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2013年黑龙江省龙东地区中考数学试卷及答案(Word解析版)


黑龙江省龙东地区 2013 年中考数学试卷
一、填空题(每题 3 分,共 30 分) 1. 分) (3 (2013?黑龙江)“大美大爱”的龙江人勤劳智慧,2012 年全省粮食总产量达到 1152 亿斤, 夺得全国粮食总产第一,广袤的黑土地正成为保障国家粮食安全的大粮仓,1152 亿斤用科学记数法 11 表示为 1.152×10 斤. 考点:科学记数法—表示较大的数. 分析:科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原 数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 11 解答:解:将 1152 亿用科学记数法表示为 1.152×10 . 11 故答案为:1.152×10 . 点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

2. 分) (3 (2013?黑龙江)在函数

中,自变量 x 的取值范围是 x≥﹣1 且 x≠0 .

考点:函数自变量的取值范围;分式有意义的条件;二次根式有意义的条件. 分析:本题主要考查自变量的取值范围,函数关系中主要有二次根式和分式两部分.根据二次根式 的意义,被开方数 x+1≥0,根据分式有意义的条件,x≠0.就可以求出自变量 x 的取值范围. 解答:解:根据题意得:x+1≥0 且 x≠0 解得:x≥﹣1 且 x≠0. 故答案为:x≥﹣1 且 x≠0 点评:函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数. 3. 分) (3 (2013?黑龙江)如图所示,平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,试添加一 个条件: AD=DC ,使得平行四边形 ABCD 为菱形.

考点:平行四边形的判定;平行四边形的性质. 专题:开放型. 分析:根据菱形的定义得出答案即可. 解答:解:∵ 邻边相等的平行四边形是菱形, ∴ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,试添加一个条件:可以为:AD=DC; 故答案为:AD=DC. 点评:此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质,根据菱形的定义得出是解题关键.
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4. 分) (3 (2013?黑龙江)风华中学七年级(2)班的“精英小组”有男生 4 人,女生 3 人,若选出一 人担任班长,则组长是男生的概率为 .

考点:概率公式. 分析:由风华中学七年级(2)班的“精英小组”有男生 4 人,女生 3 人,直接利用概率公式求解即可 求得答案. 解答:解:∵ 风华中学七年级(2)班的“精英小组”有男生 4 人,女生 3 人, ∴ 选出一人担任班长,则组长是男生的为: 故答案为: . 点评:此题考查了概率公式的应用.注意概率=所求情况数与总情况数之比. 5. 分) (3 (2013?黑龙江)若 x=1 是关于 x 的一元二次方程 x +3mx+n=0 的解,则 6m+2n= ﹣2 . 考点:一元二次方程的解. 分析:先把 x=1 代入 x2+3mx+n=0,得到 3m+n=﹣1,再把要求的式子进行整理,然后代入即可. 2 解答:解:把 x=1 代入 x +3mx+n=0 得: 1+3m+n=0, 3m+n=﹣1, 则 6m+2n=2(3m+n)=2×(﹣1)=﹣2; 故答案为:﹣2. 点评:此题考查了一元二次方程的解,解题的关键是把 x 的值代入,得到一个关于 m,n 的方程, 不要求 m.n 的值,要以整体的形式出现. 6. 分) (3 (2013?黑龙江)二次函数 y=﹣2(x﹣5) +3 的顶点坐标是 (5,3) . 考点:二次函数的性质 2 分析:因为顶点式 y=a(x﹣h)2+k,其顶点坐标是(h,k) ,对照求二次函数 y=﹣2(x﹣5) +3 的 顶点坐标. 2 解答:解:∵ 二次函数 y=﹣2(x﹣5) +3 是顶点式, ∴ 顶点坐标为(5,3) . 故答案为: (5,3) . 点评:此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标,此题型是中考中考查重点,同学们应熟练 掌握. 7. 分) (3 (2013?黑龙江)将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,这个圆锥的高为 2 cm.
2 2

= .

考点:圆锥的计算. 分析:根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长,即可求得圆锥的底面半径,底面半径、母线长以及圆 锥高满足勾股定理,据此即可求得圆锥的高. 解答:解:设圆锥底面的半径是 r,则 2πr=4π,则 r=2.
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则圆锥的高是:

=2

cm.

故答案是:2 . 点评:本题考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的 关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长. 8. 分) (3 (2013?黑龙江)李明组织大学同学一起去看电影《致青春》 ,票价每张 60 元,20 张以上 (不含 20 张)打八折,他们一共花了 1200 元,他们共买了 20 或 25 张电影票. 考点:一元一次方程的应用. 专题:分类讨论. 分析:本题分票价每张 60 元和票价每张 60 元的八折两种情况讨论,根据数量=总价÷单价,列式计 算即可求解. 解答:解:① 1200÷60=20(张) ; ② 1200÷(60×0.8) 1200÷48 =25(张) . 答:他们共买了 20 或 25 张电影票. 故答案为:20 或 25. 点评:考查了销售问题,注意分类思想的实际运用,同时熟练掌握数量,总价和单价之间的关系. . 9. 分) (3 (2013?黑龙江)梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AB=3,CD=8,点 E 是对角线 AC 上一点,连 接 DE 并延长交直线 AB 于点 F,若 =2,则 = 或 .

