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2012年北京市朝阳区高三毕业班二模数学(文)试题及答案免费下载


北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学试卷(文史类)

2012.5

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.
2 ,3, ,, 1. 设集合 U ? {0,1 2,4,5},A ? {1 2} B ? x ? Z x ? 5 x ? 4 ? 0 ,则 ? ( A ? B) ? U

?

?

A. {0,1, 2,3} 2. 在复平面内,复数 z ? A.第一象限

B. {5}

, 4} C. {1 2,

D. {0, 4,5}

i 对应的点所在的象限是 2?i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

3. 如果命题“ p 且 q ”是假命题, ?q ”也是假命题,则 “ A.命题“ ? p 或 q ”是假命题 C.命题“ ? p 且 q ”是真命题 B.命题“ p 或 q ”是假命题 D.命题“ p 且 ?q ”是真命题

4. 已知△ ABC 中,AB ? 2 ,AC ? 3 ,AB ? AC ? 0 , 且△ ABC 的面积为 A. 150
?

??? ?

????

??? ??? ? ?

B. 120

?

C. 60 或 120

?

?

3 , ?BAC ? 则 2 ? ? D. 30 或 150

5. 已知双曲线 的离心率为 A. 6

x2 y 2 ? ? 1( m ? 0 )的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点相同,则此双曲线 m 5
B.

3 2 2

C.

3 2

D.

3 4

6. 如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,如果直 角三角形的直角边长都为 1, 那么这个几何体 的表面积为 A.

1 6

B.

3 2
3 3 ? 2 2

正视图

侧视图

C.

3 3 ? 2 4

D.

俯视图
第 1 页 共 10 页

7. 给出下列命题:

p : 函数 f ( x) ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 ? ;

q : ?x ? R ,使得 log2 ( x ? 1) ? 0 ;
r :已知向量 a = (?, ,b = (- 1,?2 ) ,c = (?11) , (a+ b // c 的充要条件是 ? ? ?1 . 1) , 则 )
其中所有真命题是 A. q B. p 8. 已知函数 f ( x) ? ? 的取值范围是 A. (??, ?1] B. [?1, 2) C. [?1, 2] D. [2, ??) C. p , r D. p, q

x ? m, ?2, 的图象与直线 y ? x 恰有三个公共点,则实数 m 2 ? x ? 4 x ? 2, x ? m

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上.

x 9. 函 数 y ? 2 c o s , x ? [0, 2?] 的 单 调 递 增 区 间
是 . .

开始

10. 运行如图所示的程序框图,输出的结果是

x=1,y=1,z=2

z=x+y y=z x=y


z≤4?
否 输出 z 结束

(第 10 题图) 11. 直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A, B 两点,若 AB ? 2 3 ,则实数 k
2 2

的值是

.

第 2 页 共 10 页

12. 若实数 x , y 满足 ?

? x ? y ? 1 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的最小值是 x ? 0, ?

.

13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元,此外每生产 1 件该产品还需要增加 投资 1 万元,年产量为 x ( x ?N? ) 件.当 x ? 20 时,年销售总收入为( 33x ? x )万元;
2

当 x ? 20 时,年销售总收入为 260 万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元,则 y (万元)与 x (件)的函数关系式为 ,该工厂的年产量为 件 时,所得年利润最大.(年利润=年销售总收入 ? 年总投资) 14. 在如图所示的数表中,第 i 行第 j 列的数记为 ai , j ,且满足 a1, j ? 2 j ?1, ai ,1 ? i ,

ai?1, j ?1 ? ai , j ? ai ?1, j (i, j ?N? ) ,则此数表中的第 2
行第 7 列的数是 ;记第 3 行的数 3,5,8, 13,22,39, ??? 为数列 {bn } ,则数列 {bn } 的通项 公式是 .

第1行 1 2 4 8 ? 第2行 2 3 5 9 ? 第 3 行 3 5 8 13 ? ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 把答 案答在答题卡上. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x ? m (m ? R) 的图象过点 M ( (Ⅰ)求 m 的值;

? , 0) . 12


C b c 若 o s ? c o o? s (Ⅱ) ?ABC 中, A ,B , 的对边分别是 a , , , c c B bs C2 c a B 在 角
求 f ( A) 的取值范围. 16.(本小题满分 13 分) 高三年级进行模拟考试,某班参加考试的 40 名同学的成绩统计如下: 分数段 人数 (70,90) 5 [90,100) a [100,120) 15 [120,150] b

规定分数在 90 分及以上为及格,120 分及以上为优秀,成绩高于 85 分低于 90 分的同 学为希望生.已知该班希望生有 2 名. (Ⅰ )从该班所有学生中任选一名,求其成绩及格的概率; (Ⅱ )当 a =11 时,从该班所有学生中任选一名,求其成绩优秀的概率; (Ⅲ )从分数在(70,90)的 5 名学生中,任选 2 名同学参加辅导,求其中恰有 1 名希望生 的概率.

