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湖北省黄冈市2017届高三上学期期末考试数学(理)试题 (1)


黄冈市 2017 年元月高三年级调研考试 理科试题
2017 年元月 9 日

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合 题目要求. 1.设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 1 ? i ,其中 i 是虚数单位,则

z1 的模为 z2

A.

1 4

B.

2

C.

1 2

D. 1

2.下列说法正确的是
2 2 A. “若 a ? 1 ,则 a ? 1 ”的否命题是“若 a ? 1 ,则 a ? 1 ” 2 2 在 ?ABC 中,“ A ? B ” 是“ sin A ? sin B ”必要不充分条件

B.

C. “若 tan ? ? 3 ,则 ? ?
x x

?
3

”是真命题

D. ?x0 ? ? ??,0? 使得 3 0 ? 4 0 成立 3.我国古代数学典籍《九章算术》 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题: “今 有堩厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何 日相逢?”现有程序框图描述,如图所示,则输出结果 n ? A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 4.下列四个图中,函数 y ?

ln x ? 1 的图象可能是 x ?1

? y ? 2x ? 2 y ?1 ? 5.设实数 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 的取值范围是 x?3 ?x ? 2 ?

-1-

A. ? ??, ? ? 5

? ?

1? ?

B. ? ? ,1? ? 5 ?

? 1 ?

C. ? ? , ? 5 3

? 1 1? ? ?

D. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画的是某几何体的三视图, 则该几何体的表面积为 S 为 S ? ? ? R ? r ? l (注:圆台侧面积公式为) A. 17? ? 3 17? B. 20? ? 5 17? C. 22? D. 17? ? 5 17?

7.已知 ?ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 2,且 OA ? AB ? AC ? 0 ,则向量 CA 在向量 CB 方向上的投 影为 A. 3 B. 3 C. ?3 D. ? 3

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ?

??? ?

8.在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 AB ? A.

2BB1 ,则 AB1 与 BC1 所成角的大小为

? 6

B.

? 3

C.

5? 12

D.

? 2

9.已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? ? 2cos ?? x ? ? ?? 0 ? ? ? ? ? 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 sin 2? ? A.

3 5

B. ?

3 5

C.

4 5

D. ?

4 5

10.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数, f ? x ? 1? 为奇函数, f ? 0? ? 0 ,当 x ? ? 0,1? 时,

?1? f ? x ? ? log2 x ,则在区间 ?8,9 ? 内满足方程 f ? x ? ? 2 ? f ? ? 的实数 x 为 ?2?
A.

17 2

B.

65 8

C.

33 4

D.

67 8

11.如图,给定由 10 个点(任意相邻两点距离为 1,)组成的正三角形点阵,在其 中任意取三个点,以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是 A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 12.已知函数 f ? x ? ?

ln x ? ln x, f ? x ? 在 x ? x0 处取得最大值,以下各式中:① 1? x 1 1 f ? x0 ? ? x0 ② f ? x0 ? ? x0 ③ f ? x0 ? ? x0 ④ f ? x0 ? ? ⑤ f ? x0 ? ? 2 2
B. ②⑤ C. ①④ D. ③⑤

正确的序号是 A. ②④

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设函数 f ? x ? ? ?

? x ? 2, x ? 1 ,则满足 xf ? x ?1? ? 10 的 x 取值范围为 ?2, x ? 1
-2-

.

14.多项式 ? a ? 2b ? 3c ? 的展开式中 ab c 的系数为
6

2 3

.(用数字作答)

15.有一个电动玩具,它有一个 9 ? 6 的长方形(单位:cm)和一个半径为 1cm 的小圆盘(盘中娃娃脸), 他们的连接点为 A,E,打开电源,小圆盘沿着长方形内壁,从点 A 出发不停地滚动(无滑动),如图所示, 若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖,则能射中小圆盘运行区域内的概率为 . 16.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 6 ,且 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ,若 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,则

? 2017 2017 2017 ? ? ?? ? ? ?? a2 a2017 ? ? a1

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.(本题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? x2 ?1, g ? x ? ? a x ?1. (1)若关于 x 的方程 f ? x ? ? g ? x ? 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x ? R 时,不等式 f ? x ? ? G ? X ? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分) 函数 f ? x ? ? sin

??x ?? ? ? ??
?

