2016高考数学一轮复习 专题突破练5 理 新人教A版

专题突破练(五)
(教师用书独具)

[A 级 一、选择题

基础达标练]

1．若直线 ax＋by＝1 过点 M(cos α ，sin α )，则( A．a ＋b ≥1 1 1 C. 2＋ 2≤1
2 2

)

B．a ＋b ≤1 1 1 D． 2＋ 2≥1

2

2

a

b

a

b

[解析] 点 M(cos α ，sin α )在单位圆上，且点 M 在直线 ax＋by＝1 上， ∴ |a×0＋b×0－1| 2 2 2 2 ≤1? a ＋b ≥1? a ＋b ≥1. a2＋b2

[答案] A

x y 1 2 2．设椭圆 2＋ 2＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线 y ＝8x 的焦点相同，离心率为 ，则此椭 m n 2
圆的方程为( A. C. ) B． ＋ ＝1 16 12 D． ＋ ＝1 64 48
2 2

2

2

＋ ＝1 12 16 ＋ ＝1 48 64

x2 x2

y2 y2

x2 x2

y2 y2

2 1 x y 2 2 2 [解析] 依题意知： ＝ ，得 m＝4.由 n ＝m －2 ＝12，所以所求椭圆方程是 ＋ ＝ m 2 16 12 1. [答案] B 3．等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y ＝16x 的准线交于 A，B 两点，|AB|＝4 3，则 C 的实轴长为( A. 2 C．4 [解析] 设等轴双曲线 C： 2－ 2＝1. ∵抛物线 y ＝16x 的准线为 x＝－4， 联立 2－ 2＝1 和 x＝－4 得 A(－4， 16－a )， B(－ 4，－ 16－a )， ∴|AB|＝2 16－a ＝4 3， ∴a＝2，∴2a＝4.
1
2 2 2 2

) B．2 2 D．8

x2 y2 a a

x2 y2 a a

2

∴C 的实轴长为 4. [答案] C

x y → → → → 4．已知 P 为双曲线 C： － ＝1 上的点，点 M 满足|OM|＝1，且OM·PM＝0，则当|PM| 9 16
取得最小值时的点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为( A. 9 5 12 B． 5 D．5 )

2

2

C．4 → → [解析] 由OM·PM＝0，得 OM⊥PM， 则|OP| ＝|OM| ＋|PM| ＝1＋|PM| ，
2 2 2 2

→ 因此，若|PM|取得最小值，则|OP|有最小值． 于是应有点 P 为双曲线的顶点(－3,0)或(3,0)， 由双曲线 C： － ＝1，知渐近线为 4x±3y＝0. 9 16 |?±3?×4＋0| 12 ∴所求的距离 d＝ ＝ . 2 2 5 4 ＋3 [答案] B 5．从椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离 心率是( A. C. 2 4 2 2 ) 1 B． 2 D． 3 2

x2

y2

x2 y2 a b

c2? x2 y2 c2 y2 0 2 2? 1 － [解析] 由题意设 P(－c， y0)， 将 P(－c， y0)代入 2＋ 2＝1， 得 2＋ 2＝1， 则 y0＝b ? 2? a b a b ? a?
＝b ·
2

a2－c2 b4 ＝ 2. a2 a b2 a b2 a

∴y0＝ 或 y0＝－ (舍去)， ∴P?－c， ?，∴kOP＝－ . a

? ?

b2?

?

b2 ac

∵A(a,0)，B(0，b)，

b－0 b ∴kAB＝ ＝－ . 0－a a

2

又∵AB∥OP，∴kAB＝kOP， ∴－ ＝－ ，则 b＝c. 从而 a＝ 2c. 所以椭圆的离心率 e＝ ＝ [答案] C 二、填空题 6．过椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M， 与 y 轴的交点为 B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________． [解析] 由题意 A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为 y＝x＋a，

b a

b2 ac

c a

c
2c

＝

2 . 2

x2 y2 a b

? ? ∴B 点的坐标为(0，a)，故 M 点的坐标为?－ ， ?， ? 2 2?
a a
代入椭圆方程得 a ＝3b ，∴c ＝2b ，∴e＝ [答案] 6 3
2 2 2 2

