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金版学案2016


第2章

平面解析几何初步

2.1 直线与方程 2.1.4 两条直线的交点

[情景导入] 如下图所示,在平面方格纸上有 4 个村 庄 A,B,C,D.现在要在相对的村庄所在直线的交线上 建造一水厂 M 向四个村庄供水,则水厂应当建在什么地 方?

[学习目标] 1.理解两条直线的位置关系与所对应的 二元一次方程组的解的形、数之间的关系(难点).2.会用解 方程组求两直线的交点坐标;了解直线系的概念(重点).

1.已知直线 l:Ax+By+C=0,点 A(a,b),若点 A 在直线 l 上,则 a,b 的关系为 Aa+Bb+C=0. 2.在同一个平面内,两条直线有三种位置关系:相 交、平行、重合.相应的由直线方程组成的二元一次方 程组的解也有三种情况: 有唯一解、 无解、 有无穷多解. 设 两条直线的方程 l1:Ax1+By1+C=0,l2:Ax2+By2+C =0,

则这两条直线的方程所组成的方程组为
? ?Ax1+By1+C=0, ? ? ?Ax2+By2+C=0,



若方程组①无解,则两直线 l1,l2 平行,反之也成立; 若方程组①有无穷多解,则直线 l1,l2 重合,反之也成立; 若方程组①有唯一解,则两直线相交,该解组成的有序 实数对就是两条直线的交点坐标.

两直线的交点 已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2 =0,两条直线有交点(即 l1 与 l2 相交)?A1B2-A2B1≠0 或 A1 B1 ≠ (A B ≠0),由方程所组成的方程组 A2 B2 2 2
? ?A1x+B1y+C1=0, ? 的解组成的有序实数对就是两条直 ? ?A2x+B2y+C2=0

线的交点坐标.

该判断方法充分体现了直线交点的个数与相应二元 一次方程组解的个数之间的一一对应关系,求两直线交 点的一般步骤是:①写出由两条直线的方程所组成的联 立方程组;②解方程组求出方程组的解;③写出两条直 线的交点坐标.
两条直线的交点即“形”的关系,可化归为方程组 的解,即以“数”解“形”,这就是我们常说的数形结 合思想.

题型 1 两直线的位置关系及交点问题 [典例 1] 分别判断下列直线 l1 与 l2 的位置关系,若 相交,求出它们的交点坐标. (1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0; (2)l1:x+3y-1=0,l2:2x+6y-2=0; (3)l1:6x-2y+3=0,l2:3x-y+2=0.

分析:联立两直线方程,由方程组解的个数去判断. ? ? ?2x+y+3=0, ?x=-1, 解:(1)解方程组? 解得? 所以 ? ? ?x-2y-1=0, ?y=-1, 交点坐标为(-1,-1),所以 l1 与 l2 相交.

(2)解方程组 ? ?x+3y-1=0, ? ? ?2x+6y-2=0, ①×2 得 2x+6y-2=0. 所以①与②表示同一直线, 故 l1 与 l2 重合. ① ②

(3)解方程组 ? ?6x-2y+3=0, ? ? ?3x-y+2=0, ① ②

②×2-①得 1=0,矛盾,方程组无解, 故两直线无公共点,l1 与 l2 平行.

规律总结 两条直线相交的判定方法
方法
斜率法

判断方式
在两直线的斜率都存在的条件 下,若斜率不等,则两直线相 交

解两直线的方程组成的方程组, 方程组法 若只有一解,则两直线相交

[变式训练] 1.若三条直线 2x+y+3=0,x+y-1=0 和 x+by =0 相交于一点,求 b 的值.

? ?2x+y+3=0, 解:由? 解得交点坐标为(-4,5), ? ?x+y-1=0 4 该交点在 x+by=0 上,故-4+5b=0,解得 b= . 5 4 故 b= . 5

题型 2 过两直线交点的直线方程问题 [典例 2] 求经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y -2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5=0 垂直的直 线 l 的方程. 分析:可先求交点坐标,再利用点斜式求直线方程; 或利用过两直线交点的直线系方程求解.