?0, ? ?

??

? 的部分图像如图所示,将 2?

y ? f ?x ? 的图象向右平移

? 个单位长度后得到函数 y ? g ?x ? 的图象. 4

(1)求函数 y ? g ? x ? 的解析式; (2)在 ?ABC 中,角 A,B,C 满足 2sin
2

A? B ?? ? ? g ? C ? ? ? 1 ,且 2 3? ?

其外接圆的半径 R=2,求 ?ABC 的面积的最大值.

19.(本题满分 12 分)

?1? 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ?an ? ? ? ?2?

n ?1

? 2 ,n 为正整数.

(1)令 bn ? 2n an ,求证:数列 ?bn ? 为等差数列,并求出数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 cn ?

n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ,求 Tn . n

20.(本题满分 12 分)为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一 套住宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如下表:

-3-

从本市随机抽取了 10 户家庭,统计了同一个月的用水量,得到右边的茎叶图: (1)现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户,求取到第二阶梯水量的户数的分布列和数学期望; (2)用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况,从 全市依次随机抽取 10 户,若抽到 n 户月用水用量为第二阶梯水量的 可能性最大,求出 n 的值.

21. (本题满分 12 分) 如图, 在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC ? A1B1C1
? 中,侧面 A1 ACC1 ? 底面 ABC , ?A 1 AC ? 60 .

(1)求侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小; (2)已知点 D 满足 BD ? BA ? BC ,在直线 AA1 上是否存在点 P,使 DP//平面 AB1C ?若存在,请确 定点 P 的位置,若不存在,请说明理由.

??? ?

??? ? ??? ?

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ln x ? 在定义域内有两个不同的极值点. (1)求实数 a 的取值范围;

a 2 x ? x ? a ?a ? R? 2

(2)记两个极值点为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,已知 ? ? 0 ,若不等式 x ? x2? ? e1?? 恒成立,求 ? 的取值范 围.

一、选择题

1-12

DCACB

DBDDB

CA

-4-

二、填空题: 13.

14. -6480
2

15.

16.2016

三:解答题 17.解:(Ⅰ)方程|f(x)|=g(x),即|x ﹣1|=a|x﹣1|,变形得|x﹣1|(|x+1|﹣a)=0, 显然,x=1 已是该方程的根,从而欲使原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a 有且仅有一个等于 1 的解或 无解,∴a<0.????5 分 (Ⅱ)当 x∈R 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,即(x2﹣1)≥a|x﹣1|(*)对 x∈R 恒成立, ①当 x=1 时,(*)显然成立,此时 a∈R; ②当 x≠1 时,(*)可变形为 a≤ ,

令φ (x)=

=

因为当 x>1 时,φ (x)>2,当 x<1 时,φ (x)>﹣2,所以φ (x)>﹣2,故此时 a≤﹣2.

综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a≤﹣2.????10 分 18.(Ⅰ)由图知 ,解得





,即

由于

,因此

????????3 分

∴ ∴ 即函数 (Ⅱ)∵ ∴ ∵
-5-

的解析式为

??????6 分

,即

,所以

或 1(舍),

??8 分

由正弦定理得

,解得

由余弦定理得 ∴ ∴ ∴ 的面积最大值为 19.解:(I)在 .????????12 分 中,令 n=1,可得 ,即 , (当且仅当 a=b 等号成立)



时,



. 又 于是 数列 是首项和公差均为 1 的等差数列. .??6 分

(II)由(I)得

,所以

由①-②得

??12 分

20.解:(1)由茎叶图可知抽取的 10 户中用水量为一阶的有 2 户,二阶的有 6 户, 三阶的有 2 户。 第二阶梯水量的户数 X 的可能取值为 0,1,2,3
-6-

??????1 分



, 所以 X 的分布列为

X P

0

1

2

3

?????????5 分 EX= ???????????6 分

(2)设 Y 为从全市抽取的 10 户中用水量为二阶的家庭户数,依题意得 Y~

B

,

所以

,其中

??????8 分



???????10 分

若 若

,则 ,则

, ,

; 。

所以当

或 ,

可能最大,

所以 的取值为 6。??????12 分 21.解:(1)∵侧面 又 ∴ 故以 , 底面 ,作 于点 ,∴ 平面 .

