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2016年专项练习题集-演绎推理的意义


2016 年专项练习题集-演绎推理的意义

1、 “所有 3 的倍数都是 9 的倍数,某奇数是 3 的倍数,故此奇数是 9 的倍数” ,上述推理是 ( ) A.小前提错 B.结论错 C.正确的 D.大前提错 【分值】5 【答案】D 【考查方向】本题主要考查了演绎推理三段论的一般模式。 【易错点】不熟悉演绎推理三段论中的相关术语。 【解题思路】正确分清演绎推理三段论中的大前提、小前提和结论。 【解析】大前提“所有 3 的倍数都是的 9 倍数”是错误,比如 3 的倍数 6 就不是 9 的倍 数。

2、 已知数列 {an } 、{bn } 的通项公式分别为 an ? an ? 1,bn ? bn ? 2 ,a , b 是常数且 a ? b , 那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 【分值】5 【答案】A 【考查方向】本题主要考查了演绎推理的简单应用,及作差法比较大小。 【易错点】 对两个数列中序号与数值均相同的项的不当理解, 或者不能转化为一个差式。 【解题思路】两个数列通项相减,比较大小。 【解析】∵ a ? b, n ? N ,∴ an ? bn ,从而 an ? 1 ? bn ? 2 恒成立,即 an ? bn 恒成立, 所以不存在 n 使得 an ? bn 。
?



3、已知函数 f ( x) ? log 1 x , a, b ? (0, ??) , A ? f (
2

a?b 2ab ), B ? f ( ab ), C ? f ( ), 2 a?b

则 A, B, C 的大小关系是( A. A ? B ? C B. A ? C ? B C. B ? C ? A D. C ? B ? A 【分值】5 【答案】A



【考查方向】 本题主要考查了演绎推理的简单应用, 及对数函数的单调性及均值不等式。 【易错点】

a?b 2ab , ab , 三式不能正确排序。 2 a?b

【解题思路】先判断函数的单调性,再利用均值不等式对 确排序。

a?b 2ab , ab , 三式进行正 2 a?b

【解析】函数 f ( x) ? log 1 x 在 (0, ??) 上是单调递减函数, 又

2 a?b 2ab a?b 2ab ? ab ? ) ? f ( ab ) ? f ( ) ,即 A ? B ? C ,∴ f ( 2 a?b 2 a?b

4、已知函数 f ( x) ? sin x ? f '( ) cos x ,则 f ( ) 的值为(

?

?

4

4



A.1 B. ?1 C. 2 D. ? 2 【分值】5 【答案】B 【考查方向】本题主要考查了基本函数的导数和导数的运算法则。 【易错点】对 f '( ) 的认识不到位,没有先求 f '( ) 的值。

?

?

4

4

【解题思路】先求出函数 f ( x ) 的导数,再计算 f '( ) 的值,并代入 f ( x ) 的解析式,最 后求出 f ( ) 的值。

?

?

4

4

【解析】 f '( x) ? cos x ? f '( ) sin x ,

?

4

则 f '( ) ?

?

4

? 2 ? 2 ? f '( ) ? ,得 f '( ) ? 1 ? 2 4 2 4 2

? 2 2 ? (1 ? 2) ? ?1 f ( x) ? sin x ? (1 ? 2)cos x ,所以 f ( ) ? 4 2 2

5、已知 0 ? m ? 1 ,函数 f ( x) ? ? x2 ? (4 ? 2m) x ? 2 ? m .记 | f ( x) | 在 [?1,1] 上的最大值 为 g ( m) ,则 g ( m) 的最小值为( A.2 B.3 C.4 D.5 【分值】5 【答案】C 【考查方向】本题主要考查了演绎推理的综合应用,及绝对值二次函数在闭区间上的最 值。 【易错点】没有注意到对称轴和区间的关系判断。 【解题思路】先判断函数的对称轴与区间的关系,在判断端点函数值得绝对值大小。 【解析】∵ 对称轴为 x ? )

4 ? 2m ? 1, 2

因为 | f ( x) | 的重大值必定在端点处取到,所以

g (m) ? max{| f (?1) |,| f (1) |} ? max{| 3m ? 3 |,| 5 ? m |} ? max{3 ? 3m,5 ? m}
又∵ (5 ? m) ? (3 ? 3m) ? 2 ? 2m ? 0 ∴ g (m) ? 5 ? m ? 4 . 故选 C

6、对于 x ? [0,1] 的一切值, a ? 2b ? 0 是使 ax ? b ? 0 恒成立的_____________条件。 【分值】3 【答案】必要不充分条件 【考查方向】本题主要考查了充分和必要条件,结合不等式考查了特殊与一般之间的推 断判别。 【易错点】没有对 a ? 2b ? 0 的化归。 【解题思路】对 a ? 2b ? 0 进行转化,判断 a ? 2b ? 0 与 ax ? b ? 0 的特殊与一般关系。 【解析】把 a ? 2b ? 0 转化为

1 1 a ? b ? 0 ,即当 x ? 时不等式成立, 2 2

这仅仅只是 ax ? b ? 0 ( x ? [0,1]) 恒成立的特殊情况,显然答案为必要不充分条件。 7、已知 f ( x) ?