考点:相似三角形的判定与性质;梯形. 专题:分类讨论. 分析:根据已知分别根据 F 在线段 AB 上后在 AB 的延长线上,进而利用平行线的分线段成比例定 理得出 的值.

解答:解:如图 1: ∵ AB=3, =2,

∴ AF=2,BF=1, ∵ CD, AB∥ ∴AEF∽CED, △ △ ∴ = ,

∴ = = ; 如图 2: ∵ AB=3, =2,

∴ AF=6,BF=3,
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∵ CD, AB∥ ∴AEF∽CED, △ △ ∴ = ,

∴ = = . 故答案为: 或 .

点评:此题主要考查了相似三角形的判定与性质,根据已知进行分类讨论得出两种不同图形是解题 关键. 10. 分) (3 (2013?黑龙江)已知等边三角形 ABC 的边长是 2,以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角 形,得到第一个等边三角形 AB1C1,再以等边三角形 AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边作等边三角 形,得到第二个等边三角形 AB2C2,再以等边三角形 AB2C2 的边 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三 角形,得到第三个等边 AB3C3;…,如此下去,这样得到的第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 ( )
n



考点:等边三角形的性质 专题:规律型. 分析:由 AB1 为边长为 2 等边三角形 ABC 的高,利用三线合一得到 B1 为 BC 的中点,求出 BB1 的 长,利用勾股定理求出 AB1 的长,进而求出第一个等边三角形 AB1C1 的面积,同理求出第二 个等边三角形 AB2C2 的面积,依此类推,得到第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积. 解答:解:∵ 等边三角形 ABC 的边长为 2,AB1⊥ BC, ∴ 1=1,AB=2, BB 根据勾股定理得:AB1= , ∴ 第一个等边三角形 AB1C1 的面积为 ∵ 等边三角形 AB1C1 的边长为 ×( )=
2

( );

1

,AB2⊥ 1C1, B

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∴ 1B2= B

,AB1=



根据勾股定理得:AB2= , ∴ 第二个等边三角形 AB2C2 的面积为 ×( ) =
2

( ); ( ).
n

2

依此类推,第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 故答案为: ( )
n

点评:此题考查了等边三角形的性质,属于规律型试题,熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关 键. 二、选择题(每题 3 分,满分 30 分) 11. 分) (3 (2013?黑龙江)下列运算中,计算正确的是( ) 3 2 5 2 2 4 A.(x ) =x B.x +x =2x C. ﹣1 (﹣2) =﹣

D.(a﹣b)2=a2﹣b2

考点:完全平方公式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;负整数指数幂. 分析:A、利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断; B、合并同类项得到结果,即可做出判断; C、利用负指数幂法则计算得到结果,即可做出判断; D、利用完全平方公式展开得到结果,即可做出判断. 3 2 6 解答:解:A、 ) =x ,本选项错误; (x B、x +x =2x ,本选项错误; C、 (﹣2) =﹣ ,本选项正确; D、 (a﹣b) =a ﹣2ab+b ,本选项错误, 故选 C 点评:此题考查了完全平方公式,合并同类项,以及负指数幂,幂的乘方,熟练掌握公式及法则是 解本题的关键. 12. 分) (3 (2013?黑龙江)下列汽车标志中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A. B. C. D. )
2 2 2
﹣1

2

2

2

考点:中心对称图形;轴对称图形. 分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 解答:解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误; B、既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;
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D、是中心对称图形,也是轴对称图形,故本选项正确. 故选 D. 点评:本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识,关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概 念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对 称中心,图形旋转 180°后与原图重合. 13. 分) (3 (2013?黑龙江)由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示, 则组成这个几何体的小正方体的个数最多有( )

A.4

B.5

C.6

D.7

考点:由三视图判断几何体. 分析:易得这个几何体共有 2 层,由俯视图可得第一层小正方体的个数,由主视图可得第二层小正 方体的最多个数,相加即可. 解答:解:由俯视图易得最底层有 4 个小正方体,第二层最多有 2 个小正方体,那么搭成这个几何 体的小正方体最多为 4+2=6 个. 故选 C. 点评:考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力, 同时也体现了对空间想象能力方面的考查. 如 果掌握口诀“俯视图打地基,主视图疯狂盖,左视图拆违章”就更容易得到答案.
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14. 分) (3 (2013?黑龙江)下表是我市某中学九年级(1)班右眼视力的检查结果: 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 视力 4.0 2 5 4 3 6 1 1 5 9 6 人数 1 根据表中提供的信息,这 43 名同学右眼视力的众数和中位数分别是( A.4.9,4.6 B.4.9,4.7 C.4.9,4.65 ) D.5.0,4.65

考点:众数;中位数. 分析:根据众数及中位数的定义,结合所给数据即可得出答案. 解答:解:视力为 4.9 的学生人数最多,故众数为 4.9; 共 43 为学生,中位数落在第 22 为学生处,故中位数为 4.6. 故选 A. 点评:本题考查了众数及中位数的知识,属于基础题,解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义.