,且各棱长都相等, , .?2 分 ,则

为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系

-7-

, ∴ 设平面 则 而侧棱 ∴侧棱 (2)∵ ∴ 假设存在点 ∵ ∴由 又 平面 与平面 与平面 ,



, , , ,解得

, .??4 分

的法向量为

.由 与平面

. 的法向量所成锐角的余角,

所成角,即是向量

所成角的正弦值的大小为 ,而 又∵ ,∴点 的坐标为

???????6 分

. ,∴ .

符合题意,则点 , ,得 ,故存在点

的坐标可设为 为平面 . ,使

的法向量, ?????10 分 ,其坐标为 ,

即恰好为

点.???12 分

22.解:(Ⅰ)由题意知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞),方程 f′(x)=0 在(0,+∞) 有两个不同根; 即方程 lnx﹣ax=0 在(0,+∞)有两个不同根; (解法一)转化为函数 y=lnx 与函数 y=ax 的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,

如右图.

可见,若令过原点且切于函数 y=lnx 图象的直线斜率为 k,只须 0<a<k. 令切点 A(x0,lnx0), 故 故 .??4 分
-8-

,又

,故

,解得,x0=e, 故



(解法二)转化为函数 又 ,

与函数 y=a 的图象在(0,+∞)上有两个不同交点.

即 0<x<e 时,g′(x)>0,x>e 时,g′(x)<0, 故 g(x)在(0,e)上单调增,在 (e,+∞)上单调减. 故 g(x)极大=g(e)= ; 又 g(x)有且只有一个零点是 1,且在 x→0 时,g(x)→﹣∞,在在 x→+∞时,g(x)→0,

故 g(x)的草图如右图,

可见,要想函数 只须 . ??4 分

与函数 y=a 的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,

(解法三)令 g(x)=lnx﹣ax,从而转化为函数 g(x)有两个不同零点, 而 (x>0),

若 a≤0,可见 g′(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,所以 g(x)在(0,+∞)单调增, 此时 g(x)不可能有两个不同零点. 若 a>0,在 所以 g(x)在 = 时,g′(x)>0,在 上单调增,在 , 时,g′(x)<0, 上单调减,从而

又因为在 x→0 时,g(x)→﹣∞,在在 x→+∞时,g(x)→﹣∞, 于是只须:g(x)极大>0,即 综上所述, (Ⅱ)因为 . ??4 分 等价于 1+λ <lnx1+λ lnx2. ,所以 .

由(Ⅰ)可知 x1,x2 分别是方程 lnx﹣ax=0 的两个根, 即 lnx1=ax1,lnx2=ax2 所以原式等价于 1+λ <ax1+λ ax2=a(x1+λ x2),因为λ >0,0<x1<x2,
-9-

所以原式等价于



又由 lnx1=ax1,lnx2=ax2 作差得,

,即



所以原式等价于



因为 0<x1<x2,原式恒成立,即

恒成立.



,t∈(0,1), 在 t∈(0,1)上恒成立. ??8 分 , = ,

则不等式 令 又

当λ 2≥1 时,可见 t∈(0,1)时,h′(t)>0, 所以 h(t)在 t∈(0,1)上单调增,又 h(1)=0,h(t)<0 在 t∈(0,1)恒成立,符 合题意. 当λ 2<1 时,可见 t∈(0,λ 2)时,h′(t)>0,t∈(λ 2,1)时 h′(t)<0, 所以 h(t)在 t∈(0,λ 2)时单调增,在 t∈(λ 2,1)时单调减,又 h(1)=0, 所以 h(t)在 t∈(0,1)上不能恒小于 0,不符合题意,舍去. 综上所述,若不等式 恒成立,只须λ 2≥1,又λ >0,所以λ ≥1. ?12 分

- 10 -



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