ? 5, 解得 a1=7,所以 S6= -3,a1=7 ? a 1 ?5d ? ?8.

(Ⅱ)解:因为 S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a12+9da1+10d2+1=0.

15

【解析】通过 8a2 ? a5 ? 0 , 设公比为 q ,将该式转化为 8a 2 ? a 2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入所求式可知答案选 A,本题主要考察了本题主要考察了
3

等比数列的通项公式与前 n 项和公式 2.(2010 年高考安徽卷文科 5)设数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n ,则 a8 的值为(
2

)

(A) 15 【答案】A

(B) 16

(C)

49

(D)64

【解析】 a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . 3. (2010 年高考山东卷文科 7)设 ?an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 ?an ? 是递增数列”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】C 【解析】若已知 a1 <a 2 ,则设数列 ?a n ? 的公比为 q ,因为 a1 <a 2 ,所以有 a1 <a1q ,解得 q>1, 又 a 1 >0 ,所以数列 ?a n ? 是递增数列;反之,若数列 ?a n ? 是递增数列,则公比 q>1 且 a 1 >0 ,所以 a1 <a1q ,即 a1 <a 2 ,所以 a1 <a 2 是数列 ?a n ? 是递增数列的充分必要条件。 4.(2010 年高考江西卷文科 7)等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a5 ? ?8a2 , a5>a2 ,则 an ? A. (?2)
n?1

)

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

B. ?(?2)

n?1

C. ( ?2)

n

D. ?(?2)

n

3 5. (2010 年高考辽宁卷文科 3) S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 设 已知 3S3 ? a4 ? 2 , S2 ? a3 ? 2 , 则公比 q ? (
(A)3 (B)4 (C)5
16

)

(D)6

【答案】B 【解析】两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 , a4 ? 4a3 ,? q ?

a4 ?4. a3

a3 6. (2010 年高考广东卷文科 4)已知数列{ an }为等比数列, S n 是它的前 n 项和,若 a2· =2a1,
且 a4 与 2a7 的等差中项为 A.35 B.33

5 ,则 S5= ( 4
w

)

C.31

D.29

7. (2010 年高考重庆卷文科 2)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为( (A)5 (C)8 【答案】A 【解析】由角标性质得 a1 ? a9 ? 2a5 ,所以 a5 =5. (B)6 (D)10

)

8. (2010 年高考湖北卷文科 7) 已知等比数列{ am }中, 各项都是正数, a1 , a3 , 2a2 成等差数列, 且 则 A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D3? 2 2

1 2

a9 ? a10 ?( a7 ? a8

)

【答案】C 二.填空题: 13. (2009 年高考北京卷文科第 10 题)若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N ) ,则
?

a5 ?
【答案】255

;前 8 项的和 S8 ?

.(用数字作答)

【解析】 a1 ? 1, a2 ? 2a1 ? 2, a3 ? 2a2 4, a4 ? 2a3 ? 8, a5 ? 2a4 ? 16 ,
17

28 ? 1 易知 S8 ? ? 255 . 2 ?1
14. (2010 年高考辽宁卷文科 14)设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 ,则 a9 ? 。

3? 2 ? ? S3 ? 3a1 ? 2 d ? 3 ? a1 ? ?1 ? 【答案】15【解析】由 ? ,解得 ? ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ?d ? 2 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 24 1 ? 6 2 ?
15.(浙江省温州市 2011 年高三第一次适应性测试理科)已知数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,集合

A ? {a1 , a2 ,?, a10 } ,从 A 中选出 4 个不同的数,使这 4 个数成等比数列,这样得到 4 个数的不同的等比数列共
有 【答案】 24 【解析】以公比为 q 的等比数列有 a1 , a2 , a3 , a4 , … a7 , a8 , a9 , a10 共 7 组; 以公比为 q 的等比数列有 a1 , a3 , a5 , a7 , … a4 , a6 , a8 , a10 共 4 组; 以公比为 q 的等比数列有 a1 , a4 , a7 , a10 共 1 组. 再考虑公比分别为
3 2



1 1 1 , , 的情形,可得得到 4 个数的不同的等比数列共有 24 个. q q 2 q3

三.解答题: 17.(2009 年高考山东卷理科第 20 题) (本小题满分 12 分)
? 等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0且b ? 1, b, r均为常数)
x

的图像上. (Ⅰ)求 r 的值;
18

(文科)(Ⅱ)当 b=2 时,记 bn ?

n ?1 (n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 4an
bn ? 2 ( l2 an ? o g n ? N ?) ( , 证 明 : 对 任 意 的 n ? N ? 1 )
,不等式

( 理 科 ) ( Ⅱ ) 当 b=2 时 , 记

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· n ·· ·· ? n ? 1 成立 b1 b2 bn
【解析】(Ⅰ) 由题意知: S n ? b ? r ,
n