15. 分) (3 (2013?黑龙江)如图,爸爸从家(点 O)出发,沿着扇形 AOB 上 OA→

→BO 的路径

去匀速散步,设爸爸距家(点 O)的距离为 S,散步的时间为 t,则下列图形中能大致刻画 S 与 t 之 间函数关系的图象是( )

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A.

B.

C.

D.

考点:函数的图象. 分析:根据当爸爸在半径 AO 上运动时,离出发点距离越来越远;在弧 BA 上运动时,距离不变; 在 BO 上运动时,越来越近,即可得出答案. 解答:解:利用图象可得出: 当爸爸在半径 AO 上运动时,离出发点距离越来越远; 在弧 AB 上运动时,距离不变; 在 OB 上运动时,越来越近. 故选:C.

点评:此题考查了函数随自变量的变化而变化的问题,能够结合图形正确分析距离 y 与时间 x 之间 的大小变化关系,从而正确选择对应的图象.

16. 分) (3 (2013?黑龙江)已知关于 x 的分式方程 A.a≤﹣1 B.a≤﹣1 且 a≠﹣2

=1 的解是非正数,则 a 的取值范围是( D.a≤1



C.a≤1 且 a≠﹣2

考点:分式方程的解. 分析:先解关于 x 的分式方程,求得 x 的值,然后再依据“解是非正数”建立不等式求 a 的取值范围. 解答:解:去分母,得 a+2=x+1, 解得,x=a+1, ∵ 且 x+1≠0, x≤0 ∴ a+1≤0 且 a+1≠﹣1, ∴ a≤﹣1 且 a≠﹣2, ∴ a≤﹣1 且 a≠﹣2. 故选 B. 点评:本题考查了分式方程的解,解一元一次不等式,需注意在任何时候都要考虑分母不为 0,这 也是本题最容易出错的地方. 17. 分) (3 (2013?黑龙江) 如图, ABC 内接于⊙ AB=BC,∠ △ O, ABC=120°,AD 为⊙ 的直径, O AD=6, 那么 AB 的值为( )

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A.3

B.2

C.3

D.2

考点:圆周角定理;含 30 度角的直角三角形;圆心角、弧、弦的关系. 分析:首先根据 AB=BC,∠ ABC=120°,求出∠ 的度数,然后根据圆周角定理可知:∠ C,又直 C D=∠ 径 AD=6,易求得 AB 的长度. 解答:解:∵ AB=BC, ∴BAC=∠ ∠ C, ∵ABC=120°, ∠ ∴BAC=∠ ∠ C=30°, ∵ 为直径,AD=6, AD ∴ABD=90°, ∠ ∵D=30°, ∠ ∴ AB= AD=3. 故选 A. 点评:本题考查了圆周角定理,难度一般,关键是掌握圆周角定理:同弧所对的圆周角相等.

18. 分) (3 (2013?黑龙江)如图,Rt△ ABC 的顶点 A 在双曲线 y= 的图象上,直角边 BC 在 x 轴上, ∠ ABC=90°,∠ ACB=30°,OC=4,连接 OA,∠ ACO=60°,则 k 的值是( )

A.4

B.﹣4

C.2

D.﹣2

考点:反比例函数综合题. 分析:根据三角形外角性质得∠ OAC=∠ AOB﹣∠ ACB=30°,易得 OA=OC=4,然后再 Rt△ AOB 中利用 含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OB= OC=2,AB= (﹣2,2 OB=2 ,则可确定 C 点坐标为

) ,最后把 C 点坐标代入反比例函数解析式 y= 中即可得到 k 的值.

解答:解:∵ACB=30°,∠ ∠ ACO=60°,
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∴OAC=∠ ∠ AOB﹣∠ ACB=30°, ∴OAC=∠ ∠ ACO, ∴ OA=OC=4, 在△ AOB 中,∠ ABC=90°,∠ AOB=60°,OA=4, ∴OAB=30°, ∠ ∴ OB= OC=2, ∴ AB= OB=2 , ∴ 点坐标为(﹣2,2 C 把 C(﹣2,2

) , =﹣4 .

