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辽宁省葫芦岛市第一高级中学等五校2015-2016学年高二数学6月联考试题理(新)


2015--2016 学年度下学期省五校高二 6 月考试 数学(理)试题
全卷满分 150 分 时间 120 分钟 说明:本试卷由第Ⅰ 卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题,一律答在答题卡上;第Ⅱ卷为主观题,按要求答在试卷相 应位置上。 第 I 卷 选择题(满分 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?x | log3 x ? 0? , B ? ?x | x ? 1} ,则 ( A. A ? B ? ? B. A ? B ? R C. B ? A 2.若复数 z 满足 zi = 1 + 2i,则 z 的共轭复数是 A. 2 ? i B. 2 ? i C. ? 2 ? i D. ?2 ? i ) D. A ? B ( )

2 3.已知命题 p : “ m ? 1” ,命题 q : “直线 mx ? y ? 0 与直线 x ? m y ? 0 互相垂直” ,则命题 p 是

命 题 q 的( A.充分不必要条件

) B.必要不充分条 件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

? ? ? ? ? ? ? ? 4.若平面向量 a, b 满足 a ? 2b ? 2 3, ?1 , b ? 2a ? ? 3, ?1 ,则 a 与 b 的夹角是(

?

?

?

?



A.

5? 6

B.

2? 3

C.

? 6

D.

? 3
( )

5.已知 ?an ? 为等差数列,且 a6 ? 4 ,则 a4 a7 的最大值为

A.8 B.10 C.18 D.36 6.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送来米 1536 石, 验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 224 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约( ) A.134 石 B.169 石 C. 192 石 D.338

?x ? y ?1 ? 0 ? 7.已知实数 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值 ?x ? 0 ?
为( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 8.程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是( ) A.2 B.-

1 2

C.-3

D.

1 3

?? ?? ? 9.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? ,其中 0 ? ? ? 2? ,若 f ? x ? ? f ? ? ? 对 x∈R 恒成立,且 f ? 2 ? ? f ?? ? ,则 ? 等 ? ? ?6?
于( A. )

? 6

B.

5? 6

C.

7? 6

D.

11? 6
?

10.一个直棱柱的三视图如图所示,其中俯视图是一个顶角为 120 的
2 2
3

等腰三角形,则该直三棱柱外接球的表面积为(


1 2 主视图 2 侧视图 1 2 俯视图

A.20 ?

B.

20 5 ? 3
2

C. 25?
2

D.25 5?

11.已知直线 y ? 1 ? x 与双曲线 ax ? by ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的渐近线 交于 A, B 两点,且过原点和线段 AB 中点的直线的斜率为 ?

3 a ,则 的值( b 2
D. ?



A. ?

2 3 27

B. ?

3 2

C. ?

9 3 2

2 3 3

?2 x , 0 ? x ? 1 1 12.函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? 则方程 f ? x ? ? 在 ? -3,5? 上的所有 ?1 x ? f ? x ? 1? , x ? 1 ?2
实根之和为( A.0 ) B.2 C.4 D.6 第二卷 非选择题(满分 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 ? x ? a ? ( x ? 1) 3 的展开式中, x 的系数为 1,则 a ? __________.
2
4

14.已知等比数列{ an }为递增数列 , a1 ? ?2 ,且 3( an + an+2 )=10 an+1 ,则公比 q=__________. 15.已知抛物线 y ? 4 x 与经过该抛物线焦点的直线 l 在第一象限的交点为 A, A 在 y 轴和准线上的投影
2

分别为点 B, C ,

AB BC

? 2 ,则直线 l 的斜率为

.

16.已知函数 f ? x ? ? ln x ? 值范围是____________.

f ? x ? ? f ? x2 ? b ? ?1 ,则实数 b 的取 ? b ? 0 ? ,对任意 x1, x2 ??1, 2?, x1 ? x2 ,都有 1 x ?1 x1 ? x2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分 ) b, c ,且满足 sin(2 A ? B) ? 2sin A ? 2cos( A ? B)sin A 已知 △ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a , (Ⅰ)求
a 的值; b

(Ⅱ)若 ?ABC 的面积为

3 ,且 a ? 1,求 c 的值. 2

18.(本小题满分 12 分) 某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查,下表是在某单位得到的数据(人数) : (Ⅰ)能否有 90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关? (Ⅱ)进一步调查: 赞同 反对 合计 ①从赞同“男女延迟退休”16 人中选出 3 人进行陈述 男 5 6 11 发言,求事件“男士和女士各至少有 1 人 发言”的概率; 女 11 3 14 ②从反对“男女延迟退休”的 9 人中选出 3 人进行座 合计 16 9 25
2

谈,设参加调查的女士人数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 附:

19.(本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体中,EF⊥平面 AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3, AE =BE=2,G 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:BD⊥EG: (Ⅱ)求平面 DEG 与平面 D EF 所成锐二面角的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知 A 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? 上的一个动点, 弦 AB, AC 分别过左右焦点 F1, F2 , 且当线段 AF1 的中点 a2 b2

在 y 轴上时, cos?F1 AF2 ? (Ⅰ)求该椭圆的离心率;

1 . 3

? ? ?2 是否为定值?若是定值,求出该定值,并给出证明;若不是定 (Ⅱ)设 AF 1 ? ?1 F 1B, AF 2 ? ?2 F2C ,试判断 1
值,请说明理由. 21. 已知函数 f ? x ? ? ln ? ax ? ?

x?a ? a ? 0? . x

(Ⅰ)求此函数的单调区间及最值; (Ⅱ)求证:对于任意正整数 n ,均有 1+

en 1 1 1 + ?+ ≥ ln (e 为自然对数的底数) . 2 3 n n!