第 3 页 共 10 页

17. (本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 为正方形, EA ? 平面 ABCD , EF//AB , AB = 4, AE = 2, EF = 1 . (Ⅰ )求证: BC ? AF ; E (Ⅱ )若点 M 在线段 AC 上,且满足 CM ?

1 CA , 4

F

求证: EM // 平面 FBC ; (Ⅲ 试判断直线 AF 与平面 EBC 是否垂直?若垂 ) 直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.

A
M

D

B
18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? a ln x ?

C

2a 2 (a ? 0) . x

(Ⅰ )已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线 l 的斜率为 2 ? 3a ,求实数 a 的值; (Ⅱ )讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ )在(Ⅰ )的条件下,求证:对于定义域内的任意一个 x ,都有 f ( x) ? 3 ? x .

19.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 E 到两点 F1 (?1,0) , F2 (1, 0) 的距离之和为 2 2 ,设点

E 的轨迹为曲线 C .
(Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F2 (1, 0) 的斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 M , N , 点 P 在 y 轴上,且 PM ? PN ,求点 P 纵坐标的取值范围.

20.(本小题满分 13 分)
* 已知数列 An : a1 , a2 ,?, an ,满足 a1 ? an ? 0 ,且当 2 ? k ? n ( k ? N )时,

(ak ? ak ?1 ) 2 ? 1.令 S ( An ) ? a1 ? a2 ???? ? an .
(Ⅰ )写出 S ( A5 ) 的所有可能取值; (Ⅱ )求 S ( An ) 的最大值.

第 4 页 共 10 页

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学试卷答案(文史类)
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 题号 答案 (9) (10) 5 (11) (12) (1) D (2) B (3) C (4) A (5) C (6) D

2012.5

(7) D

(8) B

[?, 2?]

?

3 或0 4

1 2
(14) 16 65

题号 答案

(13)

?? x 2 ? 32 x ? 100, 0 ? x ? 20 ( x ?N* ) y?? ?160 ? x, x ? 20

an ? 2n?1 ? n ? 1

注:若有两空,则第一个空 3 分,第二个空 2 分. 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 由已知点 M (

? 1 3 1 sin 2 x ? (cos 2 x ? 1) ? m ? sin(2 x ? ) ? ? m . 6 2 2 2

……3 分

? ? ? 1 , 0) 在函数 f ( x) 的图象上,所以 sin(2 ? ? ) ? ? m ? 0 , 12 12 6 2
………5 分

m?

1 . 2

(Ⅱ) 因为 c cos B ? b cos C ? 2a cos B , 所以 sin C cos B ? sin B cos C =2 sin A cos B , 所以 sin( B ? C ) ? 2sin A cos B ,即 sin A ? 2sin A cos B . 因为 A? (0, ?? ,所以 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 又因为 B ? (0, ?? ,所以 B ? ………7 分 ………8 分 ………10 分 ………11 分 ………13 分

1 , 2

π 2 , A?C ? π . 3 3 ? 7? 2π π ), 所以 0 ? A ? , 2 A ? ? (? , 6 6 3 6 ? 1 所以 f ( A) = sin(2 A ? ) ? ( ? ,1] . 2 6
(16) (本小题满分 13 分) 解: )设“从该班所有学生中任选一名,其成绩及格”为事件 A,则 (Ⅰ

第 5 页 共 10 页

P( A) ?

40 ? 5 7 ? . 40 8 7 . 8
………3 分

答:从该班所有学生中任选一名,其成绩及格的概率为

(Ⅱ )设“从该班所有学生中任选一名,其成绩优秀”为事件 B,则当 a = 11 时,成绩优秀的 学生人数为 40 ? 5 ? 11 ? 15 ? 9 ,所以

P( B) ?

9 . 40 9 . 40
………7 分

答:从该班所有学生中任选一名,其成绩优秀的概率为

(Ⅲ )设“从分数在 (70,90) 的 5 名学生中,任选 2 名同学参加辅导,其中恰有 1 名希望生” 为事件 C. 记这 5 名学生分别为 a,b,c,d,e,其中希望生为 a,b. 从中任选 2 名,所有可能的情况为:ab, ac, ad, ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共 10 种. ………9 分 其中恰有 1 名希望生的情况有 ac, ad, ae,bc,bd,be,共 6 种. ………11 分 所以 P(C ) ?