)代入 y= 得 k=﹣2×2

故选 B. 点评:本题考查了反比例函数的综合题:掌握反比例函数图象上点的坐标特征;熟练运用含 30 度的 直角三角形三边的关系进行几何计算. 19. 分) (3 (2013?黑龙江)今年校团委举办了“中国梦,我的梦”歌咏比赛,张老师为鼓励同学们, 带了 50 元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品.已知甲种笔记本每本 7 元,乙种笔记本每本 5 元, 每种笔记本至少买 3 本,则张老师购买笔记本的方案共有( ) A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 考点:二元一次方程的应用. 分析:设甲种笔记本购买了 x 本,乙种笔记本 y 本,就可以得出 7x+5y≤50,x≥3,y≥3,根据解不定 方程的方法求出其解即可. 解答:解:设甲种笔记本购买了 x 本,乙种笔记本 y 本,由题意,得 7x+5y≤50, ∵ x≥3,y≥3, ∴ x=3,y=3 时, 当 7×3+5×3=36<50, 当 x=3,y=4 时, 7×3+5×4=41<50, 当 x=3,y=5 时, 7×3+5×5=46<50, 当 x=3,y=6 时, 7×3+5×6=51>50 舍去, 当 x=4,y=3 时, 7×4+5×3=43<50, 当 x=4,y=4 时, 7×4+5×4=4<50, 当 x=4,y=5 时, 7×4+5×5=53>50 舍去, 当 x=5,y=3 时, 7×5+5×3=50=50, 综上所述,共有 6 种购买方案. 故选 D.
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点评:本题考查了列二元一次不等式解实际问题的运用,分类讨论思想在解实际问题中的运用,解 答时根据条件建立不等式是关键,合理运用分类是难点. 20. 分) (3 (2013?黑龙江)如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ BCD=90°,∠ ABC=45°,AD=CD, CE 平分∠ ACB 交 AB 于点 E, BC 上截取 BF=AE, 在 连接 AF 交 CE 于点 G, 连接 DG 交 AC 于点 H, 过点 A 作 AN⊥ BC, 垂足为 N, 交 CE 于点 M. AN 则下列结论; CM=AF; CE⊥ ① ② AF; △ ③ABF∽DAH; △ ④ 平分∠ GD AGC,其中正确的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;直角梯形. 分析:如解答图所示: 结论① 正确:证明△ ACM≌ABF 即可; △ 结论② 正确:由△ ACM≌ABF 得∠ 4,进而得∠ 6=90°,即 CE⊥ △ 2=∠ 4+∠ AF; 结论③ 正确:证法一:利用四点共圆;证法二:利用三角形全等; 结论④ 正确:证法一:利用四点共圆;证法二:利用三角形全等. 解答:解: (1)结论① 正确.理由如下: ∵1=∠ ∠ 2,∠ CMN=90°,∠ 6=90°, 1+∠ 2+∠ ∴6=∠ ∠ CMN,又∵5=∠ ∠ CMN, ∴5=∠ ∠ 6, ∴ AM=AE=BF. 易知 ADCN 为正方形,△ ABC 为等腰直角三角形,∴ AB=AC. 在△ ACM 与△ ABF 中, , ∴ACM≌ABF(SAS) △ △ , ∴ CM=AF; (2)结论② 正确.理由如下: ∵ACM≌ABF,∴2=∠ △ △ ∠ 4, ∵2+∠ ∠ 6=90°,∴4+∠ ∠ 6=90°, ∴ AF; CE⊥ (3)结论③ 正确.理由如下: 证法一:∵ AF,∴ADC+∠ CE⊥ ∠ AGC=180°,∴ A、D、C、G 四点共圆, ∴7=∠ ∠ 2,∵2=∠ ∠ 4, ∴7=∠ ∠ 4,又∵DAH=∠ ∠ B=45°,
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∴ABF∽DAH; △ △ 证法二:∵ AF,∠ 2, CE⊥ 1=∠ ∴ACF 为等腰三角形,AC=CF,点 G 为 AF 中点. △ 在 Rt△ ANF 中,点 G 为斜边 AF 中点, ∴ NG=AG,∴MNG=∠ ∠ ∠ 3,∴DAG=∠ CNG. 在△ ADG 与△ NCG 中, , ∴ADG≌NCG(SAS) △ △ , ∴7=∠ ∠ 1,又∵1=∠ 4, ∠ 2=∠ ∴7=∠ ∠ 4,又∵DAH=∠ ∠ B=45°, ∴ABF∽DAH; △ △ (4)结论④ 正确.理由如下: 证法一:∵ A、D、C、G 四点共圆, ∴DGC=∠ ∠ DAC=45°,∠ DGA=∠ DCA=45°, ∴DGC=∠ ∠ DGA,即 GD 平分∠ AGC. 证法二:∵ AM=AE,CE⊥ AF,∴3=∠ ∠ 4,又∠ 4,∴3=∠ 2=∠ ∠ 2 则∠ CGN=180°﹣∠ 1﹣90°﹣∠ MNG=180°﹣∠ 1﹣90°﹣∠ 3=90°﹣∠ 1﹣∠ 2=45°. ∵ADG≌NCG, △ △ ∴DGA=∠ ∠ CGN=45°= ∠ AGC, ∴ 平分∠ GD AGC. 综上所述,正确的结论是:①③,共 4 个. ②④ 故选 D.