?

e x ? cos x, 0 ? x ? 1 则 f (2016) ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 1

【分值】3 【答案】2018 【考查方向】本题是一个简单的演绎推理题目,主要考查了分段函数与函数自迭代求函 数值。 【易错点】函数自迭代 f ( x ? 1) ? 1 少加了 1, , 【解题思路】先将 2016 代入 f ( x ? 1) ? 1 ,直到 x ? 1 小于 1 为止。 【解析】 f (2016) ? f (2015) ? 1 ? f (2014) ? 2 ? f (2013) ? 3

? ? ? f (0) ? 2016 ? 2018

x2 y2 8、设 P 是双曲线 - 2 ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 , F1 , F2 分 b 9 别是双曲线的左、右焦点,若 | PF2 |? 4 ,则 | PF1 |? _____
【分值】3 【答案】10 【考查方向】本题是一个演绎推理简单应用,主要考查了双曲线的方程和几何性质。 【易错点】参数 b ? 2 求错。 【解题思路】先根据渐近线方程求出 a ,然后利用双曲线的定义求解。 【解析】 :由渐近线方程 y ?

2 x ,且 b ? 2 ,由于 | PF2 |? 4 ,根据据定义有 3

| PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 6 ,所以 | PF1 |? 10

9 、 已 知 ?ABC 满 足 , ?A ?

?
3

, ( AB ? AC) ? BC ? 0 , 点 M 在 ?ABC 外 , 且

??? ? ??? ? ??? ?

MB ? 2MC ? 2 ,求 MA 的取值范围。
【分值】10 【答案】 1 ? MA ? 3 【考查方向】本题是一个综合性,多角度演绎推理题,主要考查了解决平面向量、解三 角形的处理方法,综合考查了观察、推理、分析和运算能力。 【易错点】找不到解决问题的切入点。 【解题思路】此题方法多样,可以建立坐标系函数法解,可以利用正余弦定理解三角形, 可以通过复数运算解决,还可以利用几何旋转直接解题。 【解析】由已知条件知△ABC 是等边三角形。 方法一、构造函数法 如题建立坐标系,设 BC ? 2a ,则 1 ? 2a ? 3
y A

B(a,0), C(?a,0), A(0, 3a) ,设 M ( x, y) ,
O C M B x

MB2 ? ( x ? a)2 ? y 2 ? 4, MC 2 ? ( x ? a)2 ? y 2 ? 1 3 两式相减得: x ? ? 4a 5 9 5 9 y2 ? ? ( ? a2 ) , y ? ? ?( ? a2 ) 2 2 2 16a 2 16a
情况一:

MA2 ?

9 5 9 5 3 ? ( 3a ? ?( ? a 2 )) 2 ? 2a 2 ? ? ?16a 4 ? 40a 2 ? 9 2 2 16a 2 16a 2 2

5 3 ? 2a 2 ? ? (4a 2 ? 1)(9 ? 4a 2 ) 2 2 1 2 2 令 4a ? 1 ? t , 0 ? t ? 8 , MA ? (t ? 6 ? 3 ? t (8 ? t )) 2 [(t ? 4)2 ? t (8 ? t )] ? (1? 3) ? (t ? 4 ? 3 ? t (8 ? t ))2 1 2 即 t ? 4 ? 3 ? t (8 ? t ) ? 8 ,那么 MA ? (t ? 6 ? 3 ? t (8 ? t )) ? 9 2 当且仅当 t ? 6 时取等号。
情况二:

9 5 9 5 3 ? ( 3a ? ?( ? a 2 ))2 ? 2a 2 ? ? (4a 2 ? 1)(9 ? 4a 2 ) 2 2 16a 2 16a 2 2 1 2 2 令 4a ? 1 ? t , 0 ? t ? 8 , MA ? (t ? 6 ? 3 ? t (8 ? t )) 2 2 [(4 ? t ) ? t (8 ? t )] ? (1? 3) ? (4 ? t ? 3 ? t (8 ? t ))2 MA2 ?

