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《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式


高考调研

新课标版 · 高三数学(理)

第 2 课时 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

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2014?考纲下载
1.借助单位圆,理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+ sinα cos α=1,cosα=tanα,掌握已知一个角的三角函数值求其他三
2

角函数值的方法. π 2.借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(2± α,π±α 的正 弦、余弦、正切),经历并体验用诱导公式求三角函数值,感受 诱导公式的变化规律.
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请注意!

本课内容是高考热点之一,通常出现在选择或填空题中,复 习时应注意控制难度,如 2013· 广东 4 题,2013· 全 国 大 纲 等. 13 题

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1.同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 1 ( ) 平 方 关 系 :

sin2α+cos2α=1 .
sinα tanα=cosα .

2 ( ) 商 数 关 系 :

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2.角 的 对 称 相 关 角 的 终 边 α 与 π+α α 与 π-α α与 -α π α 与 2 -α 对 称 性 关 于 原点 对 称 关 于 y轴 对 称 关 于 x轴 对 称 关 于 y=x 对 称

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3.诱 导 公 式 n i s 2kπ+α -α π+α π-α π 2-α π 2+α c o s

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a n t

sinα
-sinα

cosα
cosα

tanα
-tanα

-sinα -cosα sinα cosα cosα

tanα

-cosα -tanα sinα -sinα

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1.(课本习题改编)s n 4 2 i 9 0 ° c o ( s 35 - 3 π)=________.

=________;

1 1 答案 -2 2

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2.2 ( 0 1 3 · 2 A.-5 1 C.5
答案 C

广东)已知 n ( i s

5π 1 o s α=( 2 +α)=5,那么 c 1 B.-5 2 D.5

)

解析 n ( i s

5π 2 [ i s π 2 +α)=n

π +(2+α)]=n ( i s

π 1 o s α=5. 2+α)=c

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3. c o s

2

600° 等于________.

1 答案 2 解析 c o s
2

600° =c o 1 s |2 0 ° |

1 1 =|-2|=2.

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4. 2 ( 0 1 3 · =________.
答案

大 纲 全 国

1 )已知 α 是第三象限角, n i s α=-3, 则c o t α

2 2
2

解析 由题意知 c o s α=- 1-n i s c o s α c o t α=n i s α =2 2.

α=-

1 2 2 1-9=- 3 .故

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5.已知 a n t θ=2,则 n i s 4 A.-3 3 C.-4
答案 D
2

2

θ+n i s θc o s θ-2 c o s 5 B.4 4 D.5

2

θ=(

)

解析 n i s a n t
2

θ +n i s θc o s θ-2 c o s

n i s 2 θ=

2

θ+n i s θc o s θ-2 c o s n i s 2θ+c o s 2θ

2

θ



θ+a n t θ-2 4+2-2 4 = =5. a n t 2θ+1 4+1
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例 1 化简: π 1 π n i s ?2π-α?c o s ?π+α?c o s ?2+α?c o s ? 2 -α? 1 ( ) . 9π c o s ?π-α?n i s ?3π-α?n i s ?-π-α?n i s ? 2 +α? ?-n i s α??-c o s α??-sinα??-n i s α? 【解析】 1 ( ) 原式= ?-c o s α? n i s · α n i s · αc o · s α

=-a n t α.
【答案】 -a n t α
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2 ( ) 若 k∈Z,化简: n [ i s
【解析】 1 . k为 偶 数 时 , 原 式 = 综 上 可 知 , 原 式 = -

n i s ?kπ-α?c o · s ?kπ+α? . ?k+1?π+α c o · [ s ] ?k+1?π-α]
n i s α· ? -c o s α? =- n i s αc o · s ?-α?

方法一:k 为 奇 数 时 , 原 式 =

n i s ?-α?c o · s α = -1 . -n i s α?-c o s α? 1 .

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方 法 二 : 原 式 =

n π [ i s

sin?kπ-α?c o · s ?kπ+α? +?kπ+α?c o ] π [ s +?kπ-α?]

n i s ?kπ-α?c o s ?kπ+α? = n i s ?kπ+α?c o s ?kπ-α? n 2 [ i s kπ-?kπ+α?c o ] s ?kπ+α? = n i s ?kπ+α?c o 2 [ · s kπ-?kπ+α?] -n i s ?kπ+α?c o s ?kπ+α? = = -1 . n i s ?kπ+α?c o s ?kπ+α?
【答案】 -1

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探究 1 熟练运用诱导公式是本题的关键.诱导公式除了正 面 用 于 化 简 外 , 还 应 掌 握 它 角之间的关系. 的 逆 向 应 用 , 从 角 的 形 式 上 分 析 出 两

思考题 1

已知 α 是第三象限角,且

n i s ?π-α?c o s ?2π-α?a n t ?α+π? f(α)= . a n t ?-α-π?n i s ?-α-π? 1 ( ) 若c o ( s 3π 1 α- 2 )=5,求 f(α)的值;

2 ( ) 若 α=-1 860° ,求 f(α)的值.
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【 解 析 】 1 c ( o ) ( s

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n i s αc o · s α a n t· α f(α)= = -c o s α. ?-a n t α? n i s · α 3 π 1 1 α- 2 )= -n i s α=5,∴n i s α=-5. ∴c o s α= - 12 2 6 1-?-5? = - 5 .