点评:本题是几何综合题,考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直 角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点,有一定的难度.解答中四点共圆的证法,仅供 同学们参考. 三、简答题(满分 60 分) 21. 分) (5 (2013?黑龙江)先化简,再求值(1﹣ )÷ ,其中 x=2sin45°+1.

考点:分式的化简求值;特殊角的三角函数值.

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分析:先通分,再把除法转化成乘法,然后约分,最后求出 x 的值,再把它代入原式,进行计算即 可. 解答: 解: (1﹣ )÷

=

? , +1= +1 时,

=

当 x=2sin45°+1=2× 原式= = .

点评:此题考查了分式的化简求值,用到的知识点是分式的化简步骤和特殊角的三角函数值,关键 是把分式化到最简,然后代值计算. 22. 分) (6 (2013?黑龙江)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度,△ ABC 在平面 直角坐标系中的位置如图所示. (1)将△ ABC 向上平移 3 个单位后,得到△ 1B1C1,请画出△ 1B1C1,并直接写出点 A1 的坐标. A A (2)将△ ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°,请画出旋转后的△ 2B2C2,并求点 B 所经过的路径长(结果 A 保留 x)

考点:作图-旋转变换;作图-平移变换. 分析:(1)根据△ ABC 向上平移 3 个单位,得出对应点位置,即可得出 A1 的坐标; (2)得出旋转后的△ 2B2C2,再利用弧长公式求出点 B 所经过的路径长. A 解答:解: (1)如图所示: A1 的坐标为: (﹣3,6) ;

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(2)如图所示: ∵ BO= ∴ = = , = π.

点评:此题主要考查了弧长公式的应用以及图形的旋转与平移变换,根据已知得出对应点位置是解 题关键. 23. 分) (6 (2013?黑龙江)如图,抛物线 y=x +bx+c 与 x 轴交于 A(﹣1,0)和 B(3,0)两点, 交 y 轴于点 E. (1)求此抛物线的解析式. (2)若直线 y=x+1 与抛物线交于 A、D 两点,与 y 轴交于点 F,连接 DE,求△ DEF 的面积.
2

考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质 分析:(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可; (2)首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出 E,F 点坐标,即可得出△ DEF 的面积. 2 解答:解: (1)∵ 抛物线 y=x +bx+c 与 x 轴交于 A(﹣1,0)和 B(3,0)两点, ∴ ,

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解得:


2

故抛物线解析式为:y=x ﹣2x﹣3; (2)根据题意得: ,

解得:





∴ D(4,5) , 对于直线 y=x+1,当 x=0 时,y=1,∴ F(0,1) , 2 对于 y=x ﹣2x﹣3,当 x=0 时,y=﹣3,∴ E(0,﹣3) , ∴ EF=4, 过点 D 作 DM⊥ 轴于点 M. y ∴ △DEF= EF?DM=8. S

点评:此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识,利用数形结合得 出 D,E,F 点坐标是解题关键. 24. 分) (7 (2013?黑龙江)在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中,为了了解中学生跳绳活动的开展 情况,随机抽查了全市八年级部分同学 1 分钟跳绳的次数,将抽查结果进行统计,并绘制两个不完 整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)本次共抽查了多少名学生? (2)请补全频数分布直方图空缺部分,直接写出扇形统计图中跳绳次数范围 135≤x≤155 所在扇形的 圆心角度数. (3)若本次抽查中,跳绳次数在 125 次以上(含 125 次)为优秀,请你估计全市 8000 名八年级学 生中有多少名学生的成绩为优秀? (4)请你根据以上信息,对我市开展的学生跳绳活动谈谈自己的看法或建议.

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考点:频数(率)分布直方图;用样本估计总体;扇形统计图. 分析:(1)利用 95≤x<115 的人数是 8+16=24 人,所占的比例是 12%即可求解; (2)求得范围是 115≤x<145 的人数,扇形的圆心角度数是 360 度乘以对应的比例即可求解; (3)首先求得所占的比例,然后乘以总人数 8000 即可求解; (4)根据实际情况,提出自己的见解即可,答案不唯一. 解答:解: (1)抽查的总人数: (8+16)÷12%=200(人) ; (2)范围是 115≤x<145 的人数是:200﹣8﹣16﹣71﹣60﹣16=29(人) , 则跳绳次数范围 135≤x≤155 所在扇形的圆心角度数是:360× =81°.



(3)优秀的比例是:

×100%=52.5%,

则估计全市 8000 名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀人数是: 8000×52.5%=4200 人) ( ; (4)全市达到优秀的人数有一半以上,反映了我市学生锻炼情况很好. 点评:本题考查扇形统计图及相关计算.在扇形统计图中,每部分占总部分的百分比等于该部分所 对应的扇形圆心角的度数与 360°比.