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? b ? r ? (b
n

n ?1

? r ) ? b n ? b n ?1 ? (b ? 1)b n ?1 ,

由于 b ? 0 且 b ? 1, 所以当 n ? 2 时, { an }是以 b 为公比的等比数列, 又 a1 ? S1 ? b ? r , a2 ? b(b ? 1) ,
n

a2 b(b ? 1) ? b, 即 ? b, 解得 r ? ?1 . a1 b?r
n n ?1

(理科) (Ⅱ)∵ S n ? 2 ? 1 ,∴当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (2 ? 1) ? (2 又当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? 1 ? 1 ,适合上式,∴ an ? 2
1 n ?1

? 1) ? 2n ?1 ,
n ?1

, bn ? 2(log 2 2

? 1) ? 2n ,



b ? 1 3 ? 5 ? 7 ? L ? (2n ? 1) b1 ? 1 b2 ? 1 ? ?L ? n , ? n b1 b2 bn 2 ? 1? 2 ? 3 ? L ? n

下面用数学归纳法来证明不等式:

3 ? 5 ? 7 ? L ? (2n ? 1) ? n ?1 2 n ? 1? 2 ? 3 ? L ? n

证明:(1)当 n ? 1 时,左边=
?

3 9 ? ? 2 ? 右边,不等式成立. 2 4

(2)假设当 n ? k (k ? N ) 时,不等式成立,即 则当 n ? k ? 1 时, 不等式左边=

3 ? 5 ? 7 ? L ? (2k ? 1) ? k ?1 , 2 k ? 1? 2 ? 3 ? L ? k

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 2k ? 1 2k ? 3 · ·· k ·· ·· ? ? ? ? ?L ? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2

? k ?1 ?

2k ? 3 (2k ? 3) 2 4( k ? 1) 2 ? 4( k ? 1) ? 1 1 ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? ? (k ? 1) ? 1 2k ? 2 4(k ? 1) 4(k ? 1) 4( k ? 1)

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立, 综上(1)(2)可知:当 n ? N 时,不等式 所以对任意的 n ? N ,不等式
? ?

3 ? 5 ? 7 ? L ? (2n ? 1) ? n ? 1 恒成立, 2 n ? 1? 2 ? 3 ? L ? n

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 ? ?L ? n ? n ? 1 成立. b1 b2 bn
n ?1

? (文科)(Ⅱ)由(Ⅰ)知, n ? N , an ? (b ? 1)b

? 2n ?1 ,所以 bn ?

Tn ?

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? L ? n ?1 , 2 2 2 2 2
19

n ?1 n ? 1 = , 4 ? 2n ?1 2 n ?1

2 3 n ?1 n ?1 ? 4 ? L ? n ?1 + n ? 2 , 3 2 2 2 2 1 2 1 1 n ?1 n ?1 两式相减得: Tn ? 2 ? ? 4 ? L ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n?1 ) n ?1 1 2 2 ? ? ? n?2 1 2 2 1? 2 3 1 n ?1 ? ? n?1 ? n ? 2 , 2 4 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 故 Tn ? ? n ? n ?1 = ? n ?1 . 2 2 2 2 2 1 Tn ? 2


bn bn ? 1 T ? Tn 1 1 1 ? ? n?1 ? ( ? ), TnTn?1 qTnTn?1 qTnTn?1 2 Tn Tn?1









?10 分

所以
?

bn b1 b 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ?? ? ) ? 2 ? ?? T1T2 T2T3 TnTn?1 2 T1 T2 T2 T3 Tn Tn?1

1 1 1 1 1 ( ? ) ? (1 ? n?1 ). 2 T1 Tn?1 2 2 ?1

?14 分

19. (天津市南开中学 2011 年 3 月高三月考文科)已知数列 {a n } 的前以项和为 S n , 且对于任意的 n ? N *, 恒有

Sn ? 2an ? n, 设 bn ? log 2 (a n ? 1) ?
(1)求证:数列 {a n ? 1} 是等比数列;(2)求数列 {a n }, {bn } 的通项公式 a n 和 bn ; (3)若 cn ?

2bn 4 , 证明: c1 ? c2 ? ? ? cn ? ? an ?an ?1 3

【解析】 (1)当 n=l 时, S1 ? 2a1 ? 1, 得 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 2an ?1 ? (n ? 1), 两式相减得:

an ? 2an ? 2an?1 ? 1, ? an ? 2an?1 ? 1. ? an ? 1 ? 2an?1 ? 2 ? 2(an?1 ? 1), ?{an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.????????4 分
20

2 (2)由(1)得 an ? 1 ? 2?

n -1

? 2n , ? an ? 2n ? 1, n ? N * .

? bn ? log 2 (an ? 1) ? log 2 2n ? n, n ? N *. ??????????????8 分

2n 2n?1 (3)Cn ? a a , cn?1 ? a a , 由 {an } 为正项数列,所以 {cn } 也为正项数列, n n ?1 ?1 n ? 2
n 从而 c?1 ? a n ? n ? 2 ? n?2 ? , 所以数列 {cn } 递减, n n?2 2 ?1 2 ?4 2

c

2a

2(2n ? 1)

2(2n ? 1)

1

1 1 ? ( )n 1 1 2 1 n?1 2 ?c ? 4 ? ?12 分 所以 c1 ? c2 ? ? ? cn ? c1 ? c1 ? ( ) c1 ? ? ? ( ) c1 ? 1 1 2 2 2 3 1? 2
另证:由 cn ?