6 3 ? . 10 5

答:从分数在 (70,90) 的 5 名学生中,任选 2 名同学参加辅导,其中恰有 1 名希望生的 概率为

3 . 5

………13 分

(17) (本小题满分 13 分) 解: )因为 EF//AB ,所以 EF 与 AB 确定平面 EABF , (Ⅰ 因为 EA ? 平面 ABCD ,所以 EA ? BC . 由已知得 AB ? BC 且 EA ? AB = A , 所以 BC ? 平面 EABF . 又 AF ? 平面 EABF , 所以 BC ? AF . (Ⅱ )过 M 作 MN ? BC ,垂足为 N ,连结 FN ,则 MN // AB .

………2 分 ………3 分 ………4 分 .………5 分

1 1 AC ,所以 MN ? AB . 4 4 1 又 EF // AB 且 EF ? AB ,所以 EF // MN . 4
又 CM ? .………6 分 且 EF ? MN ,所以四边形 EFNM 为平行四边形. ………7 分 EM // FN . 所以 又 FN ? 平面 FBC , EM ? 平面 FBC , 所以 EM // 平面 FBC . (Ⅲ )直线 AF 垂直于平面 EBC .
第 6 页 共 10 页

E F
P

A
M

D

B

N

C

………9 分 ………10 分

证明如下: 由(Ⅰ )可知, AF ? BC .
? 在四边形 ABFE 中, AB = 4, AE = 2, EF = 1 , ?BAE ? ?AEF ? 90 ,

所以 tan ?EBA ? tan ?FAE ?

1 ,则 ?EBA ? ?FAE . 2

? ? 设 AF ? BE ? P ,因为 ?PAE ? ?PAB ? 90 ,故 ?PBA ? ?PAB ? 90

则 ?APB ? 90 ,即 EB ? AF .
?

………12 分 ………13 分

又因为 EB ? BC = B ,所以 AF ? 平面 EBC . (18) (本小题满分 14 分) 解: ) f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} , (Ⅰ

. ………1 分

f ?( x) ?

a 2a 2 ? . x x2

………2 分

根据题意, f ?(1) ? 2 ? 3a , 所以 a ? 2a ? 2 ? 3a ,即 a ? 2a ? 1 ? 0 ,
2 2

解得 a ? 1 . (Ⅱ f ?( x) ? )

.………4 分

a 2a 2 a ( x ? 2a ) ? ? . x x2 x2

(1)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 x ? 2a ? 0 , a( x ? 2a) ? 0 , 所以 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减. (2)当 a ? 0 时, 若 0 ? x ? 2a ,则 a( x ? 2a) ? 0 , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, 2a) 上单调递减; 若 x ? 2a ,则 a(x ? 2a) ?0 , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (2a, ??) 上单调递增. …8 分 综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减;当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 ………6 分

(0, 2a) 上单调递减,在 (2a, ??) 上单调递增.
(Ⅲ )由(Ⅰ )可知 f ( x) ? ln x ?

………9 分

2 . x 2 ? x ? 3. x

设 g ( x) ? f ( x) ? (3 ? x) ,即 g ( x ) ? ln x ?

第 7 页 共 10 页

g ?( x) ?

1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) ? 2 ?1 ? ? ( x ? 0) . x x x2 x2

………10 分

当 x 变化时, g ?( x ) , g ( x) 的变化情况如下表:

x g ?( x) g ( x)

(0,1)


1
0 极小值

(1, ??)


?

?

x ? 1 是 g ( x) 在 (0, ??) 上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是 g ( x) 的最小值点.
可见 g ( x)最小值 ? g (1) ? 0 , .………13 分

所以 g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? (3 ? x) ? 0 ,所以对于定义域内的每一个 x ,都有

f ( x) ? 3 ? x .
(19) (本小题满分 14 分) 解: )由题设知 | EF | ? | EF2 |? 2 2 ?| F F2 | , (Ⅰ 1 1 根据椭圆的定义, E 的轨迹是焦点为 F1 , F2 ,长轴长为 2 2 的椭圆, 设其方程为

………14 分

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2
2 , b ? 1 ,所以 C 的方程为
x2 ? y 2 ? 1. 2
………5 分

则 c ? 1, a ?