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25. 分) (8 (2013?黑龙江)2012 年秋季,某省部分地区遭受严重的雨雪自然灾害,兴化农场 34800 亩的农作物面临着收割困难的局面.兴华农场积极想办法,决定采取机械收割和人工收割两种方式 同时进行抢收,工作了 4 天,由于雨雪过大,机械收割被迫停止,此时,人工收割的工作效率也减 少到原来的 ,第 8 天时,雨雪停止附近的胜利农场前来支援,合作 6 天,完成了兴化农场所有的 收割任务.图 1 是机械收割的亩数 y1(亩)和人工收割的亩数 y2(亩)与时间 x(天)之间的函数 图象.图 2 是剩余的农作物的亩数 w(亩)与时间 x 天之间的函数图象,请结合图象回答下列问题. (1)请直接写出:A 点的纵坐标 600 . (2)求直线 BC 的解析式. (3)第几天时,机械收割的总量是人工收割总量的 10 倍?

考点:一次函数的应用. 分析:(1)根据题意可知 a=8,再根据图 2 求出 4 到 8 天时的人工收割量,然后求出前 4 天的人工 收割的量即可得到点 A 的纵坐标; (2)先求出点 B、C 的坐标,再设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,然后利用待定系数法求一次 函数解析式解答; (3)利用待定系数法求出直线 AB 的解析式,然后列出方程求解,再求出直线 EF 的解析式, 根据 10 倍关系列出方程求解,从而最后得解. 解答:解: (1)由题意可知,a=8, 所以,第 4 到 8 的人工收割作物:26200﹣25800=400(亩) , 所以,前 4 天人工收割作物:400÷ =600(亩) , 故点 A 的纵坐标为 600; (2)∵ 600+400=1000, ∴ B 的坐标为(8,1000) 点 , ∵ 34800﹣32000=2800, ∴ C 的坐标为(14,2800) 点 , 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b, 则 ,

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解得



所以,直线 BC 的解析式为 y=300x﹣1400; (3)设直线 AB 的解析式为 y=k1x+b1, ∵ A(4,600) ,B(8,1000) , ∴ ,

解得



所以,y=100x+200, 由题意得,10(100x+200)=8000, 解得 x=6; 设直线 EF 的解析式为 y=k2x+b2, ∵ E(8,8000) ,F(14,32000) , ∴ ,

解得



所以,直线 EF 的解析式为 y=4000x﹣24000, 由题意得,4000x﹣24000=10(300x﹣1400) , 解得 x=10. 答:第 6 天和第 10 天时,机械收割的总量是人工收割总量的 10 倍. 点评:本题考查了一次函数的应用,主要利用了待定系数法求一次函数解析式,题目信息量较大, 理解两个图象并准确获取信息,确定出题目中的数量关系是解题的关键. 26. 分) (8 (2013?黑龙江)正方形 ABCD 的顶点 A 在直线 MN 上,点 O 是对角线 AC、BD 的交点, 过点 O 作 OE⊥ 于点 E,过点 B 作 BF⊥ 于点 F. MN MN (1)如图 1,当 O、B 两点均在直线 MN 上方时,易证:AF+BF=2OE(不需证明) (2)当正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的位置时,线段 AF、BF、OE 之间又有怎样 的关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.

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考点:正方形的性质;矩形的性质;旋转的性质 专题:证明题. 分析:(1)过点 B 作 BG⊥ 于 G,可得四边形 BGEF 是矩形,根据矩形的对边相等可得 EF=BG, OE BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB,∠ AOB=90°,再根据同角的 余角相等求出∠ AOE=∠ OBG,然后利用“角角边”证明△ AOE 和△ OBG 全等,根据全等三角形对 应边相等可得 OG=AE,OE=BG,再根据 AF﹣EF=AE,整理即可得证; (2)选择图 2,过点 B 作 BG⊥ 交 OE 的延长线于 G,可得四边形 BGEF 是矩形,根据矩 OE 形的对边相等可得 EF=BG, BF=GE, 根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB, ∠ AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠ AOE=∠ OBG,然后利用“角角边”证明△ AOE 和△ OBG 全等,根据全等三角形对应边相等可得 OG=AE,OE=BG,再根据 AF﹣EF=AE,整理即可得 证;选择图 3 同理可证. 解答:(1)证明:如图,过点 B 作 BG⊥ 于 G, OE 则四边形 BGEF 是矩形, ∴ EF=BG,BF=GE, 在正方形 ABCD 中,OA=OB,∠ AOB=90°, ∵ OE, BG⊥ ∴OBG+∠ ∠ BOE=90°, 又∵AOE+∠ ∠ BOE=90°, ∴AOE=∠ ∠ OBG, ∵ AOE 和△ 在△ OBG 中, , ∴AOE≌OBG(AAS) △ △ , ∴ OG=AE,OE=BG, ∵ AF﹣EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF, ∴ AF﹣OE=OE﹣BF, ∴ AF+BF=2OE; (2)图 2 结论:AF﹣BF=2OE, 图 3 结论:AF﹣BF=2OE. 对图 2 证明:过点 B 作 BG⊥ 交 OE 的延长线于 G, OE 则四边形 BGEF 是矩形, ∴ EF=BG,BF=GE, 在正方形 ABCD 中,OA=OB,∠ AOB=90°, ∵ OE, BG⊥ ∴OBG+∠ ∠ BOE=90°, 又∵AOE+∠ ∠ BOE=90°, ∴AOE=∠ ∠ OBG, ∵ AOE 和△ 在△ OBG 中, ,