6 . 3

x2 y2 7．已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是 y＝ 3x，它的一个焦点与 a b
抛物线 y ＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________． [解析] 由条件知双曲线的焦点为(4,0)，
2

a ＋b ＝16， ? ? 所以?b ＝ 3， ? ?a
解得 a＝2，b＝2 3， 故双曲线方程为 － ＝1. 4 12 [答案]

2

2

x2

y2

x2
4

－

y2
12

＝1

8．如图 5?4 所示是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m．水位 下降 1 m 后，水面宽________m.

3

图 5?4 [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为 x ＝－2py(p>0)，则 A(2， －2)．
2

将点 A(2，－2)坐标代入

x2＝－2py，得 p＝1.
于是 x ＝－2y. 当水面下降 1 m，得 D(x0，－3)，(x0>0)， 将其坐标代入 x ＝－2y 得 x0＝6， ∴x0＝ 6.∴水面宽|CD|＝2 6 m. [答案] 2 6 三、解答题 9．如图 5?5 所示，点 F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦 点， 过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P， 过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x＝ 于点 Q.
2 2 2

x2 y2 a b

a2 c

图 5?5 (1)如果点 Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆 C 的方程； (2)证明：直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点． [解] (1)由条件知，P?－c， ?，故直线 PF2 的斜率为 a

? ?

b2?

?

2ac 2ac 因为 PF2⊥F2Q，所以直线 F2Q 的方程为 y＝ 2 x－ 2 ，

2

b

b

4

? ? 故 Q? ，2a?. ?
由题设知， ＝4,2a＝4， 解得 a＝2，c＝1，b ＝3. 故椭圆方程为 ＋ ＝1. 4 3
2

a2 ?c

a2 c

x2 y2

a2 x－ c y－2a (2)证明：直线 PQ 的方程为 2 ＝ ， b a2 －2a －c－ a c
即 y＝ x＋a. 将上式代入 2＋ 2＝1 得 x ＋2cx＋c ＝0， 解得 x＝－c，y＝ . 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点． 10．(2014·山东高考改编)已知抛物线 C：y ＝2px(p>0)的焦点为 F，A 为 C 上异于原点 的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有|FA|＝|FD|. 当点 A 的横坐标为 3 时，△ADF 为正三角形． (1)求 C 的方程； (2)若直线 l1∥l，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E，试判断直线 AE 是否过定点？若过 定点，求出定点的坐标；否则请说明理由．
2

c a

x2 y2 a b

2

2

b2 a

? ? [解] (1)由题意知 F? ，0?. ?2 ?
p
设 D(t,0)(t>0)，则 FD 的中点为? 因为|FA|＝|FD|， 由抛物线的定义知 3＋ ＝?t－ ?， 2? 2 ? 解得 t＝3＋p 或 t＝－3(舍去)． 由

?p＋2t，0?. ? ? 4 ?

p ?

p?

p＋2t
4

＝3，解得 p＝2.
2

所以抛物线 C 的方程为 y ＝4x. (2)由(1)问，知 F(1,0)． 设 A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)． 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，
5

由 xD>0 得 xD＝x0＋2，故 D(x0＋2,0)． 故直线 AB 的斜率 kAB＝－ . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行， 设直线 l1 的方程为 y＝－ x＋b， 2 8 8b 2 代入抛物线方程得 y ＋ y－ ＝0，

y0

y0

y0

y0

64 32b 2 由题意 Δ ＝ 2 ＋ ＝0，得 b＝－ .

y0

y0

y0

4 4 设 E(xE，yE)，则 yE＝－ ，xE＝ 2.

y0

y0

＋y0 y0 yE－y0 4y0 ①当 y ≠4 时，kAE＝ ＝－ ， 2＝ 2 xE－x0 4 y0 y0－4 2－ y0 4
2 0

4

可得直线 AE 的方程为 y－y0＝ 由 y0＝4x0，整理得 y＝
2

4y0 (x－x0)． y2 0－4

4y0 (x－1)， y2 0－4

所以直线 AE 过定点 F(1,0)． ②当 y0＝4 时，直线 AE 的方程为 x＝1，过点 F(1,0)． 综合①，②知，直线 AE 恒过定点 F(1,0)．
2