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1: 几何证明选讲. 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B , C 两点,弦 CD // AP , AD, BC 相交于点

E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC .
(Ⅰ)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.
第 22 题图

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程

在直角坐标系 xoy 中,直线 l 经过点 P?? 1,0 ? ,其倾斜角为 ? ,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与 直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 6? cos? ? 1 ? 0 .
2

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程,若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 ? 的取值范围; (Ⅱ)设 M ? x, y ? 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式 选讲
3

已知函数 f ?x ? = 2x ? a ? 2x ? 3 , g ?x? ? x ?1 ? 2 (Ⅰ)解不等式 | g ?x ? |? 5 ; (Ⅱ)若对任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ? x1 ? = g ? x2 ? 成立,求实数 a 的取值范围.

2015--2016 学年度五校联考 题 号 答 案 1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 C 7 D 8 A 9 C 10 A 11 B 12 C 高二数学(理)答案 一.选择题答案:每小题 5 分,共 60 分

二.填空题:每小题 5 分,共 20 分 13.2 14.

1 3

15. 2 2

16. ?

? 27 ? , ?? ? ? 2 ?

三.解答题 17.解:解析: (Ⅰ)∵ sin(2 A ? B) ? 2sin A ? 2cos( A ? B)sin A , ∴ sin[ A ? ( A ? B)] ? 2sin A ? 2cos( A ? B)sin A , ∴ sin( A ? B) cos A ? cos( A ? B)sin A ? 2sin A ,∴ sin B ? 2 sin A ,-------------4 分 由正弦定理得 b ? 2 a ,∴
a 1 ? .----------------6 分 b 2
1 1 3 ab sin C ? ? 1 ? 2 ? sin C ? , 2 2 2

(Ⅱ)∵ a ? 1,∴ b ? 2 , S△ABC ? 所以 sin C ? 当 cos C ? ∴ cos C ?

3 1 , cos C ? ? ,----------------------------8 分 2 2

1 时, 2

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? 4 ? c 2 1 ? ? ,∴ c ? 3 .--------------------------------10 分 2ab 4 2 1 当 cos C ? ? 时, 2
∴ cos C ? 故c ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? 4 ? c 2 1 ? ? ? ,∴ c ? 2ab 4 2

7.

3 或 c ? 7 ----------------------------------------12 分
2

18. 解: (1) K ?

25 ? (5 ? 3 ? 6 ?11)2 ? 2.932 ? 2.706 16 ? 9 ?11?14

由此可知,有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关 ??????????3分 (2) ①记题设事件为 A ,则所求概率为 P( A) ?

C51C112 ? C52C111 11 ? ?????????.7分 C163 16
4

C3k C63?k ②根据题意,X服从超几何分布, P( X ? k ) ? , k ? 0,1, 2,3 ??????8分 C93
X的分布列为: X P 0 1 2 3

5 21

15 28

3 14

1 84
------------------------ --------

--------------10分-

5 15 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 ??????12分 21 28 14 84 19. (1)证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB ∴ EF ? AE , EF ? BE 又 AE ? BE ∴ BE , EF , AE 两两垂直.以点 E 为坐标原点, EB , EF , EA 分别为 x, y , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 由已知得, A(0, 0, 2) , B(2, 0, 0) , C (2, 4, 0) , F (0,3, 0) , D(0, 2, 2) , G(2, 2, 0) ??? ? ??? ? ∴ EG ? (2, 2,0) , BD ? (?2, 2, 2) ??? ? ??? ? z ∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ∴ BD ? EG ?????????.6 分 ??? ? (2)解:由已知得 EB ? (2,0,0) 是平面 DEF 的法向量.-----------------------------7 分 ? ??? ? ??? ? 设平面 DEG 的法向量为 n ? ( x, y, z) .∵ ED ? (0, 2, 2) , EG ? (2, 2,0) ???? ? ? ? ?y ? z ? 0 ? EG ?n ? 0 ∴ ? ??? ,即 ? ,令 x ? 1 ,得 n ? (1, ?1,1) ---------------9 分 ? ? ?x ? y ? 0 ? ? ED ?n ? 0 y 设平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的大小为 ? ? ??? ? n?EB ? ??? ? 2 3 x 则 cos ? ? cos n, EB ? ? ??? ---------------------11 分 ? ? ? 3 n ?EB 2 3
X的数学期望为 E ? X ? ? 0 ? ∴平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的余弦值为

3 ????????????12 分 3

20.解: (Ⅰ)当线段 AF1 的中点在 y 轴上时, AC 垂直于 轴, ?AF1 F2 为直角三角形. 因为 cos ?F1 AF2 ?

