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等比数列的概念


旧知回顾
名称 概念 等差数列

从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d)

常数 通项 通项

an ? a1 ? (n ? 1)d
a n ? a k ? (n ? k ) d
(n, k ? N )
*

变形

“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”

如果能将一张纸对折38次,我就能 顺着它在今天晚上爬上月球。

以上两个实例所包含的数学问题:

1 1 1 1 (1) 1 , , , , ,… 4 2 16 8
(2)
1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,…

出门望堤
今有出门, 隄有九木, 枝有九巢, 禽有九雏, 毛有九色, 望见九隄, 木有九枝, 巢有九禽, 雏有九毛, 问各几何?

——《孙子算经》

等比数列概念
等比数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的



同一个常数,那么这个数列就叫做 等比数列 ,这个常数叫做等比数列的公比(q)。
一项的 等于



等差数列
?

一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的 一项的

2



差 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等 差数列 ,这个常数叫做等差数列的公差(d)。

观察并判断下列数列是否是等比数列:

( 1 ) lg 3, lg 6, lg12 (2)2 , 2,1, 2 , 2 (3)1,1,1,1,1
(4 ) (5)
2 ?1 ?2

不是等比数列
1 是,公比 q= 2

是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列

1,-1,1,-1,1,… 2, 0, 0, 0, 0, …
2 3 4

(6) 1, x , x , x , x ,

( x ? 0)

是,公比 q= x

对概念的理解 an?1 ? q(是与n无关的数或式子 , 且q ? 0) an
1. 各项不能为零,即
2. 公比不能为零,即

an ? 0

q?0

3. 当q>0,各项与首项同号
当q<0,各项符号正负相间

4. 数列 a, a , a , …

a?0

时,既是等差数列 又是等比数列;

a ? 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.

等差数列通项公式的推导:
方法一:(叠加法)

a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d … … an?1 ? an?2 ? d

an ? an?1 ? d

?

an ? an?1 ? d
a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d

方法二:(归纳法)

(n-1)个 式子

? (a1 ? d ) ? d

? a1 ? 2d

a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d

? a1 ? 3d

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1 ? (n ? 1)d

… …

an ? q ?n ? 2? an ?1 等比数列通项公式的推导:
方法一:叠乘法

a2 ?q a1

a3 ?q a2 a4 ?q a3

an ?q an ?1

… …

?

方法二:归纳法

a2 ? a1q

(n-1)个 式子

a3 ? a2 q ? (a1q)q 2 ? a1q
a4 ? a3q ? (a1q )q
2

? a1q

3

… …
n ?1

an n ?1 ?q a1

an ? a1q

等比数列的通项公式
等比数列 a n ,首项为 a1,公比为q,则通项公式为
当q=1时,这是 一个常函数。

? ?

an ? 0

an ? a1 ? q

n ?1

如果一碗面由256根面条组 成,请问需要拉面师傅拉几 次才能得到?

变形结论:
在等差数列 ?a n ? 中

an ? am ? (n ? m)d
(n, m ? N * )
试问:在等比数列 ?an ? 中,如果知道 am 和公 比q,能否求 an ?如果能,请写出表达式。

an ? amq

n ?m

(n, m ? N )
*

等比中项的定义 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 等比数列,那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下,由等比数列的定义可得

G b ? 即 a G 2 G ? ab ? G ? ? ab

思考:

a ? an?1an?1 (n ? 2)
2 n

求出下列等比数列未知项
? ? ? ?

(1)

1,( 8/-8 ) , 64

(2)
(3) (4)

( 1/2 ) , 2, 8
2, 4 , ( 8 ) -9 , 16 , 27

-1, ( 3 ) ,

典型例题
例 一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的第1项与第2项.
解:设这个等比数列的第 1 项是 那么 2

a

a q ? 12 a q ? 18
1 3 1

1

, 公比是 q ,

解得, 因此

3 q? 2
2 1

16 , a ? 3
1

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3

16 3 a ? aq ? ? ?8 3 2

?思考:
是否存在数列既是等差数列又是等比数列?

回顾小结
等比数列 名称 概念 等差数列

从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 等比中项

从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 等差中项

参数 性质 通项

公比q可正可负不可为零

公差d可正可负,可以为零

an ? a1 ? q n? k an ? akq

n ?1

an ? a1 ? (n ? 1)d
a n ? a k ? (n ? k ) d
(n, k ? N )
*

通项

(n, k ? N )
*

变形


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