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17-18版 第8章 热点探究课5 平面解析几何中的高考热点问题


热点探究课(五) 平面解析几何中的高 考热点问题 [命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容,每年高考必考一道解答 题,常以求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性 问题为主. 这些试题的命制有一个共同的特点, 就是起点低, 但在第(2)问或第(3) 问中一般都伴有较为复杂的运算,对考生解决问题的能力要求较高,通常作为压 轴题的形式出现. 热点 1 圆锥曲线的标准方程与性质 圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位.一般地,求圆锥曲线的 标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题, 最常用的方法是 定义法与待定系数法.离心率是高考对圆锥曲线考查的另一重点,涉及 a,b,c 三者之间的关系.另外抛物线的准线,双曲线的渐近线也是命题的热点. x2 y2 (2017· 石家庄质检)如图 1,椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别 为 F1,F2,过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ⊥PF1. 图1 (1)若|PF1|=2+ 2,|PF2|=2- 2,求椭圆的标准方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e. 【导学号:31222329】 [解] (1)由椭圆的定义, 2a=|PF1|+|PF2|=(2+ 2)+(2- 2)=4,故 a=2. 设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF1⊥PF2, 因此 2c=|F1F2|= |PF1|2+|PF2|2 = ?2+ 2?2+?2- 2?2=2 3.3 分 1 即 c= 3,从而 b= a2-c2=1, x2 2 故所求椭圆的标准方程为 4 +y =1.5 分 (2)连接 F1Q,如图,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a, |QF1|+|QF2|=2a, 又|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|=(2a-|PF1|)+(2a-|QF1|), 可得|QF1|=4a-2|PF1|. ① 又因为 PF1⊥PQ 且|PF1|=|PQ|, 所以|QF1|= 2|PF1|. ②8 分 由①②可得|PF1|=(4-2 2)a, 从而|PF2|=2a-|PF1|=(2 2-2)a. 由 PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即(4-2 2)2a2+(2 2-2)2a2=4c2,10 分 c2 可得(9-6 2)a2=c2,即a2=9-6 2, c 因此 e=a= 9-6 2= 6- 3.12 分 [规律方法] 1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法,同时应注意 数形结合思想的应用. 2.圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度,只需明确 a,b,c 中任意两量 的关系都可求出离心率,但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制. 2 [对点训练 1] 已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 2 ,它 的一个顶点为抛物线 x2=4y 的焦点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线 y=x-1 与抛物线相切于点 A, 求以 A 为圆心且与抛物线的准线相 切的圆的方程. 2 [解] (1)椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上. x2 y2 设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0), 因为抛物线 x2=4y 的焦点为(0,1), 所以 b=1.2 分 c 2 由离心率 e=a= 2 ,a2=b2+c2=1+c2, x2 从而得 a= 2,所以椭圆的标准方程为 2 +y2=1.5 分 2 ?x =4y, ?x=2, (2)由? 解得? 所以点 A(2,1).8 分 ?y=x-1, ?y=1, 因


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