1 b2 AF ? ,所以 AF , 易知 ,由椭圆的定义 AF ? 3 AF 2 1 2 1 ? AF 2 ? 2a . 3 a

.????????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆方程为 x ? 2 y ? 2b 焦点坐标为 F 1 ? ?b,0? , F 2 ? b,0? ????????6 分
2 2 2

(1)当 AB、AC 的斜率都存在时,设 A? x0 , y0 ? , B ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? , 则直线 的方程为 y ?

y0 ? x ? b ? ,代入椭圆方程得 x0 ? b
2 2 0

2 b2 y0 ? 3b ? 2bx0 ? y ? 2by0 ? x0 ? b ? y ? b y ? 0 .? y0 y2 ? ? 3b2 ? 2bx . ------------------------8 分 0
2 2

5

又 ?2 ?

???? ? AF2 F2C

?

3b ? 2 x0 y0 3b ? 2 x0 . ? ?1 ? ?2 ? 6 .??10 分 ? .同理 ?1 ? b ? y2 b 3b ? 2b ? 5 ,这时 ?1 ? ?2 ? 6 . b

(2)若 AC ? x 轴,则 ?2 ? 1, ?1 ?

若 AB ? x 轴,则 ?1 ? 1, ?2 ? 5 这时也有 ?1 ? ?2 ? 6 .------------------ ------------------11 分 综上所述, ?1 ? ?2 是定值 6.???? ????12 分 21.(1)解:由题意 f ?( x) ?

x?a .???????????2 分 x2 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) , 此时函数在 (0, a ) 上是减函数,在 ( a, ??) 上是增函数,

fmin ( x) ? f (a) ? ln a2 ,无最大值.??????????????????4 分 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的定义域为 (??,0) , 此时函数在 ( ??, a ) 上是减函数,在 ( a, 0) 上是增函数, fmin ( x) ? f (a) ? ln a2 ,无最大值.??????????????????6 分 x ?1 ? f (1) ? 0 , (2)取 a ? 1 ,由⑴知 f ( x) ? ln x ? x 1 e 故 ? 1 ? ln x ? ln , ??????????????????????10 分 x x 1 1 1 en 取 x ? 1, 2,3?, n , 则 1 ? ? ? ? ? ? ln .???????????12 分 2 3 n n!
22.解: (Ⅰ)∵ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∽ ∽ ,∴ , ∴ ,∴ , ∴ , ????????2 分 , ????4 分 .????????5 分 ∴ EC ?

EA EP ? , ∴ EF ED

,∴

(Ⅱ)∵ DE 2 ? EF ? EC, DE ? 3, EF ? 2 , 由(1)可知: ∴ BP ? EP ? EB ? ∴ PA ?
2

9 2

,∵



,解得 EP ?

27 .????????7 分 4

15 . ∵ 4

是⊙

的切线,∴

15 3 15 ? 27 9 ? .????????10 分 ? ? ? ? ,解得 PA ? 4 4 ? 4 2?
2

23.解: (1)∵曲线 C 的极坐标方程为 ρ ﹣6ρ cosθ +1=0,∴曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 6 x ?1 ? 0 .
2 2

∵直线 l 经过点 P(﹣1,0) ,其倾斜角为 α ,∴直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t cos ? (t 为参数) , ? y ? t sin ?
6

将?

? x ? ?1 ? t cos ? 2 ,代入 x2 ? y 2 ? 6 x ?1 ? 0 ,整理,得 t ﹣8tcosα +8=0,???3 分 ? y ? t sin ?
2

∵直线 l 与曲线 C 有公共点,∴△=64cos α ﹣32≥ 0,即 cos ? ?

2 2 或 cos ? ? ? , 2 2

∵α ∈[0,π ) ,∴α 的取值范围是 ?0, ? ? ? , ? ? . ???5 分 ? 4? ? 4 ? (2)曲线 C 的直角坐标方程 x2 ? y 2 ? 6 x ?1 ? 0 可化为(x﹣3) +y =8,
2 2

? ??

? 3?

?

其参数方程为

, (θ 为参数) , ???7 分

∵M(x,y)为曲线 C 上任意一点,∴ x ? y ? 3 ? 2 2 cos ? ? 2 2 sin ? ? 3 ? 4sin ? ? ? ∴ x ? y 的取值范围是[﹣1,7].???10 分 24.解:(1)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ?1 ? 2 ? 5 ,? x ? 1 ? 3 所以原不等式的解集为 x ? 2 ? x ? 4 (2)因为对任意 所以 所以 ,都有

? ?

??
? 4?

,解得 ?2 ? x ? 4 .

?

?

???5 分 ,使得 = 成立 , ???10 分

,又 从而

7


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