4 ? t ? 3 ? t (8 ? t ) ? 8 , t ? 4 ? 3 ? t (8 ? t ) ? ?8 1 MA2 ? (t ? 6 ? 3 ? t (8 ? t )) ? 1 ,当且仅当 t ? 2 时取等号 2
所以 1 ? MA ? 3

方法二、解三角形法 设 ?BCM ? ? , ?BMC ? ? , BC ? a ,则

a sin ? ? 2sin ? ,sin ? ? 2sin(? ? ? )
可得 1 ? 2cos ? ? a cos ? 又有余弦定理 cos ? ?

2 a 1 ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? )

sin ? ? 2sin ? cos ? ? 2cos ? sin ? ? 2sin ? cos ? ? a cos ? sin ?

a2 ? 1 ? 4 a2 ? 3 ? 2a 2a

A

情况一:如图 M 和 A 在 BC 同侧

| MA |2 ? a2 ? 1 ? 2a cos(? ? 60? ) ? 5 ? 4cos(? ? 60? ) ? 1
情况二:如图 M 和 A 在 BC 异侧

B M

C

| MA |2 ? a2 ? 1 ? 2a cos(? ? 60? ) ? 5 ? 4sin(? ? 60? ) ? 9
所以 1 ? MA ? 3

A M B C

方法三、复数运算法 如图建立复平面,则 C (1, 0) , 设 B(2cos ? , 2sin ? ) , 复数 ZCB ? 2cos? ?1 ? 2sin ? ? i

1 3 ZCA ? ( ? i )(2cos ? ? 1 ? 2sin ? ? i) 2 2 1 3 ? cos ? ? 3 sin ? ? ? (sin ? ? 3 cos ? ? )?i 2 2 Z MA ? ZCA ? 1

y B A x M C

1 3 ? cos ? ? 3 sin ? ? ? (sin ? ? 3 cos ? ? ) ? i 2 2 ? 2 | | Z MA | ? 5 ? (2 3 sin ? ? 2 cos ? ) ? 5 ? 4sin(? ? ) | 6 2 1 ?| ZMA | ? 9 ,所以 1 ? MA ? 3

A
四、几何旋转法 如图,以 C 为旋转中心,作 M 绕 C 逆时针旋转 60 度到 D, 点 A 可以看作 B 绕 C 旋转 60 度,那么△MCB≌△DCA,在△MDA 中,MD=1,AD=2,所以 1≤MA≤3。 不难看出,点 A 的轨迹是以 D 为圆心,半径为 2 的圆。 10、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,满足 Sn ? n2 ? 4n ? 2 ,数列

B

M

C

D

{bn } 满足 b2 ? 2, bn?1 ? 2bn (n ? N ? )
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; 【分值】6 【答案】 an ? ?

n ?1 ??1 n , bn ? 2 ? 2n ? 5 n ? 2

【考查方向】本题主要考查了已知数列的的前 n 项和求通项,等比数列的定义和通项。 【易错点】已知数列的的前 n 项和求通项时没有讨论。 【解题思路】根据 Sn ? n2 ? 4n ? 2 求数列 {an } 的通项,根据 b2 ? 2, bn?1 ? 2bn 求数列

{bn } 的通项公式。

【解析】 an ? ?

n ?1 ?S1 ? ?1 。 ?Sn ? Sn?1 ? 2n ? 5 n ? 2

因为 bn?1 ? 2bn ,可知 {bn } 是以公比为 2 的等比数列,所以 bn ? 2n

(2)记数列 {cn } 满足 cn ? ? 【分值】6

?an ?bn

n为偶数 n为奇数

,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn 。

? 2n ?1 ? 2 n(n ? 3) ? (n为偶数) ? ? 3 2 【答案】 Tn ? ? n?2 ? 2 ? 2 ? (n ? 1)(n ? 4) (n为奇数数) ? 2 ? 3
【考查方向】本题主要考查了等差数列等比数列的的前 n 项,以及分段数列的求和。 【易错点】对 n 奇偶讨论的处理。 【解题思路】先求出 n 是偶数时 Tn ,当 n 是奇数时将 Tn 写成 Tn?1 ? bn 【解析】 n 是偶数时

Tn ? b1 ? a2 ? b3 ? a4 ? ? ? an ? b1 ? b3 ? ? ? bn ?1 ? a2 ? a4 ? ? ? an 2(1 ? 4 2 ) ?1 ? 2n ? 5 n 2n ?1 ? 2 n( n ? 3) ? ? ? ? ? 1? 4 2 2 3 2
n

n 是奇数时
Tn ? Tn ?1 ? bn ? 2n ? 2 (n ? 1)(n ? 4) 2n ? 2 ? 2 (n ? 1)(n ? 4) ? ? 2n ? ? 3 2 3 2 n ?1 ? 2 ? 2 n(n ? 3) ? (n为偶数) ? ? 3 2 所以 Tn ? ? n ? 2 ? 2 ? 2 ? (n ? 1)(n ? 4) (n为奇数数) ? 2 ? 3


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