∵α 是 第 三 象 限 角 , 2 f(α)= -c o s α=5 6. 2 ( ) f(α)= -c o ( s -8 1 6 0 ) °

= -c o ( s

1 -6 0 ° ) = - 2.

2 1 【答案】 1 ( ) 5 6 2 ( ) -2
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1 例2 1 ( ) 已知 n i s α=3,且 α 为第二象限角,求 a n t α. 1 2 ( ) 已知 n i s α=3,求 a n t α. 3 ( ) 已知 n i s α=m(m≠0,m≠± 1 ) ,求 a n t α.

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【 解 析 】 ∴c o s α= -

1 1 ( ) ∵n i s α=3, 且 α是 第 二 象 限 角 , 1-n i s
2

α= -

12 2 2 1-?3? = - 3 .

n i s α 2 ∴a n t α=c - 4. o s α=

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1 2 ( ) ∵n i s α=3,∴α 是第一或第二象限角. 当 α 是第一象限角时, ∴c o s α= 1-n i s
2

α=

12 2 2 1-?3? = 3 .

n i s α 2 ∴a n t α=c o s α= 4 ; 2 当 α 是第二象限角时,a n t α=- 4 .

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3 ( ) ∵n i s α=m(m≠0,m≠± 1 ) , ∴c o s α=± 1-n i s
2

α=± 1-m2(当 α 为 第 一 、 四 象 限 角 时 取

正号,当 α 为第二、三象限角时取负号). m ∴当 α 为第一、四象限角时,a n t α= 2; 1-m m 当 α 为第二、三象限角时,a n t α=- 2. 1-m
2 【答案】 1 ( ) -4 2 ( ) 3 ( ) m m 2或 1-m 1-m2
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2 2 4 或- 4

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探究 2 本例属同角三角关系式中的基本题,关键是掌握住 “先开方,后作商”的原则,先求与 n i s α 的 平 方 关 系 相 联 系 的 c o s α,再由公式求 a n t α 3 2 ( ) . 方和符号. 中 α 的范围不确定,须讨论确定开

α 4 α 思考题 2 设 n i s 2=5,且 α 是第二象限角,求 a n t 2的值.

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【 解 析 】 ∵α 是 第 二 象 限 角 , n i s

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α ∴2 是 第 一 或 第 三 角 限 角 .


α 1 ( ) 当2 是 第 一 象 限 角 时 , 由

o s 2 +c



2=1,

α n i s 2 4 α 3 α 得c o s 2=5,∴a n t 2= α=3; c o s 2 α 2 ( ) 当2 是 第 三 象 限 角 时 , 与 α 4 综 上 , a n t 2=3. α 4 n i s 2 =5 矛 盾 , 舍 去 .

4 【答案】 3
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例3 已 知 α是 三 角 形 的 内 角 , 且 1 ( ) 求a n t α的 值 ; 1 2 ( ) 把 2 c o s α-n i s
【 思 路 】 c o s α的 值 . 2 1 ( ) =n i s
2

1 n i s α+c o s α=5.

2

α

用a n t α表 示 出 来 , 并 求 其 值 .
2

1 1 ( ) 由n i s α+c o s α=5及 n i s

α+c o s

2

α=1, 可 求 n i s α,

α+c o s

2

α, 分 子 、 分 母 同 除 以
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c o s

2

α即 可 .
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【 解 析 】 1 ( ) 方 法 一 : 联 立 方 程

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1 ? ?n i s α+c o s α=5, ① ? ? i s 2α+c o s 2α=1, ② ?n 1 由①得 c o s α=5-n i s α, 将 其 代 入 整 理 得 2 n 5 i s
2

②,

α-n 5 i s

α-1 2 =0 . ∴n i s α> 0 . 4 ∴a n t α=-3.
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∵α 是 三 角 形 内 角 , 4 ? i s α=5, ?n ∴? 3 ?c o s α= - 5, ?

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方 法 二 : 即 1+n 2 i s ∴n i s (

1 n i s α+c o s α=5,∴n i s ( 1 αc o s α=2 2 i s 5 ,∴n
2

12 α+c o s α) =(5) .
2

2 4 αc o s α=-2 5.

