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选修2-2第一章1.2导数的计算学案(三节课)


导数的计算学案(一)
2 教学目标:1.四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ?

1 x

的导数公式;

2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.
2 教学重点:四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ?

1 x

的导数公式及应用
1 x

2 教学难点: 四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ?

的导数公式

教学过程: 一.创设情景 我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时 刻的瞬时速度.那么,对于函数 y ? f ( x ) ,如何求它的导数呢? 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求 导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的 导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数. 二.新课讲授 1.函数 y ? f ( x ) ? c 的导数 根据导数定义,因为
?y ?x ? f (x ? ?x) ? f (x) ?x ? c?c ?x ? 0 所以 y ? ? lim ?y ?x ? lim 0 ? 0
?x? 0

?x? 0

函数
y ?c

导数
y? ? 0

y ? ? 0 表示函数 y ? c 图像(图 3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为 0.若 y ? c 表示路程关于

时间的函数,则 y ? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即物体一直处于静止状态. 2.函数 y ? f ( x ) ? x 的导数 因为
?y ?x ? f (x ? ?x) ? f (x) ?x ? x ? ?x ? x ?x ? 1 所以 y ? ? lim ?y ?x ? lim 1 ? 1
?x? 0

?x? 0

函数
y ? x

导数
y? ? 1

y ? ? 1 表示函数 y ? x 图像(图 3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为 1.若 y ? x 表示路程关于

时间的函数,则 y ? ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动.

3.函数 y ? f ( x ) ? x 的导数
2

因为

?y ?x

?

f (x ? ?x) ? f (x) ?x
?y ?x

?

(x ? ?x) ? x
2

2

?x

?

x ? 2 x?x ? (?x) ? x
2 2

2

?x

? 2 x ? ?x

所以 y ? ? lim

?x? 0

? lim ( 2 x ? ? x ) ? 2 x
?x? 0

函数
y ? x
2

导数
y? ? 2 x

y ? ? 2 x 表示函数 y ? x 图像(图 3.2-3)上点 ( x , y ) 处的切线的斜率都为 2 x ,说明随着 x 的
2

变化, 切线的斜率也在变化. 另一方面, 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看, 表明: x ? 0 当 时,随着 x 的增加,函数 y ? x 减少得越来越慢;当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x 增
2 2

加得越来越快.若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? 2 x 可以解释为某物体做变速运动,
2

它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x . 4.函数 y ? f ( x ) ?
1 x
1 ?y ?x f (x ? ?x) ? f (x) ?x ? 1
1 x ? x ? (x ? ?x) ? ? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x

的导数

因为

?

? x ? ?x ?x

所以 y ? ? lim

?y ?x

?x? 0

? lim ( ?
?x? 0

1 x ? x ? ?x
2

)? ?

1 x
2

函数
y ? 1 x

导数
y? ? ? 1 x
2

n * n ?1 (2)推广:若 y ? f ( x ) ? x ( n ? Q ) ,则 f ? ( x ) ? n x

练习 求函数 y ?
x 的导数

导数的计算(二) 教学目标:1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的四则运算法则; 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 教学重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点:基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程: 一.创设情景
2 让学生回顾四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ?

1 x

的导数公式及应用

二.新课讲授 (一)基本初等函数的导数公式表 函数
y ?c

导数
y ? 0
' *

y ? f ( x) ? x (n ? Q )
n

y ? nx
' '

n ?1

y ? sin x
y ? cos x

y ? co s x y ? ? sin x
'

y ? f (x) ? a y ? f (x) ? e

x

y ? a ? ln a ( a ? 0 )
' x

x

y ?e
'

x

(二)导数的运算法则 导数运算法则 1. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ( x ) ? g ( x )
' ' '

2. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ( x )
' ' '

? f (x) ? f (x)g (x) ? f (x)g (x) ( g ( x) ? 0) 3. ? ? ? 2 ? g (x) ? ? g ( x)?
' '

'

推论: ? cf ( x ) ? ? cf ( x ) (常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
' '

三.典例分析

例 1.假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5 % ,物价 p (单位:元)与时间 t (单位: 年)有如下函数关系 p ( t ) ? p 0 (1 ? 5 % ) ,其中 p 0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商品的 p 0 ? 1 ,
t

那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)?

例 2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y ? x ? 2 x ? 3
3

(2)y =

1 1? x

?

1 1? x

; (3)y =x · sin x · ln x;

(4)y =

x 4
x

(5)y =

1 ? ln x 1 ? ln x

(6)y =(2 x -5 x +1)e

2

x

(7) y =

sin x ? x cos x cos x ? x sin x

例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已 知将 1 吨水净化到纯净度为 x % 时所需费用(单位:元)为
c(x) ? 5284 100 ? x (8 0 ? x ? 1 0 0 )

求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) 9 0 %

(2) 9 8 %

课堂练习:已知曲线 C:y =3 x -2 x -9 x +4,求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程; (y =-12 x +8)

4

3

2

导数的计算(三) 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则. 教学重点 复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数 乘以中间变量对自变量的导数之积. 教学难点 正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确. 一.创设情景 回顾基本初等函数的导数公式表及导数的运算法则 二.新课讲授 复合函数的概念 一般地,对于两个函数 y ? f ( u ) 和 u ? g ( x ) ,如果通过变量 u , y 可以表

示成 x 的函数,那么称这个函数为函数 y ? f ( u ) 和 u ? g ( x ) 的复合函数,记作 y ? f ? g ( x ) ? 。 复合函数的导数 复合函数 y ? f ? g ( x ) ? 的导数和函数 y ? f ( u ) 和 u ? g ( x ) 的导数间的关系

为 y x ? ? y u ? ? u x ? ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 若 y ? f ? g ( x ) ? ,则 y ? ? ? f ? g ( x ) ? ? ? ? f ? ? g ( x ) ? ? g ?( x ) ? ? 三.典例分析 2 例 1 求 y =sin(tan x )的导数.

例2求y =

x?a x ? 2 ax
2

的导数.

例 3 求 y =sin x +cos x 的导数.

4

4

例 4 曲线 y =x(x +1) (2-x)有两条平行于直线 y =x 的切线,求此二切线之间的距离.

四.课堂练习 1.求下列函数的导数 (1) y =sinx +sin 3x;
3 3

(2) y ?

sin 2 x 2x ?1

;

(3) log a ( x ? 2 )
2

2.求 ln( 2 x ? 3 x ? 1) 的导数
2



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