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∴AOE≌OBG(AAS) △ △ , ∴ OG=AE,OE=BG, ∵ AF﹣EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE+GE=OE+BF, ∴ AF﹣OE=OE+BF, ∴ AF﹣BF=2OE; 若选图 3,其证明方法同上.

点评:本题考查了正方形的性质,矩形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,同角的余角相等 的性质,作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键,也是本题的难点. 27. (10 分) (2013?黑龙江)为了落实党中央提出的“惠民政策”,我市今年计划开发建设 A、B 两种 户型的“廉租房”共 40 套.投入资金不超过 200 万元,又不低于 198 万元.开发建设办公室预算:一 套 A 型“廉租房”的造价为 5.2 万元,一套 B 型“廉租房”的造价为 4.8 万元. (1)请问有几种开发建设方案? (2)哪种建设方案投入资金最少?最少资金是多少万元? (3)在(2)的方案下,为了让更多的人享受到“惠民”政策,开发建设办公室决定通过缩小“廉租房” 的面积来降低造价、节省资金.每套 A 户型“廉租房”的造价降低 0.7 万元,每套 B 户型“廉租房”的 造价降低 0.3 万元,将节省下来的资金全部用于再次开发建设缩小面积后的“廉租房”, 如果同时建设 A、B 两种户型,请你直接写出再次开发建设的方案. 考点:一次函数的应用;一元一次不等式组的应用. 分析:(1)设建设 A 型 x 套,B 型(40﹣x)套,然后根据投入资金不超过 200 万元,又不低于 198 万元列出不等式组,求出不等式组的解集,再根据 x 是正整数解答; (2)设总投资 W 元,建设 A 型 x 套,B 型(40﹣x)套,然后根据总投资等于 A、B 两个型 号的投资之和列式函数关系式,再根据一次函数的增减性解答; (3)设再次建设 A、B 两种户型分别为 a 套、b 套,根据再建设的两种户型的资金等于(2) 中方案节省的资金列出二元一次方程,再根据 a、b 都是正整数求解即可. 解答:解: (1)设建设 A 型 x 套,则 B 型(40﹣x)套, 根据题意得, 解不等式① 得,x≥15, 解不等式② 得,x≤20, 所以,不等式组的解集是 15≤x≤20, ∵ 为正整数, x ∴ x=15、16、17、18、19、20,
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答:共有 6 种方案; (2)设总投资 W 万元,建设 A 型 x 套,则 B 型(40﹣x)套, W=5.2x+4.8×(40﹣x)=0.4x+192, ∵ 0.4>0, ∴ 随 x 的增大而增大, W ∴ x=15 时,W 最小,此时 W 最小=0.4×15+192=198 万元; 当 (3)设再次建设 A、B 两种户型分别为 a 套、b 套, 则(5.2﹣0.7)a+(4.8﹣0.3)b=15×0.7+(40﹣15)×0.3, 整理得,a+b=4, a=1 时,b=3, a=2 时,b=2, a=3 时,b=1, 所以,再建设方案:① 型住房 1 套,B 型住房 3 套; A ② 型住房 2 套,B 型住房 2 套; A ③ 型住房 3 套,B 型住房 1 套. A 点评:本题考查了一次函数的应用,一元一次不等式组的应用,读懂题目信息,理清题中不等量关 系,列出不等式组是解题的关键, (2)利用一次函数的增减性求最值要注意自变量的取值范 围. 28. (10 分) (2013?黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ ABC 的斜边 AB 在 x 轴上,点 C 在 y 2 轴上,∠ ACB=90°,OA、OB 的长分别是一元二次方程 x ﹣25x+144=0 的两个根(OA<OB) ,点 D 是线段 BC 上的一个动点(不与点 B、C 重合) ,过点 D 作直线 DE⊥ OB,垂足为 E. (1)求点 C 的坐标. (2)连接 AD,当 AD 平分∠ CAB 时,求直线 AD 的解析式. (3)若点 N 在直线 DE 上,在坐标系平面内,是否存在这样的点 M,使得 C、B、N、M 为顶点的 四边形是正方形?若存在,请直接写出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

考点:相似形综合题. 2 分析:(1)证△ AOC∽COB,推出 OC =OA?OB,即可得出答案. △ (2)求出 OA=9,OC=12,OB=16,AC=15,BC=20,证△ ACD≌AED,推出 AE=AC=15, △ 证△ BDE∽BAC,求出 DE= △ ,D(6, ) ,设直线 AD 的解析式是 y=kx+b,过 A(﹣9,0)

和 D 点,代入得出

,求出 k= ,b= 即可.