α-c o s α) =1-n 2 i s

2 4 4 9 αc o s α=1+2 5 =2 5.

12 ∵n i s αc o s α= -2 < α<π, 5 <0 且 0 ∴n i s α>0,c o s α<0,∴n i s α-c o s α> 0 .

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7 ∴n i s α-c o s α=5. 1 ? i s α+c o s α=5, ?n 由? 7 ?n i s α-c o s α=5, ? 4 ∴a n t α= - 3. 4 ? i s α=5, ?n 得? 3 ?c o s α= - 5. ?

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1 2 ( ) c o s 2α-n i s n i s
2

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n i s 2α+c o s 2 = α c o s 2α-n i s

2

α 2 α

α+c o s 2α a n t 2α+1 c o s 2α = 2 = , c o s α-n i s 2α 1-a n t 2α c o s 2α 4 ∵a n t α= - 3, 42 a n t 2α+1 ?-3? +1 1 2 5 ∴ 2 = = - 7. 42 = c o s α-n i s 2α 1-a n t 2α 1-?3? 4 25 【答案】 1 ( ) -3 (2)- 7
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2 2

探 究 3 1 ( ) 已 知 an i s x + bc o s x =c 可 与 n i s 求 得 n i s x,c o s x. n 2 i s ( ) n i s ( n i s ( n i s (

x+c o s

x=1 联 立 ,

x+c o s x、n i s x-c o s x、n i s xc o s x之 间 的 关 系 为 x+c o s x)2=1+n 2 i s x-c o s x)2=1-n 2 i s x+c o s x)2+n i s ( xc o s x, xc o s x,

x-c o s x)2=2 .

因 此 已 知 上 述 三 个 代 数 式 中 的 任 意 一 个 代 数 式 的 值 , 可 求 其 余 两 个 代 数 式 的 值 .

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1 思考题 3 1 ( ) 已知 θ 是三角形的内角,且 n i s θ+c o s θ=5, 求①n i s θ-c o s θ;②n i s
3

θ+c o s

3

θ.

4 3 7 【解析】 ①n i s θ-c o s θ=5+5=5. ②n i s
3

θ+c o s

3

43 3 3 37 θ=(5) +(-5) =125.

7 37 【答案】 ①5 ②125

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2 ( ) 已知 n 2 i s
【 解 析 】 因 而 求

1 π π θ=4,且4<θ<2,求 c o s θ-n i s θ 的值.
因 为c o ( s θ-n i s θ) =1-n 2 i s
2

θc o s θ=1-n 2 i s

3 θ=4,

c o s θ-n i s θ, 只 须 判 断

c o s θ-n i s θ的 符 号 .

π π ∴4<θ<2,∴c o s θ<n i s θ, 即 c o s θ-n i s θ<0 . ∴c o s θ-n i s θ= - 3 ?c o s θ-n i s θ? = - 2.
2

3 【答案】 - 2
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例4

已知 a n t α=3,求 n i s

2

α-n 3 i s

αc o s α+1 的值.

【 解 析 】
? i s ?n 由? ? i s ?n
2

方 法 一 :

∵a n t α=3 > 0 ,∴α 是 第 一 、 三 象 限 角 .

α+c o s 2α=1, α=3 c o s α,

3 ? i s α=1 0, ?n 0 1 得? 1 0 ?c o s α= 1 0 ?

(α 为 第 一 象 限 角

),

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3 ? i s α= -1 0, ?n 0 1 或? 1 0 ?c o s α= - 1 0 ? 3 ∴n i s αc o s α=1 0. ∴n i s
2

(α 为 第 三 象 限 角

).

α-n 3 i s

9 3 αc o s α+1=1 . 0 -3×1 0 +1=1

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方法二:∵a n t α=3,n i s ∴n i s a n t =
2

2

α+c o s
2

2

α=1,

α-n 3 i s

n i s αcosα+1=

α-n 3 i s αc o s α +1 n i s 2α+c o s 2α

α-a 3 n t α 32-3×3 +1= +1=1. 1+a n t 2α 1+32
1

2

【答案】

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探 究 4 这 是 一 组 在 已 知

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a n t α=m 的 条 件 下 , 求 关 于

n i s α、

c o s α 的 齐 次 式 的 问 题 , 解 这 类 问 题 有 两 个 方 法 , 一 是 直 接 求 出 n i s α和c o s α的 值 , 再 代 入 求 解 , 但 这 种 方 法 较 繁 琐 . 二 是 将 所 求 式 转 化 为 只 含 应 用 此 法 时 要 注 意 两 点 : 能 化 为 齐 次 式 a n t α的 代 数 式 , 再 代 入 求 解 , 这 是 常 用 的 解 法 . 但 ①一 定 是 关 于 n i s α和c o s α的 齐 次 式 c o s
n