[B 级

能力提升练]
2

1．(2014·四川高考)已知 F 为抛物线 y ＝x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴 → → 的两侧，OA·OB＝2(其中 O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A．2 C. 17 2 8 B．3 D． 10 )

[解析] 设直线 AB 的方程为 x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， → → ∵OA·OB＝2，∴x1x2＋y1y2＝2.

6

又 y1＝x1，y2＝x2， ∴y1y2＝－2. 联立?
?y ＝x， ? ? ?x＝ny＋m，
2

2

2

得 y －ny－m＝0，

2

∴y1y2＝－m＝－2， ∴m＝2，即点 M(2,0)． 1 1 又 S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝ |OM||y1|＋ |OM||y2|＝y1－y2， 2 2

S△AFO＝ |OF|·|y1|＝ y1，
1 ∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋ y1 8 9 2 ＝ y1＋ ≥2 8 y1 9 2 y1· ＝3， 8 y1

1 2

1 8

4 当且仅当 y1＝ 时，等号成立． 3 [答案] B 2．如图 5?6 所示，椭圆 ＋ 2＝1(b＞0)与过点 A(2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公 2 b 共点 T，则椭圆的离心率 e＝________.

x2 y2

图 5?6 [解析] 直线 AB 的方程为 ＋y＝1， 2

x

? ? 依题意? x ?2＋y＝1， ?

x2 y2 ＋ 2＝1， 2 b

有唯一解．

1 2 2 2 ∴(b ＋ )x －2x＋2－2b ＝0 有相等的实根， 2 1 2 2 2 ∴Δ ＝(－2) －4(b ＋ )(2－2b )＝0， 2 1 2 ∴b ＝ ， 2

7

3 6 2 2 2 从而 c ＝a －b ＝ ，c＝ ， 2 2

c 6 3 ∴e＝ ＝ ＝ . a 2 2 2
[答案] 3 2

x2 y2 ? 3? 3．如图 5?7 所示，已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F2(1,0)，点 A?1， ?在椭圆 a b ? 2?
上．

图 5?7 (1)求椭圆方程； (2)点 M(x0，y0)在圆 x ＋y ＝b 上，点 M 在第一象限，过点 M 作圆 x ＋y ＝b 的切线交 椭圆于 P、Q 两点，问|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说 明理由．
2 2 2 2 2 2

? 3? [解] (1)由右焦点为 F2(1,0)，可知 c＝1.设左焦点为 F1，则 F1(－1,0)，又点 A?1， ? ? 2?
在椭圆上，则 2a＝|AF1|＋|AF2|＝
2 2

?3?2 2 ?1＋1? ＋? ? ＋ ? 2?

?3?2 2 ?1－1? ＋? ? ＝4， ?2?
x2 y2

∴a＝2，b＝ a －c ＝ 3，即椭圆方程为 ＋ ＝1. 4 3 (2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 ＋ ＝1(|x1|≤2)， 4 3 |PF2| ＝(x1－1) ＋y1
2 2 2

x2 y2 1 1

? x1? 1 2 2 ＝(x1－1) ＋3?1－ ?＝ (x1－4) ， ? 4? 4
1 1 ∴|PF2|＝ (4－x1)＝2－ x1. 2 2 连结 OM，OP，由相切条件知： 1 2 ? x1? 2 2 2 2 2 2 |PM| ＝|OP| －|OM| ＝x1＋y1－3＝x1＋3?1－ ?－3＝ x1，显然 x1>0， 4 4 ? ? 1 x1 x1 ∴|PM|＝ x1.∴|PF2|＋|PM|＝2－ ＋ ＝2. 2 2 2
2

2

8

同理|QF2|＋|QM|＝2－ ＋ ＝2. 2 2 ∴|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝2＋2＝4 为定值．

x2 x2

9