? ?x-2y+4=0, 解:法一:解方程组? 得 P(0,2). ? ?x+y-2=0, 3 4 因为 kl3= ,且 l⊥l3,所以 kl=- . 4 3 4 由斜截式可知 l 的方程为 y=- x+2, 3 即 4x+3y-6=0.

法二:设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0. 又因为 l⊥l3, 所以 3×(1+λ)+(-4)×(λ-2)=0, 解得 λ=11.
所以直线 l 的方程为 4x+3y-6=0.

规律总结 两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程 组的解.本题可采用常规方法,先通过方程组求出两直线 的交点,再根据垂直直线求出斜率,由点斜式求解;也可 利用过直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 的交点 的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,

直接设出过两直线交点的方程, 再根据垂直条件求出 待定系数即可.

[变式训练] 2.求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8 =0 的交点,且与直线 l:3x+4y-2=0 平行的直线方程.

? ?x-2y+3=0, ? ?x=1, 解:法一:解方程组? 得? 所以 ? ?2x+3y-8=0, ? ?y=2, l1 与 l2 的交点为(1,2).

3 又直线 l:3x+4y-2=0 的斜率为- ,所以所求直 4 3 3 线的斜率为- ,故所求直线的方程为 y-2=- (x-1), 4 4 即 3x+4y-11=0.

法二:所求直线方程可设为 x-2y+3+λ(2x+3y-8) =0(其中 λ 为常数),即(1+2λ)x+(-2+3λ)y+3-8λ= 0.① 3 由已知得该直线斜率 k=- =- ,解得 λ= 4 -2+3λ 10.把 λ 的值代入方程①中,得 21x+28y-77=0,即 3x +4y-11=0. 1+2λ

题型 3 直线过定点问题 [典例 3] 已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0 为直线 l 的 方程.求证:不论 k 取何实数,直线 l 过定点,并求出这 个定点坐标. 分析:可用特殊值法,分别令 k=0,1,将得到的直 线方程联立求得交点坐标,代入验证即可;也可化成 f(x, y)+λg(x,y)=0 的形式求解.

证明:法一:对于方程(k+1)x-(k-1)y-2k=0,令 k=0 得 x+y=0;令 k=1 得 2x-2=0. ? ?x+y=0, 解方程组? 得两直线的交点为(1,-1). ? ?2x-2=0, 将点(1,-1)代入已知直线方程的左边,得(k+1)- (k-1)· (-1)-2k=0.
这表明不论 k 取何实数,直线 l 过定点(1,-1).

法二:整理直线 l 的方程,得(x+y)+k(x-y-2)=0, 不论 k 取何实数,直线 l 的方程为直线系 l1+λl2=0 的形 式,因此直线 l 过定点. ? ?x+y=0, 定点坐标即方程组? 的解, ? ?x-y-2=0 ? ?x=1, 解方程组得? 所以直线 l 过定点(1,-1). ? ?y=-1.

规律总结 证明直线过定点的方法 要证明直线系中的直线过一定点, 就要证明它是一 个共点的直线系.一般有两种方法:

1.特殊值法.利用不论参数取何值方程都有解,给 参数赋予两个特殊值,得到直线系中的两条直线,联立两 条直线的方程解出的 x,y 的值即为所求定点的坐标,再 代入原方程验证即可.

2.将直线方程整理为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+ C2)=0 的形式,从而将直线过的定点转化为两直线 A1x+ B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 的交点,解方程组求出交 点坐标,即得所求的定点.

[变式训练] 3.求证:不论 m 取什么实数,直线 l:(2m-1)x+ (m+3)y-(m-11)=0 都经过一个定点,并求出这个定点 的坐标.

证明:法一:对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11) =0,令 m=0,得 x-3y-11=0;令 m=1,得 x+4y+ ? ?x-3y-11=0, 10=0.解方程组? ? ?x+4y+10=0,

得两条直线的交点为(2,-3).将点(2,-3)代入已 知直线方程左边, 得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2- 3m-9-m+11=0. 这表明不论 m 取什么实数,所给直线均经过定点(2, -3).

法二:将已知方程以 m 为未知数, 整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0. ? ?2x+y-1=0, 由于 m 的取值的任意性,有? ? ?-x+3y+11=0. ? ?x=2, 解得? ? ?y=-3. 所以不论 m 取什么实数, 直线 l 均经过定点(2, -3).


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