(或 α(n∈

)的 三 角 函 数 式 ;

②因 为 c o s α≠0, 可 用

N)除 之 , 这 样 可 以 将 所 求 式 化 为 关 于 整 体 代 入 a n t α=m 的 值 进 行 求 解 .

a n t α 的 表 达 式 , 从 而 可 以

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思 考 题 n i s
2

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4 1 ( ) 2 ( 0 1 4 ·

沧 州 七 校 联 考 ) 2 B.-5 D.2

n i s α+ 3 c o s α )已 知 =5, 则 3 c o s α-n i s α

α-n i s αc o s α的 值 是 ( 2 A.5 C. -2

3 π (2 )已 知 α∈(π, 2 ),a n t α=2, 则 c o s α=_ _ _ _ _ _ _ _ .

【思路】 1 ( ) 先 根 据 已 知 条 件 得 a n t α表 示 的 式 子 求 解 ; 2 ( ) 切 化 弦 , 结 合 n i s
2

a n t α, 再 把 所 求 式 变 为 用

α+c o s

2

α=1 求解.
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【 解 析 】 即a n t α=2 . n i s 2 所 以 n i s α-n i s αc o s α=

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n i s α+3 c o s α a n t α+3 1 ( ) 由 =5, 得 =5, 3 c o s α-n i s α 3-a n t α α-n i s αc o s α a n t 2α-a n t α 2 = =5. n i s 2α+c o s 2α a n t 2α+1 c o s
2 2

2 ( ) 依 题 意 得

n i s α ? ?a n t α=c =2, o s α ? 由 此 解 得 ? i s 2α+c o s 2α=1, ?n 5 c o s α= - 5.

1 α=5.

3 π 又 α∈(π, 2 ), 因 此

【答案】 1 A ( )

5 2 ( ) -5
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1.a n t 2 4 0 ° 3 3 A.- 2 3 C. 2
答案 C

+n ( i s

-4 2 0 ° )

的值为( 3 B.- 2 3 3 D. 2

)

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2.已知 fc o ( s 1 A.2 3 C. 2
答案 D

x)=c o 2 s

x,则 fn 1 i s ( 5 ° ) 1 B.-2 3 D.- 2

的值等于(

)

解析 fn 1 i s ( 5 ° )

=fc o ( 7 s 5 ° )

=cos 1 5 0 °

3 =- 2 .故选 D.

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3.2 ( 0 1 2 · 1 A.5 1 C.3
答案 D

江西)若 a n t θ+a 2 i s n t θ=4,则 n 1 B.4 1 D.2

1

θ=(

)

n i s θ c o s θ 解析 ∵a n t θ+a n t θ=4,∴c o s θ+n i s θ =4. 1 n i s 2θ+c o s 2θ 2 ∴ c 2 i s o s θn i s θ =4,即si n 2 θ=4.∴n
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1 θ=2.
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4. 已 知 A. -0 2 1 4 C. - 0 2 1 4

c o ( s

π 1 α-6)+n i s α=0 , 则c o ( s 2 1 4 3 3 ×3 B.0 2 1 3 D. 0 2 1 4 3 3 ×3

2 π α+ 3 )的 值 为 (

)

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答案

C

解析 1 0 2 1 4 - 0 2 1 4 ,得 n ( i s

由 c o ( s

π 3 3 α-6)+n i s α= 2 c o s α+2n i s α= 3s n ( i 3 , 所 以 ×3 c o ( s 2 π α+ 3 )= -n ( i s

π α+6)= π α+6)=

π α+6)= 0 2 1 4 C.

3 , 故 选 ×3

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5.化简 n i s 答案 1

6

α+c o s

6

α+n 3 i s

2

αc o s

2

α 的结果是________.

解析 n i s n i s (
2

n i s

6

α+c o s α) + n 3 i s

6

α+n 3 i s
2

2 2

αc o s

2

α =n i s (
4

2

α+c o s
2

2 2

α n i s ( )

4

α- α=

αc o s
2

2

α+c o s
2

4

αc o s

α =n i s

α+n 2 i s

αc o s

α+c o s

4

α+c o s

α)2=1.

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π 福建)若 α∈(0,2),且 n i s

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6.2 ( 0 1 ·

2

α+c o 2 s

1 α=4,则 a n t α

的值等于________.
答案 3

解 析 3 -4,n i s
2

由 二 倍 角 公 式 可 得 3 α=4, 又 因 为

n i s

2

α+1-n 2 i s

2

1 α=4, 即 - n i s

2

α=

π 3 π α∈(0,2), 所 以 n i s α= 2 ,即 α=3,所

π 以a n t α=a n t 3= 3.
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