2n 1 1 ? n ? n ?1 , n ?1)(2n ?1 ?1) (2 2 ?1 2 ?1

所以 c1 ? c2 ? ? ? cn ? (

1 1 1 1 1 1 1 4 ? 1 ? n?1 ?1? ? ? 2 )?( 2 ? 3 ) ??? n ? n?1 2 ?1 3 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
1

20.(天津市红桥区 2011 届高三一模文科)(本题满分 14 分) 设数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,且 bn ? 2 ? 2Sn ;数列 {an } 为等差数列,且 a5 ? 14, a7 ? 20 。 (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 cn ? an ? bn (n ? 1, 2,3…), Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和,求证: Tn ? 【解析】 (1)由 bn ? 2 ? 2Sn , 令n ? 1, 则b1 ? 2 ? 2S1 , 又S1 ? b1 , 所以b1 ?

7 。 2

2 , 3

2 9 当n ? 2时,由bn ? 2 ? 2 S n , 可得bn ? bn ?1 ? ?2( S n ? S n ?1 ) ? ?2bn b2 ? 2 ? 2(b 1? b ), 则b ? 2 2 即 bn 1 ? bn ?1 3

2 1 1 所以?bn ? 是以b1 ? 为首项,为公比的等比数列,于是bn ? 2 ? n 3 3 3
(2)数列 {an } 为等差数列,公差 d ? 从而 cn ? an ? bn ? 2(3n ? 1) ?

1 (a7 ? a5 ) ? 3, 可得an ? 3n ? 1 2

1 3n

1 1 1 1 ?Tn ? 2[2 ? ? 5 ? 2 ? 8 ? 3 ? … ? (3n ? 1) ? n ], 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn ? 2[ 2 ? 2 ? 5 ? 3 ? … ? (3n ? 4) ? n ? (3n ? 1) ? n ?1 ] 3 3 3 3 3 2 1 1 1 d 1 1 ? Tn ? 2[3 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? … ? 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n ?1 ] 3 3 3 3 3 3 3
从而 Tn ?

7 7 1 n 7 ? ? n ? n ?1 ? 2 2 3 3 2
21

21. (山东省济南市 2011 年 2 月高三教学质量调研文科) 已知{an}是递增的等差数列,满足 a2·a4=3,a1+a5=4. (1) 求数列{an}的通项公式和前 n 项和公式; (2) 设数列{bn}对 n∈N*均有

b b1 b2 ? 2 ? ? ? n ? an ?1 成立,求数列{bn}的通项公式. 3 3 3n

22. (山东省青岛市 2011 年 3 月高考第一次模拟理科)已知数列 {bn } 满足 bn+ 1 = (Ⅰ)求证:数列 {bn -

1 1 7 bn + ,且 b1 = , Tn 为 {bn } 的前 n 项和. 2 2 4

1 } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; 2
*

(Ⅱ)如果对任意 n ? N ,不等式

12k ? 2n 7 恒成立,求实数 k 的取值范围. 12 + n - 2Tn

1 1 1 1 1 bn ? ,所以 bn ?1 ? ? (bn ? ) 2 4 2 2 2 1 1 1 则 {bn ? } 成等比数列,首项为 b1 ? ? 3 ,公比为 …………2 分 2 2 2
【解析】(Ⅰ) 对任意 n ? N ,都有 bn ?1 ?
*

所以 bn ?

1 1 1 1 ? 3 ? ( ) n ?1 , bn ? 3 ? ( ) n ?1 ? …………4 分 2 2 2 2 1 2
n ?1

(Ⅱ) 因为 bn ? 3 ? ( )

?

1 2

1 3(1 ? n ) 1 1 1 n 2 ? n ? 6(1 ? 1 ) ? n …………6 分 所以 Tn ? 3(1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ) ? ? 1 2 2 2 2 2 2n 2 1? 2 12k 2n ? 7 * ? 2n ? 7 ,化简得 k ? 因为不等式 对任意 n ? N 恒成立…………7 分 (12 ? n ? 2Tn ) 2n
设 cn ?

2n ? 7 2(n ? 1) ? 7 2n ? 7 9 ? 2n ,则 cn ?1 ? cn ? ? ? n?1 …………8 分 n 2 2n?1 2n 2

当 n ? 5 , cn ?1 ? cn , {cn } 为单调递减数列,当 1 ? n ? 5 , cn ?1 ? cn , {cn } 为单调递增数列
22

1 3 3 ,所以, n ? 5 时, cn 取得最大值 …………11 分 ? c4 ? c5 ? 16 32 32 2n ? 7 3 所以, 要使 k ? 对任意 n ? N* 恒成立, k ? …………12 分 n 32 2

23


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