(II)依题设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 ? y 2 ? 1并整理得, 2
………6 分

(2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 . ? ? 8k 2 ? 8 ? 0 .
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

..………7 分

设 MN 的中点为 Q ,则 xQ ?

k 2k 2 ,即 , yQ ? k ( xQ ? 1) ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
………8 分

Q(

2k 2 ?k , 2 ). 2 2k ? 1 2 k ? 1

因为 k ? 0 ,
第 8 页 共 10 页

所以直线 MN 的垂直平分线的方程为 y ? 令 x ? 0 解得, yP ?

1 2k 2 ? ? ( x ? 2 ) , ……9 分 2k 2 ? 1 k 2k ? 1 k
.………10 分

k 2k ? 1
2

?

1 1 2k ? k



当 k ? 0 时,因为 2k ?

1 2 ? 2 2 ,所以 0 ? yP ? ; k 4 1 2 ? ?2 2 ,所以 ? ? yP ? 0 . k 4

.………12 分

当 k ? 0 时,因为 2k ?

.………13 分

综上得点 P 纵坐标的取值范围是 [? (20) (本小题满分 13 分)

2 2 , 0) ? (0, ]. 4 4

.………14 分

解:(Ⅰ )由题设,满足条件的数列 A5 的所有可能情况有: (1) 0,1, 2,1, 0. 此时 S ( A5 ) = 4 ; (2) 0 ,1, 0 ,1, 0.此时 S ( A5 ) = 2 ; (3) 0 ,1, 0 , ?1, 0.此时 S ( A5 ) = 0 ; (4) 0, ?1, ?2, ?1,0. 此时 S ( A5 ) = ?4 ; (5) 0 , ?1, 0 ,1, 0.此时 S ( A5 ) = 0 ; (6) 0, ?1, 0, ?1, 0. 此时 S ( A5 ) = ?2 . 所以, S ( A5 ) 的所有可能取值为: ?4 , ?2 , 0 , 2 , 4 . .………5 分

(Ⅱ )由 (ak ? ak ?1 ) 2 ? 1,可设 ak ? ak ?1 ? ck ?1 ,则 ck ?1 ? 1 或 ck ?1 ? ?1 ( 2 ? k ? n ,

k ? N* ) ,

a2 ? a1 ? c, 1
, a3 ? a2 ? c2 …

an ? an?1 ? cn?1 ,
所以 an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 .
第 9 页 共 10 页

………7 分

因为 a1 ? an ? 0 , 所以 c1 ? c2 ? ? ? cn?1 ? 0 , n 为奇数,c1 , c2 ,?, cn?1 是由 且 1和

n ?1 个 2

n ?1 个 ? 1 构成的数列. 2

所以 S ( An ) ? c1 ? (c1 ? c2 ) ? ? ? (c1 ? c2 ? ? ? cn?1 )

? (n ? 1c1 ? n ? c 2? ?? cn? 2? cn? . ) ( 2) 2 1
则当 c1 , c2 ,?, cn?1 的前

n ?1 n ?1 项取 1 ,后 项取 ? 1 时 S ( An ) 最大, 2 2

此时 S ( An ) ? (n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? 证明如下: 假设 c1 , c2 ,?, cn?1 的前

n ?1 n ?1 (n ? 1) 2 ?( ? ? ? 2 ? 1) ? ..……10 分 2 2 4

n ?1 项中恰有 t 项 cm1 , cm2 ,?, cmt 取 ?1 ,则 2 n ?1 n ?1 项中恰有 t 项 cn1 , cn2 ,?cnt 取 1 ,其中 1 ? t ? , c1 , c2 ,?, cn?1 的后 2 2 n ?1 n ?1 1 ? mi ? ? ni ? n ? 1 , i ? 1, 2,?, t . , 2 2

所以 S ( An ) ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? ? ?

n ?1 n ?1 cn?1 ? cn?1 ? ? ? 2cn?2 ? cn?1 2 2 2 2

? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ?

n ?1 n ?1 ?( ? ? ? 2 ? 1) 2 2

?2[(n ? m1 ) ? (n ? m2 ) ? ?? (n ? mt )] ?2[(n ? n1 ) ? (n ? n2 ) ? ? ? (n ? nt )]
? (n ? 1)2 (n ? 1) 2 ? 2[(n1 ? m1 ) ? (n2 ? m2 ) ? ??? ? (nt ? mt )] ? . 4 4 (n ? 1)2 . 4
.………13 分

所以 S ( An ) 的最大值为

第 10 页 共 10 页



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