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(3)存在点 M,使得 C、B、N、M 为顶点的四边形是正方形, 理由是:① BC 为对角线时,作 BC 的垂直平分线交 BC 于 Q,交 x 轴于 F,在直线 FQ 上取 以 一点 M,使∠ CMB=90°,则符合此条件的点有两个,证△ BQF∽BOC,求出 BF= △ ,F( ,0) ,

Q(8,6) ,设直线 QF 的解析式是 y=ax+c,代入得出 直线 FQ 的解析式是:y= x﹣ 得: (x﹣0) +( x﹣
2

,求出 a= ,c=﹣

,得出

,设 M 的坐标是(x, x﹣
2 2

) ,根据 CM=BM 和勾股定理
2

﹣12) =(x﹣16) +( x﹣

﹣0) ,即可求出 M 的坐标;② 以

BC 为一边时, B 作 BM3⊥ 且 BM3=BC=20, M3Q⊥ 于 Q, 过 BC, 过 OB 还有一点 M4, 4=BC=20, CM CM4⊥ BC,证△ BCO≌M3BQ,求出 BQ=CO=12,QM3=OB=16,求出 M3 的坐标,同法可求出 △ M4 的坐标. 解答:解: (1)在 Rt△ AOC 中,∠ CAB+∠ ACO=90°,在 Rt△ ABC 中,∠ CAB+∠ CBA=90°, ∴ACO=∠ ∠ CBA, ∵AOC=∠ ∠ COB=90°, ∴AOC∽COB, △ △ 2 ∴ =OA?OB, OC ∴ OC=12, ∴ C(0,12) ; (2)在 Rt△ AOC 和 Rt△ BOC 中, ∵ OA=9,OC=12,OB=16, ∴ AC=15,BC=20, ∵ 平分∠ AD CAB, ∵ AB, DE⊥ ∴ACD=∠ ∠ AED=90°, ∵ AD=AD, ∴ACD≌AED, △ △ ∴ AE=AC=15, ∴ OE=AE﹣OA=15﹣9=6,BE=10, ∵DBE=∠ ∠ ABC,∠ DEB=∠ ACB=90°, ∴BDE∽BAC, △ △ ∴ = ∴ DE= , , ) ,

∴ D(6,

设直线 AD 的解析式是 y=kx+b, ∵ A(﹣9,0)和 D 点,代入得: 过 ,

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k= ,b= , 直线 AD 的解析式是:y= x+ ; (3)存在点 M,使得 C、B、N、M 为顶点的四边形是正方形,

理由是:① 以 BC 为对角线时,作 BC 的垂直平分线交 BC 于 Q,交 x 轴于 F,在直线 FQ 上取一点 M, 使∠ CMB=90°,则符合此条件的点有两个, BQ=CQ= BC=10, ∵BQF=∠ ∠ BOC=90°,∠ QBF=∠ CBO, ∴BQF∽BOC, △ △ ∴ = ,

∵ BQ=10,OB=16,BC=20, ∴ BF= , = ,

∴ OF=16﹣

即 F( ,0) , ∵ OC=12,OB=16,Q 为 BC 中点, ∴ Q(8,6) , 设直线 QF 的解析式是 y=ax+c, 代入得: ,

a= ,c=﹣

, ,

直线 FQ 的解析式是:y= x﹣ 设 M 的坐标是(x, x﹣ ) ,

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根据 CM=BM 和勾股定理得: (x﹣0) +( x﹣ x1=14,x2=2, 即 M 的坐标是(14,14)(2,﹣2) , ;

2

﹣12) =(x﹣16) +( x﹣

2

2

﹣0) ,

2

② 以 BC 为一边时,过 B 作 BM3⊥ BC,且 BM3=BC=20,过 M3Q⊥ 于 Q,还有一点 M4, OB CM4=BC=20,CM4⊥ BC, 则∠ COB=∠ 3B=∠ M CBM3=90°, ∴BCO+∠ ∠ CBO=90°,∠ CBO+∠ 3BQ=90°, M ∴BCO=∠ 3BQ, ∠ M ∵ BCO 和△ 3BQ 中 在△ M

∴BCO≌M3BQ(AAS) △ △ , ∴ BQ=CO=12,QM3=OB=16, OQ=16+12=28, 即 M3 的坐标是(28,16) , 同法可求出 CT=OB=16,M4T=OC=12,OT=16﹣12=4, ∴ 4 的坐标是(﹣12,﹣4) M , 即存在,点 M 的坐标是(28,16)或(14,14)或(﹣12,﹣4)或(2,﹣2) . 点评:本题考查了一次函数的有关内容,相似三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,正 方形的性质等知识点的综合应用,题目综合性比较强,难度偏大.

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